2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.7抛物线及其方程2.7.2抛物线的几何性质课时作业新人教B版选择性必修第一册

这是一份2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.7抛物线及其方程2.7.2抛物线的几何性质课时作业新人教B版选择性必修第一册，共8页。

2．7.2 抛物线的几何性质 1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝3|OF|，△MFO的面积为16，则抛物线的方程为( )A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝20x2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为( )A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝12x D．y2＝6x3．已知直线l过抛物线C：y2＝x的焦点，并交抛物线C于A，B两点，|AB|＝2，则弦AB中点G的横坐标是( )A． B． C． D．14．若点P为抛物线C：y＝2x2上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为( )A．1 B． C． D．5．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点，且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为________．6．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 7．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l.点P在C上，直线PF交x轴于点Q，若＝3，则点P到准线l的距离为( )A．6 B．5 C．4 D．38．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( ) 9．(多选)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程可以为( )A．y2＝－4x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝8x10．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)，过它的焦点F的直线l与其相交于A，B两点，O为坐标原点． (1)若抛物线过点(1，2)，求它的方程；(2)在(1)的条件下，若直线l的斜率为1，求△OAB的面积． 11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.(1)求抛物线上任意一点Q到定点N(2p，0)的距离的最小值；(2)过点F作一条直线与抛物线相交于A，B两点，并在准线l上任取一点M(x0，y0)，且y0≠0，证明：kMA＋kMB＝2kMF(其中kMA，kMB，kMF分别表示直线MA，MB，MF的斜率). 12.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，直线x－y－2＝0与抛物线相交于M，N两点．(1)求抛物线的方程；(2)求弦长|MN|；(3)设O为坐标原点，证明：OM⊥ON. 13．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，F为C的焦点，过焦点F且倾斜角为α的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下面陈述不正确的为( )A．以A，B为直径的圆与抛物线C的准线相切B．＋＝C．过点A，B分别作抛物线C的切线，则两切线互相垂直D．记原点为O，则S△AOB＝14．已知A，B是抛物线x2＝2py(p>0)上的两个动点，O为坐标原点，非零向量，满足|＋|＝|－|.(1)求证：直线AB经过一定点；(2)当线段AB的中点到直线y－2x＝0的距离的最小值为时，求p的值． 2．7.2　抛物线的几何性质必备知识基础练1．答案：C解析：由题意知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(p,2)，因为|MF|＝3|OF|，所以|MF|＝eq \f(3,2)p，所以点M的横坐标为eq \f(3,2)p－eq \f(p,2)＝p，纵坐标为y＝±eq \r(2)p.因为△MFO的面积为16eq \r(2)，所以eq \f(1,2)·eq \f(p,2)·eq \r(2)p＝16eq \r(2)，所以p＝8，所以抛物线的方程为y2＝16x.故选C.2．答案：B解析：因为直线l的方程为y＝2(x－eq \f(p,2))，即y＝2x－p，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝2x－p，))消去y，得4x2－6px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(3p,2)，又因为弦AB的中点到抛物线的准线的距离为3，所以|AB|＝6，而|AB|＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝6－p，故eq \f(3p,2)＝6－p，解得p＝eq \f(12,5)，所以抛物线的方程为y2＝eq \f(24,5)x.故选B.3．答案：C解析：如图，由题意可得抛物线的准线m的方程为x＝－eq \f(1,4)，过点G作抛物线准线m的垂线GD⊥m于点D，过A，B分别作AA′⊥m于点A′，BB′⊥m于点B′，则|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝2，因为弦AB的中点为G，所以|GD|＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)＝eq \f(1,2)|AB|＝1，所以点G的横坐标是1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).故选C.4．答案：D解析：由y＝2x2，得x2＝eq \f(1,2)y，∴2p＝eq \f(1,2)，则eq \f(p,2)＝eq \f(1,8)，所以焦点F(0，eq \f(1,8))，由抛物线上所有点中顶点到焦点的距离最小，得|PF|的最小值为eq \f(1,8).故选D.5．答案：y2＝8x或y2＝－8x解析：因为抛物线的通径为2p＝8，且以x轴为对称轴，所以其方程为y2＝8x或y2＝－8x.6．解析：椭圆的方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，其短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，所以设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，即eq \f(p,2)＝3，所以p＝6.所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程为x＝－3或x＝3.关键能力综合练7．答案：B解析：如图，过点P作x轴的垂线，垂足为N，由题知，F(0，1)，即|OF|＝1，因为eq \o(PF,\s\up6(→))＝3eq \o(FQ,\s\up6(→))，所以eq \f(|OF|,|PN|)＝eq \f(|\o(FQ,\s\up6(→))|,|\o(PQ,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,4)，所以|PN|＝4，所以点P到准线的距离为|PN|＋1＝5.故选B.8．答案：D解析：a2x2＋b2y2＝1，可化为eq \f(x2,\f(1,a2))＋eq \f(y2,\f(1,b2))＝1，因为a>b>0，所以eq \f(1,a2)<eq \f(1,b2)，其表示焦点在y轴上的椭圆；而ax＋by2＝0可化为y2＝－eq \f(a,b)x，其表示焦点在x轴的负半轴上的抛物线．故选D.9．答案：BD解析：抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为(eq \f(a,4)，0)，则直线l的方程为y＝2(x－eq \f(a,4))，它与y轴的交点为A(0，－eq \f(a,2))，故△OAF的面积为eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝4，解得a＝±8.于是抛物线的方程为y2＝±8x.故选BD.10．解析：(1)因为抛物线过点(1，2)，所以4＝2p×1，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由(1)知F(1，0)，所以直线l的方程为y＝x－1，联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))消去y得x2－6x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8，点O到l的距离为d＝eq \f(|－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×8×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2).11．解析：(1)设点Q(x，y)，则|QN|2＝(x－2p)2＋y2＝(x－p)2＋3p2，当x＝p时，|QN|min＝eq \r(3)p，故抛物线上任意一点Q到定点N(2p，0)的距离的最小值为eq \r(3)p.(2)证明：由条件设直线AB：x＝my＋eq \f(p,2)，将其代入y2＝2px，可得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(－eq \f(p,2)，y0)，所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，所以x1＋x2＝2pm2＋p，x1x2＝eq \f(1,4)p2，所以kMA＋kMB＝eq \f(y1－y0,x1＋\f(p,2))＋eq \f(y2－y0,x2＋\f(p,2))＝eq \f(（x2＋\f(p,2)）（y1－y0）＋（x1＋\f(p,2)）（y2－y0）,x1x2＋\f(p,2)（x1＋x2）＋\f(p2,4))，＝eq \f(2my1y2＋（p－my0）（y1＋y2）－2py0,x1x2＋\f(p,2)（x1＋x2）＋\f(p2,4))＝－eq \f(2y0,p)＝2kMF，所以kMA＋kMB＝2kMF.12．解析：(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－eq \f(1,2)，所以－eq \f(p,2)＝－eq \f(1,2)，解得p＝1，所以抛物线的方程是y2＝2x.(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0,y2＝2x))，得x2－6x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1·x2＝4，所以|MN|＝eq \r(2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1·x2)＝2eq \r(10).(3)证明：因为eq \o(OM,\s\up6(→))·eq \o(ON,\s\up6(→))＝x1·x2＋y1·y2＝x1·x2＋(x1－2)(x2－2)＝2x1·x2－2(x1＋x2)＋4＝2×4－2×6＋4＝0，所以eq \o(OM,\s\up6(→))⊥eq \o(ON,\s\up6(→))，即OM⊥ON.核心素养升级练13．答案：D解析：设AB的中点为M，A，B，M在准线上的射影分别为A′，B′，M′，由抛物线的定义可得|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，所以|MM′|＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|，则以A，B为直径的圆与抛物线C的准线相切，故A正确；抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(p,2)，设过F的直线l的方程为x＝my＋eq \f(p,2)，代入抛物线的方程y2＝2px，可得y2－2pmy－p2＝0，可得y1＋y2＝2pm，y1·y2＝－p2，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋p＝2pm2＋p，x1x2＝eq \f(（y1y2）2,4p2)＝eq \f(（－p2）2,4p2)＝eq \f(p2,4)，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，则eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,x1＋\f(p,2))＋eq \f(1,x2＋\f(p,2))＝eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)（x1＋x2）＋\f(p2,4))＝eq \f(2pm2＋2p,\f(p2,4)＋\f(p,2)（2pm2＋p）＋\f(p2,4))＝eq \f(2,p)，故B正确；由S△AOB＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq \f(p,4)·eq \r(（2pm）2－（－4p2）)＝eq \f(p2,2)eq \r(1＋m2)＝eq \f(p2,2)·eq \r(1＋\f(cos2α,sin2α))＝eq \f(p2,2sinα)，故D错误；对y2＝2px的两边取x的导数为2yy′＝2p，可得切线的斜率为y′＝eq \f(p,y)，可得A处的切线的斜率为eq \f(p,y1)，B处的切线的斜率为eq \f(p,y2)，则eq \f(p,y1)·eq \f(p,y2)＝eq \f(p2,y1y2)＝eq \f(p2,－p2)＝－1，即A，B处的切线相互垂直，故C正确．故选D.14．解析：(1)证明：因为|eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))|＝|eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))|，所以OA⊥OB.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，x1≠x2，则x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＝2py1，x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝2py2(p>0).经过A，B两点的直线方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，由y1＝eq \f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,2p)，y2＝eq \f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,2p)，得(x2－x1)(y－y1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,2p)－\f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,2p)))(x－x1).因为x1≠x2，所以y－y1＝eq \f(x2＋x1,2p)(x－x1).令x＝0得y－y1＝eq \f(x1＋x2,2p)(－x1)，所以y＝－eq \f(x1x2,2p).　①因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.所以x1x2＋eq \f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ,4p2)＝0.因为x1x2≠0(否则eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))中有一个为零向量)，所以x1x2＝－4p2代入①得y＝2p.所以直线始终经过定点(0，2p).(2)设线段AB中点的坐标为(x，y)，则x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，故x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝2py1＋2py2＝2p(y1＋y2)＝4py.因为x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(x1＋x2)2＋8p2，所以4x2＋8p2＝4py，即y＝eq \f(1,p)x2＋2p.　②线段AB的中点到直线y－2x＝0的距离d＝eq \f(|y－2x|,\r(5))，将②代入得d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)x2＋2p－2x)),\r(5))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)（x－p）2＋p)),\r(5))＝eq \f(\f(1,p)（x－p）2＋p,\r(5)).又d的最小值为eq \f(2\r(5),5)，所以当x＝p时，d取得最小值为eq \f(p,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).所以p＝2.