山东省青岛市市南区2023-2024学年上学期九年级期末数学仿真模考试题

这是一份山东省青岛市市南区2023-2024学年上学期九年级期末数学仿真模考试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 .如图所示的物体，其主视图是（ ）

A． B．C．D．
2. 透明的盒子中有两张卡片，上面分别印有北京2022年冬奥会相关图案（如图所示），
除图案外两张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，
再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是甲的概率是（ ）

A．B．C．D．
3 .如图，已知，，，的长为（ ）

A．B．C．D．
4 . 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
所得抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，
且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )

A 6米B. 8米C. 18米D. 24米
如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．

A．45B．60C．75D．90
7. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．

A．2秒B．4秒C．或秒D．2或4秒
8 .二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
则函数与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 已知线段a、b满足，那么的值为________．
10 .如果x＝1是关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，那么m＝ ；
11.在一个不透明的袋子里装有若干个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同．
小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则估计袋子中红球的个数是______个．
12.二次函数y＝3（x＋1）2－2的图像的顶点坐标是________
13 .在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，
他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），
那么，由此可知，B、C两地相距 m．

如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，
则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为________m．

如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，
点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为_________

如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．

三、作图题（本大题满分4分）
17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：矩形内有一点．
求作：等腰直角三角形，使它的直角顶点为，斜边落在边上．

四、解答题（本大题满分68分，共有7道小题）
18. 计算：．
【答案】4
某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．
已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．
AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，
求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）

21. 如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．

（1）求证：；
（2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论．
22 .某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个．
现在采取提高商品定价减少销售量的办法增加利润，定价每增加1元，销售量净减少10个．
（1）商店若将准备获利2000元，则定价应增加多少元？
（2）若商店要获得最大利润，则定价应增加多少元？最大利润是多少？
23 .如图，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的纵坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点．

(1)求双曲线和直线的解析式；
(2)若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的3倍，
求点P的坐标．
(3)若点E在x轴的负半轴上，是否存在以点E，C，D为顶点构成的三角形与相似？
若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）【问题发现】如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．
猜想线段、之间的数量关系为______；______；

（2）【类比探究】
如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；

（3）【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，，为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．

25 .如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，
连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；
(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年第一学期山东省青岛市市南区九年级期末数学仿真模考试题 解答
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1 .如图所示的物体，其主视图是（ ）

A． B．C．D．
【答案】A
2. 透明的盒子中有两张卡片，上面分别印有北京2022年冬奥会相关图案（如图所示），
除图案外两张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，
再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是甲的概率是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
3 .如图，已知，，，的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
4 . 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
所得抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，
且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )

A 6米B. 8米C. 18米D. 24米
【答案】B
如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．

A．45B．60C．75D．90
【答案】B
7. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．

A．2秒B．4秒C．或秒D．2或4秒
【答案】C
8 .二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
则函数与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 已知线段a、b满足，那么的值为________．
【答案】
10 .如果x＝1是关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，那么m＝ ；
【答案】2
11.在一个不透明的袋子里装有若干个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同．
小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则估计袋子中红球的个数是______个．
【答案】2
12.二次函数y＝3（x＋1）2－2的图像的顶点坐标是________
【答案】（-1，-2）
13 .在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，
他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），
那么，由此可知，B、C两地相距 m．

【答案】200
如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，
则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为________m．

【答案】
如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，
点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为_________

【答案】
如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．

【答案】
三、作图题（本大题满分4分）
17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：矩形内有一点．
求作：等腰直角三角形，使它的直角顶点为，斜边落在边上．
【答案】见详解
【解析】
【分析】作于Q，然后在直线上截取，，
则为等腰直角三角形,满足条件．
【详解】解：如图，为所作．
四、解答题（本大题满分68分，共有7道小题）
18. 计算：．
【答案】4
【分析】分别计算零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，
再合并即可得到答案．
【详解】解：原式
＝1﹣1+2+2
＝4．
某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）
【解析】
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目约有（名；
（4）列表如下：
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．
已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．
AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，
求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【分析】设OE＝OB＝2x，根据含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：设OE＝OB＝2xcm，
∴OD＝DE+OE＝190+2x，
∵∠ADE＝30°，
∴OC＝OD＝95+x，
∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x，
∵tan∠BAD＝，
∴2.14＝，
解得：x≈9.4cm，
∴OB＝2x≈19cm．
21. 如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．
（1）求证：；
（2）若，判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）矩形，见解析
【解析】
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，，再由得出，根据平行线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质定理进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得，，，再由，可得，进而可判定四边形是平行四边形，然后再证明即可得到四边形是矩形．
【小问1详解】
∵四边形是平行四边形，
∵，．
∵，
∴．
∵，
∴，，
在与中，
，
∴（ASA）；
∴，，
在与中，
∴（SAS）；
【小问2详解】
四边形是矩形，
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
22 .某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个．
现在采取提高商品定价减少销售量的办法增加利润，定价每增加1元，销售量净减少10个．
（1）商店若将准备获利2000元，则定价应增加多少元？
（2）若商店要获得最大利润，则定价应增加多少元？最大利润是多少？
解：（1）设定价应增加元，
，
解得，，
∵采取提高商品定价减少销售量的办法增加利润，
∴不合题意舍去，
∴，
答：定价应增加8元；
（2）设定价增加元时获利元
当时，有最大值，为2250元．
答：若商店要获得最大利润，则定价应增加3元，最大利润是2250元．
23 .如图，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的纵坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点．
(1)求双曲线和直线的解析式；
(2)若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的3倍，求点P的坐标．
(3)若点E在x轴的负半轴上，是否存在以点E，C，D为顶点构成的三角形与相似？
若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴于点F
且点A的横坐标为
双曲线过A点
解得
双曲线的解析式为
将，代入直线得
解得
直线的解析式为：
（2）如图，连接OB、PO、PC
当时，
点B的纵坐标为
的面积是的面积的3倍
即 解得
即
（3）由（2）得
，，
，
与相似有两种情况讨论如下：
①
即
②
即
综上，点E的坐标为或．
（1）【问题发现】如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．
猜想线段、之间的数量关系为______；______；
（2）【类比探究】
如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
（3）【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，，为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
【答案】（1），60；（2），的度数为，过程见解析；（3）或．
【分析】（1）证，得，，进而判断出即可；
（2）证，得，，则，再求出，即可得出结论；
（3）分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出的长即可．
【详解】解：（1）∵和均为正三角形，
∴，，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
综上所述, 线段、之间的数量关系为，，
故答案为：，60．
（2）∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∵和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
、之间的数量关系是，的度数为；
（3）分两种情况：
①如图4，
∵，，，
∴，
∴，
∵为的中位线，
∴，，，，
∴，，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
②如图5，
同①可得，，
∴，，
∴，
∴,
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长为或．
25 .如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，
连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；
(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，直线
(2)，最大值为4
(3)，或，
【分析】（1）根据与x轴交点可得顶点式，化简即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）当四边形是菱形时，则，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
故直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
，故有最大值，
当时，的最大值为4；
（3）存在，理由：
当时，点，
设点，，而点；
四边形是菱形，
则，即，
解得：，
即点的坐标为，或，．
甲
乙
丙
丁
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）