2022-2023学年江西省宜春市丰城九中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省宜春市丰城九中高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=14x2的准线方程是( )
A. y=−1B. y=1C. x=−116D. x=116
2.在空间直角坐标系中，点M(2,1,−3)关于平面Oxz对称的点的坐标为( )
A. (−2,−1,3)B. (−3,1,2)C. (−2,−1,−3)D. (2,−1,−3)
3.已知双曲线C的方程为x216−y29=−1，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的实轴长为8B. 双曲线C的渐近线方程为y=±34x
C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D. 双曲线C上的点到焦点距离的最小值为94
4.已知两个变量x和y之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组x，y的样本数据如表所示：根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是( )
A. y=0.21x+0.53B. y=0.25x+0.21C. y=0.28x+0.16D. y=0.31x+0.11
5.有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为10%，乙厂生产的次品率为20%，丙厂生产的次品率为30%，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的50%，30%，20%，任取一件产品，则取得产品为次品的概率是( )
A. 0.83B. 0.79C. 0.21D. 0.17
6.关于x的方程 1−x2−kx−2=0有唯一解，则实数k的范围是( )
A. k=± 3
B. k∈(−2,2)
C. k∈(−∞,−2)∪(2,+∞)
D. k∈(−∞,−2)∪(2,+∞)∪{− 3， 3}
7.将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是( )
A. 戏剧放在中间的不同放法有7！种
B. 诗集相邻的不同放法有6！种
C. 四大名著互不相邻的不同放法有4！×3！种
D. 四大名著不放在两端的不同放法有6×4！种
8.19世纪法国著名数学家加斯帕尔⋅蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展．提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆(x−2)2+(y−b)²=9上有且只有一个点在椭圆x23+y2=1的蒙日圆上，则b的值为( )
A. ±1B. ±5C. ± 21D. ±2 5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的命题是( )
A. 对于任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)，则事件A与B独立
B. 互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C. E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
D. 随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(X<4)=0.8，则P(210.已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，则下列结论正确的有( )
A. AB⊥ACB. 与AB共线的单位向量是(1,1,0)
C. AB与BC夹角的余弦值是− 5511D. 平面ABC的一个法向量是(1,−2,5)
11.若(x2+1)(x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，其中ai∈R，i=0，1，2，…，7，则( )
A. a0=32B. a3=120
C. a0+a1+a2+…+a7=486D. a2+a4+a6=244
12.已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且|AF|=3|BF|，M为AB中点，则下列结论正确的是( )
A. ∠CFD=90°B. △CMD为等腰直角三角形
C. 直线AB的斜率为± 3D. △AOB的面积为4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(x−2 x)6的展开式中含x3项的系数是 ．
14.过点(1,2)且与圆x2+y2=1相切的直线方程为______．
15.已知点F1为双曲线C:x24−y2=1的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点.若|PF1|=3，则|QF1|= ．
16.三棱柱ABC−A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知(2x+1 x)n展开式中前三项的二项式系数和为16．
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x2的项的系数．
18.(本小题12分)
由1，2，3，4，5组成的五位数中，分别求解下列问题．(应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示)
(1)没有重复数字且为奇数的五位数的个数；
(2)没有重复数字且2和4不相邻的五位数的个数；
(3)恰有两个数字重复的五位数的个数．
19.(本小题12分)
已知过点A(3,2)的圆的圆心M在直线y=3x上，且y轴被该圆截得的弦长为4．
(Ⅰ)求圆M的标准方程；
(Ⅱ)设点N(−2,3)，若点P为x轴上一动点，求|PM|+|PN|的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．
20.(本小题12分)
如图，在底面是菱形的四棱锥P−ABCD中，E为CD中点，∠APD=90°，∠ADC=60°，已知PA=PD=1．
(1)若PB= 3，证明：AB⊥PE；
(2)若PC= 2，求二面角P−CD−A的平面角的余弦值．
21.(本小题12分)
北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是34且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．
(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；
(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点( 3,12)，其右焦点为F( 3,0)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为120，求△APQ面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴上；
所以：2p=4，即p=2，
所以：p2=1，
所以准线方程y=−1．
故选：A．
先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．
本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：M(2,1,−3)关于平面Oxz的对称点为(2,−1,−3)．
故选：D．
根据空间坐标系点的对称求解即可．
本题考查空间中点的坐标的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为双曲线C的方程为x216−y29=−1可化为y29−x216=1，
所以a=3,b=4,c= a2+b2=5，所以实轴长为6，故A错误；
双曲线的渐近线方程为y=±abx=±34x，故B正确；
双曲线的焦点(0,c)到一条渐近线y=abx即ax−by=0的距离为：
d=bc a2+b2=bcc=b=4，
由于对称性，双曲线的上下焦点到两条渐近线的距离都相等，故C错误；
双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c−a=2，故D错误．
故选：B．
根据双曲线的性质直接求解即可．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：x−=1+2+3+4+55=3，y−=0.5+0.6+1+1.4+1.55=1，
根据线性回归方程必过样本的中心(3,1)，
而A、B、D选项均不过(3,1)，C选项过(3,1)．
故选：C．
利用公式求出b​，a​，即可得出结论．
本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
【解答】
解：∵甲厂生产的次品率为10%，乙厂生产的次品率为20%，丙厂生产的次品率为30%，
甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的50%，30%，20%，
∴取得产品为次品的概率P=0.1×0.5+0.2×0.3+0.3×0.2=0.17．
故本题选D．
6.【答案】D
【解析】解：因为方程 1−x2−kx−2=0有唯一解，
即 1−x2=kx+2有唯一解，
即f(x)= 1−x2与g(x)=kx+2的图象有唯一交点，
又y= 1−x2表示圆心为(0,0)，半径为1的上半圆(包括A(−1,0)和B(1,0))，
而g(x)是过点(0,2)的直线，
如图：
当直线与半圆相切时，由圆心到直线的距离公式得：2 1+k2=1，k=± 3，
又kAC=2−00+1=2，kBC=2−00−1=−2，
由图象可知，当k<−2或k>2或k=± 3时，f(x)= 1−x2与g(x)=kx+2的图象有唯一交点．
故选：D．
将问题转化为函数f(x)= 1−x2与g(x)=kx+2只有一个交点，然后利用数形结合处理．
本题考查根据方程的解的个数求参数的取值范围，考查了转化思想、数形结合思想的运用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：选项A：戏曲书只有一本，所以其余6本书可以全排列，共有6！种不同排列方法，A错误；
选项 B：诗集共2本，把诗集当成一本，不同方法有6！种，这两本又可交换位置，
所以不同放法总数为2×6！，B错误；
选项C：四大名著互不相邻，那只能在这四本书的3个空隙中放置其他书，共有3！种放法，
这四本书又可以全排列，所以不同放法总数为4！×3！，C正确；
选项D：四大名著可以在第2至第6这5个位置上任选4个位置放置，共有A54 种放法，
这四本书放好后，其余3本书可以在剩下的3个位置上全排列，
所以共有不同放法总数为A54⋅3！，D错误．
故选：C．
根据排列组合公式及分步乘法计数原理计数后进行判断即可．
本题考查排列数公式的应用以及分步乘法计数原理的应用，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由椭圆的定义知，x23+y2=1的蒙日圆r1= 3+1=2，
所以蒙日圆为x2+y2=4，
因为圆(x−2)2+(y−b)²=9上有且只有一个点在蒙日圆上，所以两圆相切，
由已知r2=3，
所以22+b2=r1+r2=5，
解得b=± 21，
故选：C．
由所给信息可得蒙日圆的方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，由题意可得b的值．
本题考查信息的应用即两圆位置关系的应用，属于中档题．
9.【答案】ABCD
【解析】解：对于A，由P(AB)=P(A)P(B)，根据独立事件的定义可得事件A与B独立；A正确；
对于B，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定为互斥事件，B正确；
对于C，由期望的性质可得E(aX+b)=aE(X)+b，由方差的性质可得D(aX+b)=a2D(X)，C正确；
对于D，因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，所以P(X≤2)=0.5，
又P(X<4)=0.8，又P(2故选：ABCD．
根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件和对立事件的定义B，根据期望和方差的性质判断C，根据正态分布密度曲线的性质判断D．
本题考查概率问题，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，
所以AB=(2,1,0)，AC=(−1,2,1)，BC=(−3,1,1)，
对于选项A：AB⋅AC=−2+2+0=0，故AB⊥AC，A正确；
对于选项B：(1,1,0)不是单位向量，且(1,1,0)与AB=(2,1,0)不共线，B错误；
选项C：cs〈AB,BC〉=AB⋅BC|AB||BC|=− 5511，C正确；
选项D：设m=(1,−2,5)，则m⋅AB=2−2+0=0，m⋅AC=−1−4+5=0，
所以m⊥AB，m⊥AC，
又AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，
所以向量(1,−2,5)是平面ABC的一个法向量，D正确．
故选：ACD．
根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD，根据共线向量和单位向量判断B，根据向量夹角的坐标运算判断C．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的夹角，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：A：令x=0，则a0=1×25=32，故A正确；
B：展开式中含x3项为x2⋅C54x⋅24+1×C52x3⋅22=120x3，所以a3=120，故B正确；
C：令x=1，则a0+a1+...+a7=(1+1)⋅(1+2)5=486，故C正确；
D：令x=−1，则a0−a1+...−a7=(1+1)⋅(−1+2)5=2，由选项C分析可得a0+a2+a4+a6=486+22=244，
所以a2+a4+a6=244−a0=212，故D错误．
故选：ABC．
A：令x=0即可求解；B：求出展开式中含x3的项，由此即可求解判断；C：令x=1即可判断；D：令x=−1，联立方程即可判断求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：由题意由抛物线的对称性，焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，
由题意可得直线AB的斜率不为0，由题意设直线AB的方程为：x=my+1，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可知C(−1,y1)，D(−1,y2)，
将直线AB与抛物线联立整理得：y2−4my−4=0，y1+y2=4m，y1y2=−4，
A中，∵FC⋅FD=(−2,y1)⋅(−2,y2)=(−2)(−2)+y1y2=4−4=0，∴FC⊥FD，即∠CFD=90°，所以A正确；
B中，由A正确，不可能CM⊥DM，更不会∠C或∠D为直角，所以B不正确；
C中，因为|AF|=3|BF|，所以AF=3FB，即y1=−3y2，y1+y2=4m，y1y2=−4，∴−2y2=4m−3y22=−4，解得m2=13，m=± 33，所以直线AB的斜率为± 3，所以C正确；
D中，由题意可得弦长|AB|= 1+m2 (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2 (4m)2+16= 1+13⋅ 16(1+13)=163，O到直线AB的距离d=1 1+m2=1 1+13= 32，所以S△OAB=12⋅|AB|⋅d=12⋅163⋅ 32=4 33，所以D不正确，
故选：AC．
由题意写出焦点F的坐标及准线方程，设直线AB的方程及A，B的坐标，可得C，D的坐标，再由|AF|=3|BF|，求出直线AB的参数，进而判断出所给命题的真假．
考查抛物线的性质及命题真假的判断，属于中档题．
13.【答案】60
【解析】【分析】
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
求出展开式的通项公式，令x的指数为3，进而可以求解．
【解答】
解：二项式(x−2 x)6是展开式中的通项公式为
Tr+1=C6r⋅x6−r⋅(−2 x)r=(−2)rC6r⋅x6−3r2，
令6−3r2=3，得r=2，
则展开式的第3项为T3=(−2)2C62⋅x3=60x3，
所以x3的系数为60，
故答案为：60．
14.【答案】3x−4y+5=0或x=1
【解析】解：设切线方程为y−2=k(x−1)，即kx−y+2−k=0．
由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|2−k| k2+1=1，解得k=34，
其方程为3x−4y+5=0．
又，当斜率不存在时，切线方程为x=1．
故答案为：3x−4y+5=0或x=1．
设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出方程，当直线的斜率不存在时验证即可．
本题考查圆的切线方程的求法，注意斜率是否存在是解题的关键，也是易错点．
15.【答案】7
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义，属于中档题．
由双曲线的方程可得a，c的值，由|PF1|的值，由双曲线及过原点的直线的对称性判断P在左支上，且得|QF1|=|PF2|，再由双曲线的定义可得|PF2|=2a+|PF1|，可得结论．
【解答】
解：由双曲线的方程C：x24−y2=1可得a2=4，b2=1，可得c2=a2+b2=5，可得a=2，c= 5，
若|PF1|=3，当P在双曲线的右支上时，|PF1|≥a+c=2+ 5，显然不符合，
设双曲线的右焦点F2，
所以可得P在左支上，由双曲线的定义可得|PF2|=2a+|PF1|=4+3=7，
由双曲线的对称性及直线l的对称性，可得|QF1|=|PF2|=7，
故答案为：7．
16.【答案】 66
【解析】略
17.【答案】解：(1)∵展开式中前三项的二项式系数和为16，
∴C n0+C n1+C n2=16，
即1+n+ n(n−1)2=16，
即2+2n+n2−n=32，即n2+n−30=0，得n=5或n=−6(舍)．
即n=5．
(2)展开式的通项公式Tk+1=C5 k(2x)5−k(1 x)k=C5 k25−kx5−k−k2，
由5−k−k2=2得3k2=3，得k=2，
则x2的项的系数为C5223=80．
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，求出展开式的通项公式是解决本题的关键．
(1)根据条件建立方程求出n的值；
(2)求出展开式的通项公式，令x的次数为2进行计算即可．
18.【答案】解：(1)由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可，∴C31⋅A44=72个．
(2)先对1，3，5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4，即A33A42=72个．
(3)从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即C51C43C52A33=1200个．
【解析】(1)由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可．
(2)先对1，3，5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4即可．
(3)从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即可．
本题考查了排列与组合及其公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)因为圆心M在直线y=3x上，设圆心M(a,3a)，则半径r= (a−3)2+(3a−2)2，
因为y轴被该圆截得的弦长为4，因为圆心M到y轴的距离为d=|a|，
所以4=2 r2−d2=2 (a−3)2+(3a−2)2−a2，解得a=1
所以圆心M(1,3)，
半径r= (1−3)2+(3×1−2)2= 5，
圆的方程为(x−1)2+(y−3)2=5；
(Ⅱ)作N关于x轴的对称点N′(−2,−3)，连接N′M，与x轴的交点为P，
则这时|PN|+|PM|=|PN′|+|PM|≥|N′M|，
当且N′，P，M三点共线时|PN|+|PM|的值最小且为 (−2−1)2+(−3−3)2=3 5，
直线N′M的方程为：y−3=3+31+2(x−1)=2(x−1)，令y=0，可得：x=−12，
所以P(−12,0)时，|PM|+|PN|的值最小，且为3 5．
【解析】本题考查求圆的方程及点到圆心的距离公式的应用，属于中档题．
(Ⅰ)由题意设圆心M的坐标，可得圆的半径r=|MA|，再由圆被y轴截得的弦长，求出参数的值，进而求出圆的标准方程；
(Ⅱ)作N关于x轴的对称点N′，连接N′M交x轴于P，则此时的P点为|PN|+|PM|取到最小值|N′M|，并求出直线N′M的方程，令y=0可得P的坐标．
20.【答案】(1)证明：连结AE，因为ABCD为菱形，且∠ADC=60°，所以△ACD为等边三角形，
由于E是CD中点，所以AE⊥CD，所以AE⊥AB，
又PA=PD=1，PB= 3，∠APD=90°，
所以AD= 2，所以AB= 2，
在△PAB中，由PA=1，AB= 2，PB= 3，可得PA2+AB2=PB2，所以AB⊥AP，
又因为PA∩AE=A，PA、AE⊂平面PAE，所以AB⊥面APE，
又因为PE⊂面APE，所以AB⊥PE；
(2)解：取AD的中点O，连接OP、OC，
在△APD中，PA=PD=1，∠APD=90°，O为AD的中点，所以OP=12AD= 22，OP⊥AD，
在△ACD中，AD=DC= 2，∠ADC=60°，所以OC= 62，
又因为PC= 2，所以PO2+OC2=PC2，所以PO⊥PC，
又因为PO⊥AD，AD∩OC=D，AD、OC⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
又因为OC⊥AD，所以OC、OD、OP两两垂直，
以OC所在直线为x轴，以OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系O−xyz，如图所示：

则C( 62,0,0)，D(0, 22,0)，P(0,0, 22)，
所以CD=(− 62, 22,0)，CP=(− 62,0, 22)，
设平面PCD的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CD=0m⋅CP=0，即− 62x+ 22y=0− 62x+ 22z=0，
取x=1，可得y=z= 3，所以m=(1, 3, 3)，
由平面ACD的一个法向量为n=(0,0,1)，
所以cs=m⋅n|m|×|n|= 3 7= 217，
所以二面角A−PE−B的平面角的余弦值为 217．
【解析】(1)连结AE，由△ACD为等边三角形，E是CD中点，得AE⊥AB，证明AB⊥AP，由直线与平面垂直的判定可得AB⊥面APE，从而得AB⊥PE；
(2)取AD中点O，连接PO、OC，证明PO、AD、OC两两垂直，由此建立空间直角坐标系，求出平面PCD的一个法向量与平面ACD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的平面角余弦值．
本题考查了直线与平面垂直的判定与性质应用问题，也考查了利用空间向量求空间角的问题，是中档题．
21.【答案】解：(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，
则P(A)=C43(34)314+C44(34)4=189256．
(2)X的可能取值为2，3，4．P(X=2)=C22C62C84=1570=314，P(X=3)=C21C63C84=4070=47，P(X=4)=C20C64C84=1570=314，
X的分布列为：
数学期望E(X)=2×314+3×47+4×314=3．
【解析】(1)根据独立重复实验概率公式和概率加法公式求解；
(2)由已知确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
22.【答案】解：(1)依题可得c= 3,3a2+14b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c= 3,
所以椭圆C的方程为x24+y2=1；
(2)易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴，
故可设PQ：y=kx+m，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
由x24+y2=1,y=kx+m可得，(1+4k2)x2+8mkx+4m2−4=0，
所以x1+x2=−8mk1+4k2,x1x2=4m2−41+4k2,Δ=16(4k2+1−m2)>0，即4k2+1>m2，
而kAPkAQ=120，即y1x1−2⋅y2x2−2=120，
化简可得20(kx1+m)(kx2+m)=(x1−2)(x2−2)，20k2x1x2+20km(x1+x2)+20m2=x1x2−2(x1+x2)+4，20k2⋅4m2−41+4k2+20km⋅−8mk1+4k2+20m2=4m2−41+4k2−2×−8mk1+4k2+4，
化简得6k2+mk−m2=0，
所以m=−2k或m=3k，
所以直线PQ：y=k(x−2)或y=k(x+3)，
因为直线PQ不经过点A，
所以直线PQ经过定点(−3,0)，
所以直线PQ的方程为y=k(x+3)，易知k≠0，
设定点B(−3,0),S△APQ=|S△ABP−S△ABQ|=12|AB||y1−y2|=52|k||x1−x2|=52|k| (x1+x2)2−4x1x2=52|k| (−8km1+4k2)2−4×4m2−41+4k2=5|k|2 16(4k2+1−m2)1+4k2=10 (1−5k2)k21+4k2，
因为Δ>0，且m=3k，
所以1−5k2>0，所以0设t=4k2+1∈(1,95)，
所以S△APQ=52 −5t2+14t−9t2=52 −9(1t−79)2+49≤53，
当且仅当t=97，即k2=114时取等号，即△APQ面积的最大值为53．
【解析】(1)根据椭圆过的点和右焦点，列方程组求出a，b，c，则椭圆方程可求；
(2)设PQ：y=kx+m，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，与椭圆方程联立，消去y，利用韦达定理计算kAPkAQ=120，可得k，m的关系，利用k，m的关系表示出S△APQ，利用二次函数的性质求出最值．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于难题．x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.6
1
1.4
1.5
X
2
3
4
P
314
47
314