福建省宁德市霞浦第一中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份福建省宁德市霞浦第一中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试范围：北师大版第二章 考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 抛物线y＝x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是（ ）
A. （0，1）B. （1，O）C. （0，﹣3）D. （0，2）
【答案】A
【解析】
【分析】抛物线与y轴相交时，横坐标为0，将横坐标代入抛物线解析式可求交点纵坐标．
【详解】解：当x=0时，y=x2-4x+1=1，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法．令x=0，可到抛物线与y轴交点的纵坐标，令y=0，可得到抛物线与x轴交点的横坐标．
2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】∵，
∴二次函数图象顶点坐标为：.
故答案为A.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
3. 二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
则该函数图象的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴．
【详解】解：∵和时的函数值都是，
∴二次函数的对称轴为直线．
故选：C．
4. 二次函数的最小值是（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．根据二次函数的解析式是顶点式，即可得到结论．
【详解】解：由二次函数，
∴二次函数的最小值是；
故选D
5. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握二次函数图像性质，平移的基本方法是解答本题的关键．
根据题意，抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，即把顶点坐标点向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到点的坐标为，由此得到平移后得到的抛物线解析式，选出答案．
详解】解：由题意得：抛物线，
即抛物线的顶点坐标为，
先把抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，
即把点向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到点的坐标为，
平移后得到的抛物线解析式为：，
故选：．
6. 如图，二次函数的图象过点B（0,-2），它与反比例函数y=的图象交于点A（m,4），则这个二次函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m，得到A（-2，4），再把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可．
【详解】把A（m，4）代入y=解得4m=-8,解得：m=-2
把A（-2，4）, B（0,-2）代入得
解得：
∴二次函数的表达式为
故选A.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
7. 函数 的图象过点，则方程的解是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把代入，得，再代入计算，即可作答．
【详解】解：∵的图象过点，
∴
即
那么方程
解得或2
故选：C
8. 在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答．
【详解】解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意；
C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意；
D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
9. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A. ﹣2B. ﹣4C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
10. 如图，正方形的顶点C的坐标是，顶点A，B在第四象限，抛物线的图象经过点B，则a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及正方形的性质，全等三角形的性质与判定：根据正方形性质，通过证明，得，得出点B的坐标，再代入，即可作答．
【详解】解：如图，过点C作轴于点，过点作的延长线上：
∵四边形是正方形
∴，
∵
∴，
∴，
∵过点C作轴于点，
∴，
即，
则，
∴，
∵点B在第四象限，
即点B的坐标为，
把代入，
即，
∴，
故选：D
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 如果函数y＝(m﹣1)x2+x(m是常数)是二次函数，那么m的取值范围是_____．
【答案】m≠1
【解析】
【分析】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可．
【详解】∵函数y=（m-1）x2+x（m为常数）是二次函数，
∴m-1≠0，解得：m≠1，
故答案为m≠1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的特点是解题的关键．
12. 抛物线y＝x2﹣2x﹣5的顶点坐标是____．
【答案】(1，-6)
【解析】
【分析】配方成顶点式，即可得答案.
【详解】抛物线y＝x2﹣2x﹣5＝(x﹣1)2﹣6，
所以抛物线的顶点坐标是：(1，﹣6)，
故答案为(1，﹣6)．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握配方法是解题的关键.
13. 若二次函数y＝ax2+bx﹣3图象经过点（﹣1，0），（3，0），则其表达式为y＝_____．
【答案】x2﹣2x﹣3．
【解析】
【分析】利用待定系数法二元一次方程组，求解方程组即可求出二次函数解析式．
【详解】解：把（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，解得：
∴二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3．
故答案为x2﹣2x﹣3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，正确解出二元一次方程组的解是解题关键．
14. 将二次函数y＝x2﹣8x+3化为y＝a(x﹣m)2+k的形式是_____．
【答案】y＝(x﹣4)2﹣13
【解析】
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
详解】y＝x2﹣8x+3＝(x﹣4)2﹣16+3＝(x﹣4)2﹣13．
故答案是：y＝(x﹣4)2﹣13．
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
15. 二次函数，当时，函数的最大值为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】配方二次函数解析式可得抛物线的开口向上、对称轴为直线x=1，根据开口向上时，横坐标离对称轴越近，函数值越小即可得答案．
【详解】∵，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线在-1≤x≤1上，y随x的增大而减小，在1＜x≤2上，y随x的增大而增大．
∵，，
∴当时，．
故答案为：6
【点睛】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．熟练掌握二次函数的增减性是解题关键
16. 如图，在平面直角坐标系中，P是抛物线y＝－x2＋3x上一点，且在x轴上方，过点P分别向x轴、y轴作垂线，得到矩形PMON.若矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大，则m的取值范围是_________.
【答案】0＜m≤2
【解析】
【分析】代入y＝0求出抛物线与x轴交点的坐标，进而可得出0＜m＜3，由点P的横坐标可得出OM＝m、PM＝3m−m2，根据矩形的周长公式可得出C矩形OMON＝-2m2＋8m，再利用二次函数的性质即可得出当矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大时，m的取值范围．
【详解】当y＝0时，有−x2＋3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝3，
∴0＜m＜3，
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，−m2＋3m），OM＝m，PM＝3m−m2，
∴C矩形OMON＝2（OM＋PM）＝2（m＋3m−m2）＝−2m2＋8m，
∴当0＜m≤2时，矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大．
故答案为0＜m≤2．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及矩形的性质，利用二次函数的性质结合抛物线与x轴的交点坐标，找出m的取值范围．
三、解答题：本题有5小题，共52分．
17. 函数是二次函数．
（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为，那么______；
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．
【答案】（1）
（2）抛物线与x轴的交点分别为；抛物线顶点的坐标为
（3）见详解
【解析】
【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐标特征，关键是求出函数解析式．
（1）由抛物线与y轴交于，将代入抛物线解析式，即可求出m的值；
（2）令，求出的值，再配方后找出顶点坐标，即可作答；
（3）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出对应点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象；
【小问1详解】
解：∵该函数的图象与y轴交于点，
∴把代入解析式得：，
解得，
此时
故答案为：；
【小问2详解】
解：依题意，当时，
则
故抛物线与x轴的交点分别为；
∵
所以抛物线顶点的坐标为；
【小问3详解】
解：由（1）可知函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
列表如下：
描点，连线，画图如下：
18. 如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）
【答案】（1）m=﹣1；y=x2﹣3x+2
（2）x＜1或x＞3
【解析】
【分析】（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c求解即可；
（2）根据图象即可得出答案．
小问1详解】
把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：
0=1+m， ，
∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，
所以抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2；
【小问2详解】
由图可知，当x2﹣3x+2＞x﹣1时，
x＜1或x＞3．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式及图象法解不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．
19. 某药店购进一批医用级消毒液，进价为15元/瓶，出售时售价最低为18元/瓶，且相关部门规定利润率不能高于．通过分析销售情况，该药店发现这种消毒液一天的销售量y（瓶）与当天的售价x（元/瓶）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）设该药店某天销售这种消毒液所获得利润为w元，写出w与x之间的函数关系式，当售价定为多少时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？
【答案】（1）（，且x为整数）
（2），当时，w取得最大值，最大值为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据给定的数据，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式．
（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用销售该消毒液每天的销售利润=每瓶的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为，
将代入，得
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为（，且x为整数）．
【小问2详解】
解：依题意得：．
∵，且x为整数，
∴当时，w取得最大值，最大值为．
∴当每瓶消毒液售价为21元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是108元．
20. 已知抛物线与x轴只有一个公共点且经过点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线与抛物线相交于B，C两点（C点在B点的左侧），与对称轴相交于点P，且B，C分布在对称轴的两侧．若B点到抛物线对称轴的距离为n，且．试探求n与t的数量关系．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式；
（2）设直线与x轴交于点E，与y轴交于点D，过点B，C分别作y轴，x轴的垂线，交于点F，设与抛物线的对称轴交于点G，根据题意画出图形，在中，由，得，由，，可得比例式，求出，结合点B，C在抛物线上及在在中，，可求得答案．
【小问1详解】
解：由题意得
，解得，
∴抛物线的函数解析式为
【小问2详解】
设直线与x轴交于点E，与y轴交于点D，过点B，C分别作y轴，x轴的垂线，交于点F，设与抛物线的对称轴交于点G，
令，解得，
∴
∵直线与y轴交于点D，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵点B到抛物线对称轴的距离为n，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
∵点B，C在抛物线上，
∴，
∴
∵
∴
则在中，
∴
化简得
【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数的解析式，直线与坐标轴的交点问题，解直角三角形，等知识，利用数形结合思想，熟练掌握相关性质及定量是解题的关键．
21. 已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1,0），且a＜b.
（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）说明直线与抛物线有两个交点；
（3）直线与抛物线的另一个交点记为N.
（Ⅰ）若-1≤a≤，求线段MN长度的取值范围；
（Ⅱ）求△QMN面积的最小值.
【答案】（1）抛物线的顶点Q的坐标是（-，）；（2）证明见解析；（3）（Ⅰ）；
(Ⅱ) .
【解析】
【详解】分析: （1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；
（2）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；
（3）①由（2）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围；②设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案
详解:
（1）∵M（1，0），
∴b=-2a，
∴y=ax2+ax+b
=ax2+ax-2a
= a(x+)2－
∴顶点Q的坐标为（－，－）.
（2）由直线y=2x+m经过点M（1，0），可得m=－2.
∴y=2x-2
∴ax2+（a-2）x-2a+2=0
∴△=（a-2）2－4×a×（－2a+2）=（3a－2）2
∵2a +b=0，a