高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第三课时课后练习题

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A级——基础过关练
1．将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
【答案】B
2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(140－x)件，要使利润最大每件定价为( )
A．80元 B．85元 C．90元 D．95元
【答案】B
3．(2021年合肥期末)设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A． eq \f(1,2)VB． eq \r(4V)C．2 eq \r(3,V)D． eq \r(3,4V)
【答案】D 【解析】设底面边长为x，则高为h＝ eq \f(4V,\r(3)x2)，S表＝3× eq \f(4V,\r(3)x2)·x＋2× eq \f(\r(3),4)x2＝ eq \f(4\r(3)V,x)＋ eq \f(\r(3),2)x2，所以S′表＝－ eq \f(4\r(3)V,x2)＋ eq \r(3)x，令S′表＝0，得x＝ eq \r(3,4V)，经检验得，当x＝ eq \r(3,4V)时，S表取得最小值．
4．(2022年四川期中)某厂生产x万件某产品的总成本为C(x)万元，且C(x)＝1 200＋ eq \f(2,75)x3.已知产品单价(单位：元)的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y(单位：元)最大，产量应定为( )
A．23万件 B．25万件
C．50万件 D．75万件
【答案】B 【解析】设产品单价为m，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以m2＝ eq \f(k,x)(其中k为非零常数).又因为生产100万件这样的产品单价为50元，所以502＝ eq \f(k,100)，故k＝250 000，所以m＝ eq \f(500,\r(x)).记生产x万件产品时，总利润为f(x)，所以f(x)＝mx－C(x)＝500 eq \r(x)－1 200－ eq \f(2,75)x3(x>0)，则f′(x)＝ eq \f(250,\r(x))－ eq \f(2,25)x2，令f′(x)＝0，得x＝25，且f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，且由f′(x)>0，得025，故函数f(x)在(0，25)上单调递增，在(25，＋∞)上单调递减，因此当x＝25时，f(x)取最大值，即产量定为25万件时，总利润最大．故选B.
5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
【答案】D 【解析】由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．L(30)＝(8 300－170×30－302)×(30－20)＝23 000.故选D.
6．现要做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m
【答案】C 【解析】设底边长为x(x＞0)，由题意可得，高h＝ eq \f(256,x2)，用料y＝x2＋4xh＝x2＋ eq \f(4×256,x)＝x2＋ eq \f(1 024,x).故y′＝2x－ eq \f(1 024,x2)，令y′＝0，得x＝8.当在x＝8附近左侧时，y′<0，在x＝8附近右侧时，y′>0，故当x＝8时，y取极小值也是最小值．故它的底边长为8 m，高为4 m时最省材料．故选C.
7．(多选)一艘船的燃料费y(单位：元/时)与船速x(单位：千米/时)的关系是y＝ eq \f(1,100)x3＋x.若该船航行时其他费用为540元/时，航程为100千米，设航行总费用为L(x)，则下列说法正确的是( )
A．L(x)＝x2＋ eq \f(540,x)＋100(x＞0)
B．L(x)＝x2＋ eq \f(54 000,x)＋100(x＞0)
C．要使得航行的总费用最少，航速应为20千米/时
D．要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时
【答案】BD 【解析】由题意可得，航行的总费用L(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)x3＋x＋540)) eq \f(100,x)＝x2＋ eq \f(54 000,x)＋100(x＞0)，故A错误，B正确；L′(x)＝2x－ eq \f(54 000,x2)，令L′(x)＝0，得x＝30，当0＜x＜30时，L′(x)＜0，L(x)单调递减，当x＞30时，L′(x)＞0，L(x)单调递增，所以当x＝30时，L(x)取得极小值，也是最小值，所以要使得航行的总费用最小，航速应为30千米/时，故C错误，D正确．故选BD.
8．(2023年广州期末)用总长11 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边的长比另一边的长多1，则最大容积为______m3，此时容器的高为________m.
【答案】 eq \f(9,16) eq \f(3,4) 【解析】由题意，设容器底面的两边分别为x，x＋1，则x>0，容器的高为 eq \f(11－4(x＋x＋1),4)＝ eq \f(7,4)－2x.记容器的体积为V(x)，则V(x)＝x(x＋1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)－2x))＝－2x3－ eq \f(1,4)x2＋ eq \f(7,4)x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(00，即09．(2023年河南期末)剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径AB＝20 cm，需要剪去菱形EFGH，可以经过两次对折、沿EF裁剪、展开后得到．若CF＝EF，要使镂空的菱形EFGH的面积最大，则菱形的边长EF＝________cm.
【答案】 eq \f(20,3) 【解析】设圆心为O，由圆的性质可知，A，E，O，G，B共线，C，F，O，H，D共线，由菱形性质可知，EG⊥FH，不妨令0F＝m，OE＝n，且半径为10，则EF＝ eq \r(m2＋n2)＝CF＝10－m，即2m＝10－ eq \f(1,10)n2，00⇒010．已知某工厂生产x件产品的成本(单位：元)为C(x)＝25 000＋200x＋ eq \f(1,40)x2.
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
解：(1)设平均成本为y元，则
y＝ eq \f(25 000＋200x＋\f(1,40)x2,x)＝ eq \f(25 000,x)＋200＋ eq \f(x,40)(x＞0)，
所以y′＝ eq \f(－25 000,x2)＋ eq \f(1,40).
令y′＝0，得x＝1 000(x＝－1 000舍去).
当在x＝1 000附近左侧时，y′<0，
在x＝1 000附近右侧时y′>0，
故当x＝1 000时，y取极小值，也是最小值，
所以要使平均成本最低，应生产1 000件产品．
(2)利润函数为
S＝500x－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(25 000＋200x＋\f(x2,40)))＝300x－25 000－ eq \f(x2,40).
令S′＝300－ eq \f(x,20)＝0，得x＝6 000.
当在x＝6 000附近左侧时，S′>0，
在x＝6 000附近右侧时S′<0，
故当x＝6 000时，S取极大值，也是最大值，
所以要使利润最大，应生产6 000件产品．
B级——能力提升练
11．一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为( )
A． eq \f(\r(3),2) m B．1 m C． eq \r(3) m D．2 m
【答案】D 【解析】设OO1为x m(112．(多选)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为V(x)，则下列结论正确的是( )
A．V(x)＝(a－2x)2x，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)))
B．V′(x)＝12x2－8ax＋a2
C．V(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(a,4)))上单调递增
D．V(x)在x＝ eq \f(a,6)时取得最大值
【答案】ABD 【解析】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，则V(x)＝(a－2x)2x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(a,2)))，选项A正确；由V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，得V′(x)＝12x2－8ax＋a2，选项B正确；令V′(x)＞0，解得0＜x＜ eq \f(a,6)，令V′(x)＜0，解得 eq \f(a,6)＜x＜ eq \f(a,2)，故V(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,6)))上单调递增，在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,6)，\f(a,2)))上单调递减，故V(x)在x＝ eq \f(a,6)处取得最大值，选项C错误，选项D正确．故选ABD.
13．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件的收益为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的收益比原来减少1元，那么订购________件的合同会使公司的收益最大．
【答案】175 【解析】设订购x件商品，则单件商品的收益为P(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(200(0≤x≤150)，,200－(x－150)(x＞150)，))故公司的收益R(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(200x(0≤x≤150)，,350x－x2(x＞150).))当0≤x≤150时，x＝150，R(x)取得最大值30 000；当x＞150时，x＝175，R(x)取得最大值30 625.故订购175件的合同会使公司的收益最大．
14．(2022年湖南模拟)中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效．已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成(其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中)，容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12 cm，则当圆柱的底面半径r＝________时，该容器的容积最大，最大值为________．
【答案】 eq \f(8,π＋2) cm eq \f(128π,(π＋2)2) cm3 【解析】设圆柱的底面半径为r cm，圆柱的高为h cm，则由题意可得πr＋2h＋2r＝12，∴h＝ eq \f(12－(π＋2)r,2)＝6－ eq \f(π＋2,2)r，由h＞0，得r＜ eq \f(12,π＋2)，故容器的容积V＝πr2h＝πr2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6－\f(π＋2,2)·r))＝6πr2－ eq \f((π＋2)π,2)·r3，其中0＜r＜ eq \f(12,π＋2)，V′(r)＝12πr－ eq \f(3π(π＋2),2)·r2，令V′(r)＝0，得r＝0(舍去)或r＝ eq \f(8,π＋2)，当r∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(8,π＋2)))时，V′(r)＞0，函数单调递增，当r∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,π＋2)，\f(12,π＋2)))时，V′(r)＜0，函数单调递减，∴当r＝ eq \f(8,π＋2)时，V有最大值为 eq \f(128π,(π＋2)2) cm3.
15．水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((－t2＋14t－40)e\f(1,4)t＋50，0(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i－1(2)求一年内该水库的最大蓄水量(e≈2.7).
解：(1)根据t的范围分段求解．
①当0化简得t2－14t＋40>0，解得t<4或t>10.
又∵0②当10化简得(t－10)(3t－41)<0，解得10又∵10综上，0∴枯水期为1月，2月，3月，11月，12月，共5个月．
(2)由(1)知V(t)的最大值只能在(4，10)内达到．
V′(t)＝e eq \f(1,4)t eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)t2＋\f(3,2)t＋4))＝－ eq \f(1,4)e eq \f(1,4)t(t＋2)(t－8).
令V′(t)＝0，解得t＝8(t＝－2舍去).
当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下表，
∴V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2＋50≈108.32(亿立方米).
∴一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．
t
(4，8)
8
(8，10)
V′(t)
＋
0
－
V(t)
↗
极大值
↘