高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切第一课时课时训练

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A．1 B．2
C．3 D．4
2．sin 110°cs 40°＋cs 70°sin 220°＝ ( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),2)
C．－ eq \f(1,2) D．－ eq \f(\r(3),2)
3．函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的最大值是( )
A． eq \f(\r(3),2) B．1
C． eq \r(3) D．2
4．已知角α的终边经过点(－ eq \f(\r(3),2)， eq \f(1,2))，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝________．
5．(多选)关于函数f(x)＝sin x＋ eq \r(3)cs x，下列说法正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在(－ eq \f(π,6)， eq \f(π,6))上单调递增
C．f(x)的最大值为2
D．当x＝θ时，函数f(x)取得最大值，则cs θ＝ eq \f(\r(3),2)
6．已知0<α< eq \f(π,2)<β<π，cs (β－α)＝ eq \f(\r(2),10)，sin α＝ eq \f(4,5)，则β的值为________．
7．(逻辑推理命题)在△ABC中，2cs B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
8．在△ABC中，A＝15°，则 eq \r(3)sin A－cs (B＋C)的值为( )
A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \r(2) D．2
9．已知α为锐角且cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝ eq \f(4,5)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))的值为( )
A． eq \f(\r(2),10) B． eq \f(7\r(2),10)
C．－ eq \f(\r(2),10) D．－ eq \f(7\r(2),10)
10．函数y＝2sin ( eq \f(π,3)－x)－cs ( eq \f(π,6)＋x)(x∈R)的最小值为 ( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．－ eq \r(5)
11．已知f(x)＝sin ( eq \f(π,3)x＋ eq \f(π,3))－ eq \r(3)cs ( eq \f(π,3)x＋ eq \f(π,3))，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)的值为( )
A．2 eq \r(3) B． eq \r(3)
C．1 D．0
12．(多选)若f(x)＝sin (3x＋θ)－cs (3x＋θ)是奇函数，则θ的值可以是( )
A． eq \f(π,4) B．π
C． eq \f(4π,3) D． eq \f(5π,4)
13．已知sin (α－β)cs α－cs (β－α)sin α＝ eq \f(4,5)，β是第三象限角，求sin (β＋ eq \f(π,4))的值．
14．已知函数f(x)＝ eq \r(3)sin 2x＋cs 2x.
(1)求函数y＝f(x)的周期；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．
15.已知向量a＝(sin x，cs x－1)，b＝( eq \r(3)，－1)，设f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期和其图象的对称中心；
(2)已知α为锐角，β∈(0，π)，f(α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(13,5)，sin (α＋β)＝－ eq \f(12,13)，求sin (2α＋β)的值．
第1课时 两角和与差的正弦
必备知识基础练
1．答案：A
解析：原式
＝eq \f(sinαcs30°＋csαsin30°－sinαcs30°＋csαsin30°,csα)
＝eq \f(2csαsin30°,csα)＝2sin30°＝1.
2．答案：A
解析：因为sin110°＝sin (180°－70°)＝sin70°，
sin220°＝sin (180°＋40°)＝－sin40°，
所以sin110°cs40°＋cs70°sin220°＝sin70°cs40°－cs70°sin40°＝sin (70°－40°)＝sin30°＝eq \f(1,2).
故选A.
3．答案：C
解析：f(x)＝sinx·cseq \f(π,6)－csx·sineq \f(π,6)＋csx·cseq \f(π,3)＋sinx·sineq \f(π,3)
＝eq \f(\r(3),2)sinx－eq \f(1,2)csx＋eq \f(1,2)csx＋eq \f(\r(3),2)sinx＝eq \r(3)sinx，
∵－1≤sinx≤1，∴函数f(x)的最大值是eq \r(3).
故选C.
4．答案：eq \f(\r(3),2)
解析：由题设，sinα＝eq \f(1,2)，csα＝－eq \f(\r(3),2)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)sinα－eq \f(1,2)csα＝eq \f(\r(3),2).
5．答案：BCD
解析：函数f(x)＝sinx＋eq \r(3)csx＝2(sinx·eq \f(1,2)＋csx·eq \f(\r(3),2))＝2(sinxcseq \f(π,3)＋csxsineq \f(π,3))＝2sin (x＋eq \f(π,3))，显然，f(x)不是偶函数，A不正确；由－eq \f(π,2)＋2kπ≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(5π,6)＋2kπ≤x≤eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，所以f(x)在(－eq \f(5π,6)＋2kπ，eq \f(π,6)＋2kπ)，k∈Z，上单调递增，从而f(x)在(－eq \f(π,6)，eq \f(π,6))上单调递增，B正确；函数f(x)的最大值为2，C正确；当f(x)取得最大值时，x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋2kπ，x＝eq \f(π,6)＋2kπ＝θ，k∈Z，所以csθ＝eq \f(\r(3),2)，D正确．故选BCD.
6．答案：eq \f(3π,4)
解析：∵0<α∴csα＝eq \f(3,5).
又0<α又cs (β－α)＝eq \f(\r(2),10)，
∴sin (β－α)＝eq \f(7\r(2),10)，∴sinβ＝sin [(β－α)＋α]＝sin (β－α)csα＋cs (β－α)·sinα＝eq \f(7\r(2),10)×eq \f(3,5)＋eq \f(\r(2),10)×eq \f(4,5)＝eq \f(\r(2),2).
由eq \f(π,2)<β<π，得β＝eq \f(3π,4).
关键能力综合练
7．答案：C
解析：∵2csBsinA＝sinC＝sin (A＋B)＝sinAcsB＋csAsinB，
∴sinAcsB－csAsinB＝0，
∴sin (A－B)＝0，∴A－B＝kπ(k∈Z).
又∵0∴A＝B，故选C.
8．答案：C
解析：eq \r(3)sinA－cs (B＋C)＝eq \r(3)sinA＋csA＝2sin (A＋30°)＝2sin45°＝eq \r(2)，故选C项．
9．答案：C
解析：α为锐角，故eq \f(π,6)<α＋eq \f(π,6)又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)[sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))]＝－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,5)＝－eq \f(\r(2),10).
故选C.
10．答案：C
解析：y＝2sin (eq \f(π,3)－x)－cs (eq \f(π,6)＋x)＝2sineq \f(π,3)csx－2cseq \f(π,3)sinx－cseq \f(π,6)csx＋sineq \f(π,6)sinx＝eq \r(3)csx－sinx－eq \f(\r(3),2)csx＋eq \f(1,2)sinx＝eq \f(\r(3),2)csx－eq \f(1,2)sinx＝cs (x＋eq \f(π,6))，∵x∈R，∴函数的最小值为－1.
11．答案：D
解析：f(x)＝sin (eq \f(π,3)x＋eq \f(π,3))－eq \r(3)cs (eq \f(π,3)x＋eq \f(π,3))＝2sin (eq \f(π,3)x＋eq \f(π,3)－eq \f(π,3))＝2sineq \f(π,3)x，
则函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,\f(π,3))＝6.
又因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝2sineq \f(π,3)＋2sineq \f(2π,3)＋2sineq \f(3π,3)＋2sineq \f(4π,3)＋2sineq \f(5π,3)＋2sineq \f(6π,3)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)]×337＝0.
12．答案：AD
解析：∵f(x)＝sin (3x＋θ)－cs (3x＋θ)＝eq \r(2)sin (3x＋θ－eq \f(π,4))是奇函数，
∴f(0)＝0，θ－eq \f(π,4)＝kπ(k∈Z)，
∴θ＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝eq \f(π,4)；
当k＝1时，θ＝eq \f(5π,4)，故选AD.
13．解析：∵sin (α－β)csα－cs (β－α)sinα＝sin (α－β)csα－cs (α－β)sinα＝sin (α－β－α)＝sin (－β)＝－sinβ＝eq \f(4,5)，
∴sinβ＝－eq \f(4,5)，又β是第三象限角，
∴csβ＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(3,5)，
∴sin(β＋eq \f(π,4))＝sinβcseq \f(π,4)＋csβsineq \f(π,4)＝(－eq \f(4,5))×eq \f(\r(2),2)＋(－eq \f(3,5))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
14．解析：(1)f(x)＝eq \r(3)sin2x＋cs2x
＝2(eq \f(\r(3),2)sin2x＋eq \f(1,2)cs2x)
＝2sin (2x＋eq \f(π,6))
故函数y＝f(x)的周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得
kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，
所以f(x)单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z).
核心素养升级练
15．解析：由题意得f(x)＝a·b＝eq \r(3)sinx－csx＋1＝2sin (x－eq \f(π,6))＋1.
(1)f(x)的最小正周期T＝2π，
令x－eq \f(π,6)＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，
又f(kπ＋eq \f(π,6))＝2sinkπ＋1＝1(k∈Z)，
因此函数f(x)的图象的对称中心为(kπ＋eq \f(π,6)，1)，k∈Z.
(2)由f(α＋eq \f(π,6))＝2sin (α＋eq \f(π,6)－eq \f(π,6))＋1＝2sinα＋1＝eq \f(13,5)，
得sinα＝eq \f(4,5).
∵α∈(0，eq \f(π,2))，
∴csα＝eq \f(3,5).
∵α∈(0，eq \f(π,2))，β∈(0，π)，
∴α＋β∈(0，eq \f(3π,2)).
又sin (α＋β)＝－eq \f(12,13)<0，
∴α＋β∈(π，eq \f(3π,2))，
∴cs (α＋β)＝－eq \f(5,13)，
∴sin (2α＋β)＝sin [(α＋β)＋α]＝sin (α＋β)csα＋cs (α＋β)sinα＝－eq \f(12,13)×eq \f(3,5)＋(－eq \f(5,13))×eq \f(4,5)＝－eq \f(56,65).
必备知识基础练
进阶训练第一层
关键能力综合练
进阶训练第二层
核心素养升级练
进阶训练第三层