数学人教A版 (2019)5.2 导数的运算课后作业题

这是一份数学人教A版 (2019)5.2 导数的运算课后作业题，共4页。试卷主要包含了函数f＝2在x＝1处的导数等于，下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
2．(2022年陕西期末)已知f(x)＝3ax3＋2ax2＋2，若f′(－1)＝5，则a的值是( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A 【解析】因为f(x)＝3ax3＋2ax2＋2，所以f′(x)＝9ax2＋4ax，则f′(－1)＝9a－4a＝5，解得a＝1.
3．(2023年河南月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝x ln x＋3xf′(1)，则f′(e)＝( )
A．－ eq \f(3,2) B．－ eq \f(e,2) C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2)
【答案】C 【解析】因为f(x)＝x ln x＋3xf′(1)，所以f′(x)＝1＋ln x＋3f′(1)，则f′(1)＝1＋ln 1＋3f′(1)，解得f′(1)＝－ eq \f(1,2)，故f′(x)＝1＋ln x＋3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝ln x－ eq \f(1,2)，则f′(e)＝ln e－ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2).故选C.
4．若过点(2，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋7x－4都相切，则a的值为( )
A．2 B． eq \f(5,16)
C．2或－ eq \f(49,16)D．3或 eq \f(5,16)
【答案】C 【解析】设直线方程为y－0＝k(x－2)，又因为与曲线y＝x3相切，所以k＝y′＝3x2.所以直线方程为y＝3x2(x－2).直线y＝3x2(x－2)与曲线y＝x3联立解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝27，))则切线的斜率k＝0或k＝27.
①若k＝0，此时切线的方程为y＝0，与方程y＝ax2＋7x－4联立得ax2＋7x－4＝0.此时直线与y＝ax2＋7x－4相切，所以Δ＝49＋16a＝0，解得a＝－ eq \f(49,16).
②若k＝27，其切线方程为y＝27(x－2)，与y＝ax2＋7x－4联立得ax2－20x＋50＝0，此时直线与y＝ax2＋7x－4相切，所以Δ＝400－200a＝0，解得a＝2.
所以a＝2或a＝－ eq \f(49,16).
5．已知函数f(x)＝x cs x，其导函数f′(x)＝cs x－x sin x．若函数g(x)的导函数g′(x)＝x sin x，且g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0，则g(π)的值为( )
A．－1 B．1 C．π－1 D．π＋1
【答案】C 【解析】由题意设g(x)＝sin x－x cs x＋c，则g′(x)＝cs x－cs x＋x sin x＝x sin x，符合题意，故g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝1＋c＝0，解得c＝－1，故g(x)＝sin x－x cs x－1，g(π)＝sin π－πcs π－1＝π－1.
6．(2022年邵阳期末)若f(x)＝x ln x，则f(x)图象上的点的切线的倾斜角α( )
A．一定为锐角 B．一定为钝角
C．可能为0° D．可能为直角
【答案】C 【解析】f′(x)＝ln x＋1，当00，f(x)单调递增，而f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝ln eq \f(1,e)＋1＝0，所以切线斜率可能为正数，也可能为负数，还可以为0，则倾斜角可为锐角，也可为钝角，还可以为0°，当α＝90°时，斜率不存在，而f′(x)存在，则α＝90°不成立．故选C.
7．(多选)(2022年临沂期末)下列求导运算正确的是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(3,x)))′＝ eq \f(1,x)＋ eq \f(3,x2)B．(ln 2＋lg2x)′＝ eq \f(1,x ln 2)
C．(x2ex)′＝2xexD．(3x cs x)′＝3x(ln 3·cs x－sin x)
【答案】BD 【解析】对于A， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(3,x)))′＝ eq \f(1,x)－ eq \f(3,x2)，故A错误；(ln 2＋lg2x)′＝ eq \f(1,x ln 2)，故B正确；(x2ex)′＝2xex＋x2ex＝(x2＋2x)ex，故C错误；(3x cs x)′＝3x ln 3·cs x－3x sin x＝3x(ln 3·cs x－sin x)，故D正确．故选BD.
8．(2023年重庆期末)已知函数f(x)＝sin x cs x，f′(x)为其导函数，则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝________.
【答案】－ eq \f(1,2) 【解析】因为f(x)＝sin x cs x，故f′(x)＝cs2x－sin2x＝cs2x，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝cs eq \f(2,3)π＝－ eq \f(1,2).
9．已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)且 f′(0)＝4，则a2＋2b2的最小值为________．
【答案】8 eq \r(2) 【解析】∵f(x)＝(x2－ax)(x－b)，∴f′(x)＝(2x－a)(x－b)＋x2－ax＝3x2－2(a＋b)x＋ab，则f′(0)＝ab＝4.又∵a2＋2b2≥2 eq \r(a2·2b2)＝2 eq \r(2)ab＝8 eq \r(2)，当且仅当a2＝2b2，即a＝ eq \r(2)b时取等号．
10．已知曲线y＝ eq \f(1,3)x3＋ eq \f(4,3).
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(2)求过点P(2，4)的曲线的切线方程．
解：(1)因为y′＝x2，所以在点P(2，4)处的切线的斜率k＝4，
所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝ eq \f(1,3)x3＋ eq \f(4,3)与过点P(2，4)的切线相切于点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(1,3)x03＋\f(4,3)))，则切线的斜率k＝x02.
所以切线方程为y－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x03＋\f(4,3)))＝x02(x－x0)，
即y＝x02x－ eq \f(2,3)x03＋ eq \f(4,3).
因为点P(2，4)在切线上，
所以4＝2x02－ eq \f(2,3)x03＋ eq \f(4,3)，所以x03－3x02＋4＝0.
所以x03－2x02－x02＋4＝0，即(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，
所以所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
B级——能力提升练
11．(2022年抚顺模拟)已知函数f(x)＝ex－2ax，g(x)＝－x3－ax2.若不存在x1，x2∈R，使得f′(x1)＝g′(x2)，则实数a的取值范围为( )
A．(－2，3) B．(－6，0)
C．[－2，3] D．[－6，0]
【答案】D 【解析】依题意知函数f′(x)与g′(x)值域的交集为空集，∵f′(x)＝ex－2a＞－2a，g′(x)＝－3x2－2ax≤ eq \f(a2,3)，∴ eq \f(a2,3)≤－2a，解得－6≤a≤0.
12．(多选)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0.若g(x)＝xf(x)，则下列各式成立的是( )
A．f(1)＝1 B．f′(1)＝1
C．f(x)＝ eq \f(1,4)x2＋ eq \f(3,4)D．g′(1)＝ eq \f(3,2)
【答案】AD 【解析】由题意知，点(1，f(1))在x－2y＋1＝0上，所以f(1)＝1，故A正确；函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝ eq \f(1,2)，故B错误；f(x)＝ eq \f(1,4)x2＋ eq \f(3,4)，虽然满足f(1)＝1，f′(1)＝ eq \f(1,2)，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为f(x)＝ eq \r(x)，也满足f(1)＝1，f′(1)＝ eq \f(1,2)，故C错误；由题意得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(3,2)，故D正确．故选AD.
13．曲线f(x)＝ln x＋ eq \f(1,2)x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，1] 【解析】由题意得f′(x)＝ eq \f(1,x)＋x＋a，故存在切点P(t，f(t))(t>0)，使得 eq \f(1,t)＋t＋a＝3，所以3－a＝ eq \f(1,t)＋t有解．因为t＞0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时，取等号)，即a≤1.
14．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f′(x)为函数f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现视为条件，已知函数f(x)＝2x3－3x2＋x＋1，则它的对称中心为________，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2 021)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 020,2 021)))＝________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) 2 020 【解析】由f(x)＝2x3－3x2＋x＋1可得f′(x)＝6x2－6x＋1，f″(x)＝12x－6，令f″(x)＝12x－6＝0，可得x＝ eq \f(1,2)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(3)－3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(1,2)＋1＝1，所以点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))为y＝f(x)的对称中心，所以f(x)＋f(1－x)＝2.令S＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2 021)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 018,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 019,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 020,2 021)))，S＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 020,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 019,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 018,2 021)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 021)))，两式相加可得2S＝2 020[f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 020,2 021)))]＝2 020×2，所以S＝2 020，即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2 021)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2 021)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 020,2 021)))＝2 020.
15．已知函数f(x)＝ eq \f(ax,x2＋b)，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．
解：(1)对函数f(x)求导，得
f′(x)＝ eq \f(a(x2＋b)－ax·2x,(x2＋b)2)＝ eq \f(ab－ax2,(x2＋b)2).
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′(1)＝0，,f(1)＝2，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab－a＝0，,1＋b≠0，,\f(a,1＋b)＝2，))解得a＝4，b＝1，
所以f(x)＝ eq \f(4x,x2＋1).
(2)因为f′(x)＝ eq \f(4－4x2,(x2＋1)2)，所以直线l的斜率
k＝f′(x0)＝ eq \f(4－4x02,(x02＋1)2)＝4 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,(x02＋1)2)－\f(1,x02＋1))).
令t＝ eq \f(1,x02＋1)，t∈(0，1]，
则k＝4(2t2－t)＝8 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4))) eq \s\up12(2)－ eq \f(1,2)，k在t＝ eq \f(1,4)处取到最小值－ eq \f(1,2)，在t＝1处取到最大值4，所以k∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，4)).