高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义第一课时测试题

这是一份高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义第一课时测试题，共4页。

A级——基础过关练
1．(2022年昭通期末)已知函数f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，则 eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋3Δx)－f(x0),Δx)＝( )
A．－ eq \f(1,3)f′(x0) B．－3f′(x0)
C．3f′(x0)D． eq \f(1,3)f′(x0)
【答案】C 【解析】根据题意， eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋3Δx)－f(x0),Δx)＝3 eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋3Δx)－f(x0),3Δx)＝3f′(x0).故选C.
2．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝ eq \f(3,2)处的瞬时变化率是( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
【答案】B
3．若lim eq \(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝k，则lim eq \(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋2Δx)－f(x0),Δx)＝( )
A．2kB．k
C． eq \f(1,2)kD．以上都不对
【答案】A
4．(2022年东北师大附中月考)甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )
A.v甲＞v乙B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙D．大小关系不确定
【答案】B 【解析】设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．
5．(多选)在x＝1附近，取Δx＝0.3，关于下列说法正确的有( )
A．函数y＝x的平均变化率为1
B．函数y＝x2的平均变化率为2.3
C．函数y＝x3的平均变化率为3.99
D．函数y＝ eq \f(1,x)的平均变化率为1
【答案】ABC 【解析】根据平均变化率的计算公式，可得 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)，所以在x＝1附近取Δx＝0.3，则平均变化率的公式为 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(1.3)－f(1),0.3).
下面逐项判定，
对于A，函数y＝x，则 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(1.3)－f(1),0.3)＝ eq \f(1.3－1,0.3)＝1，正确；
对于B，函数y＝x2，则 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(1.3)－f(1),0.3)＝ eq \f(1.32－1,0.3)＝ eq \f(0.69,0.3)＝2.3，正确；
对于C，函数y＝x3，则 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(1.3)－f(1),0.3)＝ eq \f(1.33－1,0.3)＝ eq \f(1.197,0.3)＝3.99，正确；
对于D，函数y＝ eq \f(1,x)，则 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(1.3)－f(1),0.3)＝ eq \f(\f(1,1.3)－1,0.3)＝－ eq \f(1,1.3)≠1，错误．
故选ABC.
6．物体的运动方程为s＝6t＋7t2(s的单位：米，t的单位：秒)，则此物体在t＝10的瞬时速度是________．
【答案】146米/秒 【解析】设此物体在t＝10的瞬时速度v＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(s(10＋Δt)－s(10),Δt)＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(6(10＋Δt)＋7(10＋Δt)2－60－700,Δt)＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(146Δt＋7(Δt)2,Δt)＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (146＋7Δt)＝146(米/秒).
7．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－2)＝24，则a＝________．
【答案】2 【解析】因为f′(x)＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(a(x＋Δx)3＋2－(ax3＋2),Δx)＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0))[3ax2＋a(Δx)2＋3axΔx]＝3ax2，∴f′(－2)＝12a＝24，∴a＝2.
8．(2022年青岛月考)设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________．
【答案】2 【解析】∵f′(1)＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(a(1＋Δx)＋4－(a＋4),Δx)＝a，∴a＝2.
9．(2023年武汉月考)2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为l(t)＝2t2＋ eq \f(3,2)t，则当t＝3 s时，该运动员的滑雪瞬时速度为________m/s.
【答案】 eq \f(27,2) 【解析】l(3＋Δt)－l(3)＝2(3＋Δt)2＋ eq \f(3,2)(3＋Δt)－2×32－ eq \f(9,2)＝2(Δt)2＋ eq \f(27,2)Δt，所以该运动员在3 s时的滑雪瞬时速度为l′(3)＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(l(3＋Δt)－l(3),Δt)＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2Δt＋\f(27,2)))＝ eq \f(27,2)(m/s).
10．求函数y＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx的值为 eq \f(1,3)，哪一点附近的平均变化率最大？
解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝ eq \f((1＋Δx)2－1,Δx)＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为k2＝ eq \f((2＋Δx)2－22,Δx)＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为k3＝ eq \f((3＋Δx)2－32,Δx)＝6＋Δx.
若Δx＝ eq \f(1,3)，则k1＝2＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(7,3)，k2＝4＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(13,3)，k3＝6＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(19,3).
由于k1B级——能力提升练
11．(2021年南通期末)函数f(x)＝x2－sin x在[0，π]上的平均变化率为( )
A．1 B．2 C．π D．π2
【答案】C 【解析】根据题意，f(x)＝x2－sin x，则f(0)＝0，f(π)＝π2－sin π＝π2，则f(x)在[0，π]上的平均变化率为 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(π)－f(0),π－0)＝ eq \f(π2－0,π－0)＝π.
12．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－x2)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))))<0B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－x2)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))))>0
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))> eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2)),2)D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))< eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2)),2)
【答案】AD 【解析】由题中图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)<0，且其绝对值越来越小，因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f(x)的大致图象如图所示．
由图象可知x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，故A正确，B不正确；f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))表示 eq \f(x1＋x2,2)对应的函数值，即图中点B的纵坐标， eq \f(f(x1)＋f(x2),2)表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))< eq \f(f(x1)＋f(x2),2)，故C不正确，D正确．故选AD.
13．(2022年北京期末)日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝ eq \f(5 284,100－x)(80【答案】25 快 【解析】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为c′(x)＝5 284×[－(100－x)-2×(－1)]＝ eq \f(5 284,(100－x)2)，所以c′(95)＝ eq \f(5 284,(100－95)2)＝ eq \f(5 284,25)，c′(99)＝ eq \f(5 284,(100－99)2)＝5 284，所以 eq \f(c′(99),c′(95))＝ eq \f(5 284,\f(5 284,25))＝25，所以净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的25倍．因为c′(99)>c′(95)，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快．
14．(2022年承德月考)某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．
服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．
【答案】－0.002 【解析】 eq \f(c(70)－c(30),70－30)＝ eq \f(0.90－0.98,40)＝－0.002.
15．(2022年长沙月考)设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1) eq \a\vs4\al(\(lim,\s\d4(Δx→0)) ) eq \f(f(x0－mΔx)－f(x0),Δx)；
(2) eq \a\vs4\al(\(lim,\s\d4(Δx→0)) ) eq \f(f(x0＋4Δx)－f(x0＋5Δx),Δx).
解：(1) eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0－mΔx)－f(x0),Δx)
＝－m eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0－mΔx)－f(x0),－mΔx)
＝－mf′(x0).
(2) eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋4Δx)－f(x0＋5Δx),Δx)
＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋4Δx)－f(x0)－[f(x0＋5Δx)－f(x0)],Δx)
＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋4Δx)－f(x0),Δx)－ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋5Δx)－f(x0),Δx)
＝4 eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋4Δx)－f(x0),4Δx)－5 eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋5Δx)－f(x0),5Δx)
＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0).
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
c(t)/(mg/mL)
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63