2022-2023学年新疆昌吉二中高一（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2022-2023学年新疆昌吉二中高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合P={x|1A. {x|12.“a>0，b>0”是“ab>0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不允分也不必要条件
3.已知csα=−513，且α为第二象限角，则tanα=( )
A. −125B. −512C. −1213D. −1312
4.已知sin(5π2+α)=15，csα=( )
A. −25B. −15C. 15D. 25
5.要得到y=sin(2x−π3)的图象，只要将y=sin2x的图象( )
A. 向左平移π3个单位B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位
6.不等式(a−3)x2+2(a−3)x−6<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−3,3)B. [−3,3]C. (−3,3]D. [−3,3)
7.若sinα+csαsinα−csα=12，则tan2α=( )
A. −34B. 34C. −43D. 43
8.已知函数f(x)=ex1+ex−12.下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A. 函数f(x)是奇函数
B. 函数f(x)在R上是增函数
C. 函数f(x)的值域是(−12,12)
D. 存在实数a，使得关于x的方程f(x)−a=0有两个不相等的实数根
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数既是偶函数，在(0,+∞)上又是增函数的是( )
A. y=x2+1B. y=2xC. y=|x|D. y=|1x−x|
10.下列等式成立的是( )
A. cs215°−sin215°= 32B. 12sin40°+ 32cs40°=sin70°
C. sinπ8csπ8= 24D. tan15°=2− 3
11.若函数f(x)=lg12x，则下列说法正确的是( )
A. 函数定义域为RB. 00
C. f(x)>1的解集为(−∞,12)D. f(f(12))=0
12.已知函数f(x)=sin(3x+φ)(−π2<φ<π2)的图像关于直线x=π4对称，则( )
A. 函数f(x+π12)为奇函数
B. 函数f(x)在[π12,π3]上单调递增
C. 若|f(x1)−f(x2)|=2，则|x1−x2|的最小值为π3
D. 当x∈[0,π3],f(x)的值域是[− 22, 22]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若P(−3,4)是角α终边上一点，则csα= ______ ．
14.函数f(x)=1+1 2sinx−1的定义域为______．
15.已知定义在R上的奇函数y=f(x)在区间(−∞,0]上单调递减，若f(2m2+m)+f(2m−2)≥f(0)，则实数m的取值范围为______ ．
16.已知函数f(x)=sin(ωx−π6)+k(ω>0)的最小正周期为T，若π四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)(169)12+( 3−1)0−(0.25)−1+6(−3)6；
(2)lg4+2lg5+lg23×lg38+lg1．
18.(本小题12分)
已知tanθ=32．
(1)求sinθ(sinθ+csθ)cs2θ−1的值；
(2)求2sin3(π+θ)tan(3π−θ)sin(−θ)cs(π2+θ)cs(3π2−θ)的值．
19.(本小题12分)
已知α，β为锐角，csα=35，cs(α+β)=− 55．
(1)求sinβ的值；
(2)tan(α−β)的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x−1)=lgx2−x．
(1)求函数f(x)解析式；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x+π6)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinxcsx− 3cs2x+ 32．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，当x∈[π2,π]时，求函数g(x)的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
直接利用交集的运算法则求解即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
【解答】
解：集合P={x|1则P∩Q={x|2故选：B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质和充要条件的判断，属于基本题．
由不等式性质易判“a>0，b>0”⇒“ab>0”，反之取特值即可．
【解答】
解：由“a>0，b>0”可推出“ab>0”，反之取a=−1，b=−2可知不成立．
故选A．
3.【答案】A
【解析】解：∵csα=−513，且α为第二象限角，
∴sinα=1213，
则tanα=sinαcsα=−125．
故选：A．
由已知结合同角平方关系可求sinα，进而可求．
本题主要考查了同角基本关系的简单应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：sin(5π2+α)=sin(2π+π2+α)=sin(π2+α)=csα=15．
故选：C．
已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出csα的值．
此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
【解答】
解：将y=sin2x向右平移π6个单位得：y=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)，
故选：D．
6.【答案】C
【解析】解：当a=3时，−6<0恒成立，
当a≠3时，a−3<0Δ=4(a−3)2+24(a−3)<0，解得：−3综上可知，−3故选：C．
讨论a=3和a≠3两种情况，列式求实数a的取值范围．
本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．
将已知等式左边的分子分母同时除以csα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入即可求出值．
【解答】
解：∵sinα+csαsinα−csα=tanα+1tanα−1=12，
∴tanα=−3，
则tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−3)1−(−3)2=34．
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：因为函数f(x)=ex1+ex−12的定义域为R，
对于A，∵f(0)=e01+e0−12=0，且f(x)+f(x)=0，
∴函数f(x)是奇函数，A选项正确；
对于B，函数f(x)=ex1+ex−12=1−11+ex−12=12−11+ex，
令x1∵x1∴ex1而1+ex1>1，1+ex2>1，
∴f(x1)−f(x2)=ex1−ex2(1+ex1)(1+ex2)<0，即f(x1)因此函数f(x)在R上是增函数，B选项正确；
对于C，函数f(x)=12−11+ex，
∵1+ex>1，
∴0<11+ex<1，则−1<−11+ex<0，
∴−12<12−11+ex<12，即−12所以函数f(x)的值域是(−12,12)，C选项正确；
对于D，由B可知函数f(x)在R上是增函数，因此关于x的方程f(x)−a=0不可能有两个不相等的实数根，D选项错误．
故选：D．
根据奇函数的性质、指数函数的性质，结合函数的单调性进行求解判断即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数及常见函数性质是解题的关键，属于基础题．
由基本初等函数及常见函数的性质逐一判断即可．
【解答】
解：对于A，y=x2+1为偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，满足题意；
对于B，y=2x是奇函数，不满足题意；
对于C，y=|x|是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，满足题意；
对于D，y=|1x−x|是偶函数，当x∈(0,1)时，y=1x−x为减函数，不满足题意．
故选：AC．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查倍角公式的应用，考查两角和与差的正弦公式和正切公式，是基础的计算题．
利用倍角公式变形求解A与C，利用两角和与差的三角函数计算判断B与D．
【解答】
解：cs215°−sin215°=cs30°= 32，故A正确；
12sin40°+ 32cs40°=sin40°cs60°+cs40°sin60°=sin100°=sin80°，故B错误；
sinπ8csπ8=12⋅2sinπ8csπ8=12sinπ4= 24，故C正确；
tan15°=tan(45°−30°)=tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=1− 331+ 33=2− 3，故D正确．
故选：ACD．
11.【答案】BD
【解析】解：由题知，f(x)=lg12x，
对于A，函数定义域为(0,+∞)，故A错误；
对于B，f(x)=lg12x在(0,+∞)上单调递减，所以当0lg121=0，故B正确；
对于C，f(x)=lg12x在(0,+∞)上单调递减，f(x)>1，即lg12x>lg1212，解得(0,12)，故C错误；
对于D，f(f(12))=f(1)=lg121=0，故D正确．
故选：BD．
根据对数函数的图像和性质解决即可．
本题主要考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：函数f(x)=sin(3x+φ)，
由于函数关于x=π4对称，
即当x=π4时，3×π4+φ=kπ+π2(k∈Z)，整理得φ=kπ−π4，
由于−π2<φ<π2，
故φ=−π4；
故f(x)=sin(3x−π4).
对于A：f(x+π12)=sin(3x+π4−π4)=sin3x，故函数f(x+π12)为奇函数，故A正确；
对于B：由于π12≤x≤π3，故3x−π4∈[0,3π4]，故函数在该区间上不单调，故B错误；
对于C：由于函数的最小正周期为2π3，所以T2=π3，故|f(x1)−f(x2)|=2，则|x1−x2|的最小值为π3；故C正确；
对于D：由于x∈[0,π3]，所以3x−π4∈[−π4,3π4]，所以f(x)∈[− 22,1]，故D错误；
故选：AC．
首先利用函数的对称轴为突破口求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的确定，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
13.【答案】−35
【解析】解：由已知P(−3,4)是角α终边上一点，
所以点P到原点的距离为5，所以csα=−35．
故答案为：−35．
由三角函数定义求角α余弦值．
本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
14.【答案】(2kπ+π6,2kπ+5π6)，k∈Z
【解析】解：由函数f(x)=1+1 2sinx−1，可得2sinx−1>0，即sinx>12，
故2kπ+π6故函数的定义域为(2kπ+π6,2kπ+5π6 )，k∈Z，
故答案为：(2kπ+π6,2kπ+5π6 )，k∈Z．
由题意，可得sinx>12，由此求得x的范围．
本题主要考查根据函数的解析式求函数的定义域，正弦函数的图象，属于中档题．
15.【答案】[−2,12]
【解析】解：因为函数y=f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，
又由y=f(x)在区间(−∞,0]上单调递减，所以y=f(x)在区间(0,+∞)也是单调递减函数，
又因为不等式f(2m2+m)+f(2m−2)≥f(0)，即f(2m2+m)+f(2m−2)≥0，
即f(2m2+m)≥−f(2m−2)=f(2−2m)，
可得2m2+m≤2−2m，即2m2+3m−2≤0，解得−2≤m≤12，
即实数m的取值范围为[−2,12]．
故答案为：[−2,12]．
由题意，得到f(0)=0，且在区间(−∞,0]上单调递减，在区间(0,+∞)为单调递减函数，把f(2m2+m)+f(2m−2)≥f(0)，转化为f(2m2+m)≥f(2−2m)，结合单调性，即可求解．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】52
【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx−π6)+k(ω>0))的最小正周期为T，若π所以π<2πω<2π，解得1<ω<2，
因为x=5π4时，f(x)取得最小值1，
所以5π4ω−π6=−π2+2nπ,n∈Z，k−1=1，
所以ω=−415+85n,n∈Z，k=2，
因为1<ω<2，
所以n=1,ω=43，即f(x)=sin(43x−π6)+2，
所以f(π4)=sin(43×π4−π6)+2=52，
故答案为：52．
由题知5π4ω−π6=−π2+2nπ,n∈Z，k−1=1，1<ω<2，进而得f(x)=sin(43x−π6)+2，再计算f(π4)即可．
本题考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)(169)12+( 3−1)0−(0.25)−1+6(−3)6=[(43)2]12+1−(14)−1+3=43+1−4+3=43．
(2)lg4+2lg5+lg23×lg38+lg1=lg4+lg25+lg28+0=lg(4×25)+lg223=lg102+3=2+3=5．
【解析】(1)根据指数、根式的运算求得正确答案．
(2)根据对数运算求得正确答案．
本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)sinθ(sinθ+csθ)cs2θ−1=sin2θ+sinθcsθ−sin2θ=−1−csθsinθ=−1−1tanθ=−1−23=−53；
(2)2sin3(π+θ)tan(3π−θ)sin(−θ)cs(π2+θ)cs(3π2−θ)=(−2sin3θ)(−tanθ)(−sinθ)(−sinθ)(−sinθ)
=−2sin2θtanθ=−3sin2θ=−3sin2θsin2θ+cs2θ=−3tan2θtan2θ+1=−3×9494+1=−2713．
【解析】(1)根据题意，利用同角三角函数的平方关系及商数关系，将表达式化为正切的式子，即可得解；
(2)利用诱导公式化简，结合平方关系化弦为切，从而算出所求式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、三角函数的诱导公式及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)已知α，β为锐角，
所以：0<α+β<π，
由于csα=35，
所以：sinα=45，
由于cs(α+β)=− 55.，
所以：sin(α+β)=2 55
sinβ=sin[(α+β)−α]，
=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα，
=2 55⋅35+ 55⋅45，
=2 55．
(2)由于：sinβ=2 55，
所以：csβ= 55，
则：tanβ=sinβcsβ=2，
由于csα=35，
所以：sinα=45，
所以：tanα=43．
则：tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=−211．
【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
(1)直接利用三角函数的定义和同角三角函数的关系式和两角和与差的三角函数公式的应用求出结果．
(2)直接利用(1)的结论和同角三角函数的关系式和两角和与差的三角函数公式的应用求出结果．
20.【答案】解(1)令t=x−1，则x=t+1，则f(t)=lgt+12−t−1=lgt+11−t，
所以f(x)=lgx+11−x．
(2)奇函数；
证明：由x+11−x>0可得x+1x−1<0，
解得−1即定义域为(−1,1)，
因为f(−x)=lg1−x1+x=−lgx+11−x=−f(x)，
所以f(x)为奇函数．
【解析】(1)利用换元法，令t=x−1，得f(t)，从而可得f(x)；
(2)先求函数定义域，利用奇偶性的定义进行证明．
本题主要考查了换元法在函数解析式求解中的应用，还考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为函数f(x)=sin(2x+π6)，所以最小正周期T=2π2=π．
(2)当0≤x≤π2时，π6≤2x+π6≤7π6，
而正弦函数y=sinx在[π6,π2]上单调递增，在[π2,7π6]上单调递减，
因此当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)=sin(2x+π6)取最大值1，
当2x+π6=7π6，即x=π6时，f(x)=sin(2x+π6)取最小值−12，
所以f(x)的最大值为1，最小值为−12．
【解析】(1)利用正弦型函数周期公式求解即可．
(2)求出函数f(x)相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即可．
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数f(x)=sinxcsx− 3cs2x+ 32=12sin2x− 32(1+cs2x)+ 32=sin(2x−π3)．
令π2+2kπ≤2x−π3≤2kπ+3π2，(k∈Z)，
整理得：5π12+kπ≤x≤kπ+11π12，(k∈Z)，
故函数的单调递减区间为：[5π12+kπ,kπ+11π12]，(k∈Z)．
(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)=sin(x−π6)的图象，
由于：x∈[π2,π]，
所以：x−π6∈[π3,5π6]，
故sin(x−π6)∈[12,1]．
故函数g(x)的取值范围为[12,1]．
【解析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单独叫递减区间；
(2)利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

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