福建省泉州师范学院附属中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份福建省泉州师范学院附属中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分．在每小列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. πC. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．π是无限不循环小数是无理数，故本选项符合题意；
C．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 25的平方根是5B. 0.01的平方根是
C. 只有正数才有算术平方根D. 平方根是其本身的数只有0
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根的概念判断即可．
【详解】解：A、25的平方根是±5，故本选项命题是假命题；
B、0.01的平方根是±0.1，故本选项命题是假命题；
C、正数和0都有算术平方根，故本选项命题是假命题；
D、平方根是其本身的数只有0，故本选项命题是真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的概念，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3. 下列算式中，结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘方、幂的乘方、同底数幂除法，根据相关法则逐一计算，即可得到答案．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，不符合题意，选项错误；
B、，符合题意，选项正确；
C、，不符合题意，选项错误；
D、，不符合题意，选项错误；
故选：B．
4. 若，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式乘以单项式的计算法则得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，解二元一次方程组，正确得到关于m、n的二元一次方程组是解题的关键．
5. 若，则（ ）
A. 108B. 54C. 36D. 31
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用即可得．
【详解】解：因为，
所以，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键．
6. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义，熟记“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解”是解题关键．
【详解】解：A、结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误；
B、结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误；
C、结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误；
D、符合因式分解的定义，是因式分解，符合题意，选项正确；
故选：D．
7. 已知长方形的面积是，一边长是，则它的邻边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由长方形面积公式即可列出式子，计算即得答案．
【详解】解：另一边长为：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则．
8. 若与的乘积中不含常数项，则的值为（ ）
A. B. 3C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先利用多项式乘以多项式运算法则求出积，再令常数项为0求解即可．
【详解】解：
，
∵乘积中不含常数项，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解答的关键是熟练掌握运算法则，注意不含某一项就是说此项的系数等于0．
9. 已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】将原式变形为，因式中含有3，所以得到，而不能被3整除，所以得到，解得b=1，a+2c=6，进而得到，根据三个数均为自然数，解得，此时分类讨论a和c的值即可求解．
【详解】原式=
∵式中有乘数3的倍数
∴
∵不能被3整除
∴原式中只能有1个3
∴原式化为
∴
∴
∵是自然数
∴
解得
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
故选D．
【点睛】本题考查了乘方的应用，同底数幂乘法的应用，因式分解，重点是掌握相关运算法则．
10. 若实数，满足关系式，则的最大值为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了非负数性质，因式分解，配方法求最值，求出的取值范围是解题关键．根据偶次方的非负性，先得出，再结合因式分解，得出，从而得到的取值范围，根据已知关系式，利用完全平方公式配方得到，进而即可求出最大值．
详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 比较大小：______6．（填“”、“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】平方法，比较实数大小即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查比较实数大小．熟练掌握平方法比较实数的大小，是解题的关键．
12. 计算____．
【答案】8
【解析】
【分析】逆用积的乘方法则计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘．
13. 已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为_____．
【答案】10
【解析】
【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y=10，xy=1即可求解．
【详解】解：∵x+y=10，xy=1，
∴x2y+xy2
=xy（x+y）
=1×10
=10，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了代数式求值，因式分解-提公因式法．注意整体思想在解题中的应用．
14. 将命题“同角的余角相等”改成“如果...那么”的形式．如果____________，那么______________．
【答案】 ①. 两个角是同角的余角 ②. 这两个角相等
【解析】
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【详解】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等”，
故答案为：两个角是同角的余角，这两个角相等．
【点睛】本题考查命题的定义，解题的关键是根据命题的定义，知命题有题设和结论两部分组成．
15. 如果，那么的值为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】先把条件变形得到，再把需要求值的代数式化为，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴




．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，整式的加减运算，掌握“利用整体法求解代数式的值”是解本题的关键．
16. 若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除，则满足条件的“交替数”的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，实数的运算，二元一次方程组的应用，理解题意，将其转化为实数的运算是解题关键．设“交替数”，由，得出或，再由，得出或，然后由（为正整数0），得出、的取值情况，列出满足条件的“交替数”的所有情况，取最大值即可．
【详解】解：设“交替数”，
由题意可知，，，（为正整数0），
，
，，，且、为正整数，
或，
解得：或，
，
，
或，
（为正整数0），且，，
或或，
或或或或或，
解得：或或（舍）或（舍）或或，
当、、、时，；
当、、、时，；
当、、、时，；
当、、、时，；
满足条件的“交替数”的最大值为，
故答案为：．
三、计算题（本大题共8小题，共86.0分）
17. 计算．
（1）
（2）（简便计算）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算算术平方根、立方根和绝对值，再合并同类项即可；
（2）结合平方差公式计算即可；
（3）先计算积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘，再合并同类项即可；
（4）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
18. 分解因式
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）根据提公因式的方法因式分解即可；
（2）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式
．
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值．
【详解】解：原式

，
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
20. 已知的平方根是，的立方根是3，c是的整数部分，求的平方根；
【答案】
【解析】
【分析】利用平方根的定义可得 利用立方根的定义可得，从而可求解的值，再利用可求解 从而可得答案.
【详解】解：因为，的平方根是
所以，
所以，
因为，的立方根是3
所以，
所以，
因为，c是的整数部分，而
所以，c＝3
当时
综上：的平方根为
【点睛】本题考查的是平方根与立方根的定义，无理数的整数部分，熟悉根据一个数的平方根与立方根求解这个数是解题的关键.
21. 甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为．请你分析一下、 的值，并写出正确的因式分解过程．
【答案】a=6；b=9；x2+6x+9=(x+3)2
【解析】
【分析】利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等求出a、b的值，再进行因式分解．
【详解】解：∵甲看错了，分解结果为，且，
∴a＝6，
∵乙看错了，分解结果为，且，
∴b＝9，
∴原式为，
正确的因式分解过程为：．
【点睛】本题考查因式分解与整式乘法，熟知因式分解与多项式相乘是互逆运算是求解的关键．
22. 阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而很到，因此有，这种方法称为分组法，请回答下列问题：
（1）尝试填空：________；
（2）拓展应用：已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）等边三角形，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，正确理解题意分组法进行因式分解即可解题．
（1）根据分组法按步骤计算可得出．
（2）把已知条件式左边利用分组法结合完全平方公式进行分解因式推出，进而根据非负数的性质推出，由此可得结论．
小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
即，
∵，
∴，
∴，，
，
故该三角形为等边三角形．
23. 请把下列证明过程补充完整．
已知：如图，、、三点在同一直线上，、、三点在同一直线上，，．求证：．
证明：，（已知）
________________（________），
________（________）
（已知）
________（等量代换）．
（已知）
，
即________________
________（等量代换），
（________）．
【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．先证明，得到，进而得到，再根据，得到，从而得出，即可证明结论．熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．
【详解】证明：，（已知）
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知）
（等量代换）．
（已知）
，
即，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行．
24. 如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）探究图②中阴影部分的面积的不同表达方式，请你写出代数式，，之间的等量关系；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若，则________；
（3）若满足，求的值；
（4）如图，在长方形中，，，、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为50，直接写出图中阴影部分的面积和为________．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，以及利用完全平方公式计算求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）由题意可知，图②中大正方形的边长为，长方形的长为，宽为，小正方形的边长为，阴影部分的面积可以大正方形面积减四个长方形面积，也可以直接利用正方形面积公式，分别列式，即可得到答案；
（2）由（1）所得等量关系可知，，即可求出的值；
（3）利用完全平方公式求解，即可得到答案；
（4）设，则，，由长方形的面积，得到，再利用完全平方公式，求得的值，即可得到图中阴影部分的面积和．
【小问1详解】
解：由题意可知，图②中大正方形的边长为，长方形的长为，宽为，小正方形的边长为，
阴影部分面积的第一种表达方式：大正方形面积减四个长方形面积，即；
阴影部分的面积的第一种表达方式：直接利用正方形面积公式，即，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）等量关系可得，，
，
，
，
，
故答案为：
【小问3详解】
解：，，
；
【小问4详解】
解; 长方形中，，，
设，则，，
长方形的面积为50，
，
，
，
正方形和，
故答案为：．
25. 阅读下列材料
1637年笛卡尔（R．Descartes，1596-1650）在其（几何学）中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于的多项式能被整除，则其一定可以分解为与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，是关于的这个方程的一个根．
例如：多项式可以分解为与另外一个整式的乘积，即，令时，可知为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：．
观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积．
令：，
而，
因等式两边同次幂的系数相等，则有：，得，
从而．
此时，不难发现是方程的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若取任意值，等式恒成立，则的值为________．
（2）若多项式含有因式及，求的值．
（3）若多项式可以分解为两个一次因式之积，求的值并将该多项式分解因式．
【答案】（1）3 （2）
（3），
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解和利用待定系数法解方程，
（1）有题干得对应系数相等即可求得答案；
（2）根据题意可得原方程的解，代入即可求得其包含的系数，即可求得代数式的值；
（3）由多项式可得部分因式之积，根据笛卡尔的“待定系数法”原理，可得设分解为两个一次因式之积，即可求得对应系数，进一步将多项式分解因式．
【小问1详解】
解：根据题意得，解得；
【小问2详解】
根据题意得，则和为的解，即可得
，解得，
∴．
【小问3详解】
∵，
∴可以分解为，
则，
∴，解得
则