北京市西城区北京师范大学实验华夏女子中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份北京市西城区北京师范大学实验华夏女子中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共32页。试卷主要包含了学业评价结束后，答题纸交回等内容，欢迎下载使用。
学生须知：
1．本卷共8页，满分100分，考试时间120分钟．
2．本卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在本卷上作答无效．
3．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题目用黑色签字笔作答．
4．学业评价结束后，答题纸交回．
一、选择题：(本题共16分，每小题2分)
1. 抛物线顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，掌握的顶点坐标是是解题的关键．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选B．
2. 将抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
【详解】解：抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为，
故选D．
3. 直径为2个单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A，则点A表示的数是（ ）
A. 2B. C. πD. 2π
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，正确理解题意，明确的长为圆的周长是解决本题的关键．
【详解】解：∵圆的周长为，
故选D．
4. 图，的半径为9，是两条弦，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求弧长，弧与弦之间的关系，先根据弧长公式求出的长，再根据同圆中等弦所对的弧相等可得，据此可得答案．
【详解】解：∵的半径为9，，
∴的长，
∵，
∴，
∴的长为，
故选B．
5. 如图，为的直径，与相切于点A，弦．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质定理，等边对等角求角度，平行线的性质，直角三角形内角和，
根据切线的性质及直角三角形两锐角互余求得，利用平行线的性质及半径相等的性质得到，再利用平行线的性质求出．
【详解】解：∵与相切于点A，为的直径，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故选：A．
6. 如图，点P是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为O，在P点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着P点转动，转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于A，B两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确的是（ ）
A.
B. 点P到弦所在直线距离存在最大值
C. 的大小改变
D. 线段与的长度之和不变
E. 图中阴影部分的面积不变
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理，点到直线的距离的定义、极限思想和三角形三边关系、三角形面积公式等进行逐一判断即可．
【详解】解：A、如图，连接，
当时，此时点P到弦所在直线的距离最大，故A正确；
B、根据题意得：点A，B是圆O上的定点，所以所对的弦的大小不变，即的大小不变，故B错误；
C、当点P无限接近点B时，线段与的长度之和无限接近，而当点P从点B向点A移动过程中，线段与的长度之和发生变化，故C错误；
D、阴影部分面积分为弓形面积和面积之和，弓形面积不变，而点P到距离不一定，所以面积非定值，故阴影部分面积随着点P的移动发生变化，故D选项错误；
故选：A．
【点睛】此题主要考查圆的基本性质，圆周角定理，点到直线的距离，掌握基础知识的综合运用是解此题的关键．
7. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆的基本性质，抛物线与x轴的交点坐标，勾股定理，三角形中位线的性质等．当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，而是的中位线，据此求解即可．
【详解】解：令，解得，
故点，，
设圆的半径为r，则，
连接，而点Q、O分别为、的中点，
故是中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，此时最大，
，，
，，
则，
故选：C．
8. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间（不包含端点）．则下列结论中：
①；
②；
③；
④一元二次方程的两个根分别为，；
⑤（其中）．
正确的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质．根据对称轴知抛物线与x轴的另一交点为，得到，可判断①错误；根据两根之积得出，再结合可判断②正确；根据条件得到当时，有，可得可判断③正确；把化为可判断④正确；根据顶点坐标为，结合，可判断⑤正确．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一交点为，
∴，，故①错误；
∴
∵．
∴．
∴，故②正确；
∵顶点坐标为，
∴其对称轴．即．
∵抛物线与x轴交于点，
∴，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在和两点之间，
∴．
∵顶点坐标为，即当时，有，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．故③正确；
∵一元二次方程可化为，
又∵．∴可有，
解方程，得，，故④正确；
∵顶点坐标为，且，，
∴，即，
∴，故⑤正确；
故选：C．
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9. 点关于原点对称的点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
10. 写出一个开口向下，且过的二次函数的解析式_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数开口向下，所写出的二次函数即可，解题的关键是熟练掌握二次函数图象开口方向和二次函数图象上点的坐标特征．
【详解】解：二次函数开口向下，且经过，
故答案为：（答案不唯一）．
11. 关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是______．
【答案】0或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、二次函数的图象和性质；
分两种情况：①当该函数是一次函数时，；②当该函数是二次函数时，，，据此可求出a的值．
【详解】解：①当关于x的函数是一次函数时，
可得：；
②当关于x的函数是二次函数时，
∵图象与x轴只有一个交点，
∴，，
解得：，
综上，a的值是0或，
故答案为：0或．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．
【答案】（2，1）
【解析】
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
13. 如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式，得A（0，3），B的坐标为（3，0），利用数形结合思想完成解答．
【详解】∵，
∴，
解得x=3或x=-1，
∴点B的坐标为（3，0），
当x=0时，y=3，
∴点A的坐标为（0，3），
∴不等式的解集为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像，交点问题，解析式构造的不等式解集问题，熟练掌握函数交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
14. 如图，将含有角的直角三角板放置在平面直角坐标索中在x轴上，若，将三角板绕原点O旋转得到，则点A的对应点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形的变化—旋转，含角的直角三角形的性质和勾股定理．过点A作轴于点C，求出，的长度是解题关键．
【详解】解：过点A作轴于点C，
则，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
15. 如图，是的切线，A，B为切点，C为圆上一点，，时，_____，的长为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理，掌握根据切线的性质求出，根据切线长定理求出，根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理计算，得到答案．是解题的关键．
【详解】连接，
∵是的两条切线，
∴，
∵，
∴，
；
∵是的两条切线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为．P是第一象限内任意一点，连接，．若，则我们把叫做点P的“角坐标”．
（1）若点P的坐标为，则点P的“角坐标”为___________．
（2）若点P到x轴的距离为1，则的最小值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形的性质、等腰直角三角形、三角形外角的性质及圆周角定理，推出取得最小值即为取得最大值，且找到满足条件的点位置是关键.
（1）由坐标可知,，则利用三角函数得到，根据定义解答即可；
（2）根据三角形内角和定理知若要使取得最小值, 即取得最小值，则需取得最大值，中点圆心，为半径画圆，与直线相切于点，由，知此时最大，，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，
∵点A的坐标为，点P的坐标为，
∴，，
∵
∴，
∴点P的“角坐标”为，
故答案为：；
（2）根据三角形内角和定理知若要使取得最小值，即取得最小值，
则需取得最大值，
如图，
∵点到轴的距离为，
∴中点为圆心，为半径画圆，与直线相切于点，在直线上任取一点连接，，交圆于点，
，
此时最大，
∴的最小值，
故答案为:．
三、解答题(本题共68分，第17题6分，第18-23题每小题5分第24~26题每小题6分，第27-28题，每小题7分)
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）运用公式法解一元二次方程即可；
（2）运用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，；
【小问2详解】
或，
解得：，．
18. 如图，在中，直径，垂足为M，若，．
（1）证明：；
（2）求的半径．
【答案】（1）过程见解析
（2）5
【解析】
【分析】（1）先根据垂径定理得，，再根据圆周角定理得出答案；
（2）设半径是r，可知，，根据垂径定理得，再根据勾股定理列出方程，求出解即可．
【小问1详解】
连接．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即；
【小问2详解】
设半径是r，则，．
∵，，
∴．
在中，，
即，
解得．
所以的半径是5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及推论，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．
19. 已知：如图，A为上的一点．
求作：过点A且与相切的一条直线．
作法：①连接OA；
②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB；
③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴（ ）（填推理的依据）．
∵OA是的半径，
∴直线PA与相切（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理
【解析】
【分析】（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；
（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．
【详解】解：（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作；
（2）证明：连接BA，
由作法可知，
∴点A在以OP为直径的圆上，
∴（直径所对的圆周角是直角），
∵OA是的半径，
∴直线PA与相切（切线的判定定理），
故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．
【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为．
（1）将绕原点O顺时针方向旋转得到对应的，请画出；
（2）C点运动到的过程，线段扫过的图形的面积为_______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质，分别作出、、的对应点、、，再依次连接即可；
（2）线段扫过的图形的面积即为扇形的面积，先根据坐标两点的距离公式，求出，再由旋转的性质可知，最后利用扇形面积公式，即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作；
【小问2详解】
解：如图，线段扫过的图形的面积即为扇形的面积，
，
，
由旋转的性质可知，，
，
即线段扫过的图形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图——旋转变换，旋转的性质，图形旋转后扫过的面积，坐标两点的距离公式，熟练掌握旋转的性质以及扇形面积公式是解题关键．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；
（2）若此方程的两根为异号整数，求整数k的值．
【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
（1）计算判别式的值即可证明；
（2）利用因式分解分解方程，然后由两根为异号整数得出答案．
【小问1详解】
解：，
，
，
故不论k为何值，这个方程都有两个实数根．
【小问2详解】
解：，
得，
解得，
由于此方程的两根为异号整数，
或．
22. 下表是二次函数图象上部分点的自变量x和函数值y．
（1）观察表格，______________；
（2）求此二次函数的表达式，并画出该函数的图象；
（3）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）3 （2），图象见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由表格可求出该抛物线的对称轴，从而即可求出m的值；
（2）根据表格结合（1）可知其顶点坐标为，故可设该抛物线解析式为．再将，代入，即可求出a的值，即得出其解析式，最后描点画图即可；
（3）根据该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，结合图象可知．再根据抛物线的对称性可知点A和点B关于直线对称，即点A到直线的距离和点B到直线的距离相等．最后根据，得出点B到直线的距离，即时，满足，结合表格即可知．
【小问1详解】
由表格可知当时，；当时，，
∴该抛物线的对称轴为直线．
∴当时的函数值与时的函数值相等．
∵当时，，
∴当时，，即．
故答案为：3；
【小问2详解】
由（1）知该抛物线的对称轴为直线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
∴可设该抛物线解析式为．
∵当时，，
∴，
解得：，
∴该抛物线解析式为．
该二次函数的图象如图，
【小问3详解】
∵该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，
∴．
由二次函数的对称性可知点A和点B关于直线对称，即点A到直线的距离和点B到直线的距离相等．
∵，
∴点B到直线的距离．
∴当，即时，满足．
∴．
综上可知．
【点睛】本题考查二次函数图象的对称性，利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
23. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分. 一名运动员起跳后，他的飞行路线如右图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）.
【答案】这名运动员起跳时的竖直高度为40m.
【解析】
【分析】根据顶点式利用待定系数法求出二次函数的解析式即可解决问题.
【详解】解：由题意可知抛物线的顶点为C（15, 45），
∴设抛物线的解析式为（a≠0），
∵y=0时，x=60，∴，∴，
∴，
∴x=0时，，即OB=40.
答：这名运动员起跳时的竖直高度为40m.
【点睛】本题是二次函数的实际应用题，主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，弄清题意，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题的关键.
24. 已知函数的图象过原点和点．
（1）直接写出)的解析式；
（2）如图，请画出分段函数的图象（不要求．列表），并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质：___________；
②若此分段函数的图象与直线有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．
【答案】（1）
（2）函数图象见解析；①性质见解析；②
（3），，
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数与x轴的交点问题，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先画出对应的函数图象，①结合图象即可求解；②分别两个抛物线的顶点坐标，观察图象即可求解；
（3）画出图象，观察图象即可求解．
【小问1详解】
解：∵函数的图象过点原点和点．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：补全分段函数的图象如图所示，

①此分段函数的一条性质：当时，函数值y随着x的增大而增大；
②函数，顶点坐标为，
函数，顶点坐标为，
∴由函数图象可知当时，此分段函数的图象与直线有三个公共点；
【小问3详解】
解：如图，

观察图象，区域内所有整点的坐标为，，．
25. 如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E．
（1）连接，则_______；
（2）求证：与相切；
（3）点F在上，，交于点N．若，求的长．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）由，和M是的中点，利用三角函数可以得到；
（2）只需证明，便可以得到与相切；
（3）连接，，证明，，根据特殊角的三角函数值可以得到的数值．
【小问1详解】
解：如图1，连接，，
∵是的直径，，
∴垂直平分，
∵M是的中点，
∴，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，是的直径，
∴，
∵M是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
【小问3详解】
如图2，连接，，
∵于M，
∴M是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴，
在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴，
在中，，，，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值，等比三角形的判定与性质的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若抛物线过点．
①求该抛物线的对称轴；
②已知，当时，，求a的值．
（2）若在抛物线上，且满足，当抛物线对称轴为直线时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）① ②
（2）
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，正确理解并掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
（1）①根据抛物线解析式得到抛物线经过点，即可求出对称轴；
②由①知抛物线对称轴为，得到 根据二次函数的性质得到当时，取得最大值3，即可求出的值；
（2）由抛物线对称轴为直线，得到，即，将 分别代入，根据，建立不等式组计算可得．
【小问1详解】
①∵抛物线，
∴当 时，，故抛物线经过点，
又∵抛物线过点，
∴抛物线的对称轴为直线 ，即 ；
②由①知抛物线对称轴为直线 ，
∴抛物线图象开口向下，且，
，
又，当时,
∴当 时，取得最大值，即
，解得；
【小问2详解】
若抛物线对称轴为直线
则 即，
∴解析式为，将分别代入，
得，
又，
，
．
27. 在中，，将线段绕点顺时针旋转到如图所示的位置，得到线段，连接平分交于点，交的延长线于点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）①求的度数；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①；②，证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意，补全图形即可；
（2）①过点作，交于点，利用等腰三角形的“三线合一”可得，进而证明是等腰直角三角形，可得；②利用等腰三角形的“三线合一”及线段垂直平分线的性质可得，结合等腰三角形的性质可得，对其进行转化，可得，，之间的数量关系．
【小问1详解】
解：如图所示．
【小问2详解】
解：①过点作，交于点．
，，
，，
又，
．
是等腰直角三角形，．
②，证明如下：
在等腰直角中，
．
，，
，
又平分，
垂直平分，
．
，
即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟悉相关性质定理，并作出正确的辅助线．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，A为任意一点，B为上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与的“美好距离”，记作．
（1）如图1，已知点．
①________；
②若点M在线段上，直接写出的取值范围是_______．
（2）若点N在直线上，求的取值范围；
（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为2，最大值为6，直接写出m的最小值和最大值．
【答案】（1）① ②
（2）
（3）的最小值为，最大值为
【解析】
【分析】（1）①运用新定义“美好距离”，即可求得答案；②根据新定义“美好距离”，分别求出，即可得出答案；
（2）设可得，运用新定义“美好距离”，可 得 ，再利用，即可求得答案；
（3）如图，找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案．
【小问1详解】
解：①∵到的距离的最小值，最大值，
，
故答案为:4；
②当在点处, 到的距离的最小值，最大值，
，
当在点处, 到的距离的最小值，最大值，
，
；
【小问2详解】
解：设，
，
∴，
∵点N在直线上,
设直线交轴于点，交轴于点，如图，
则时, 时,
，
，
，
当 时, 最小,
，即，
，
∵无最大值,
；
【小问3详解】
如图，
∵最小值为, 最大值为6，
∴两个同心圆中，小圆的半径为2，大圆的半径为，
，
∴的最小值是 ，
在中，
，x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
8
3
0
0
m
8
…