A级——基础过关练
1．命题“∃x∈R，x3－x2＋1＞0”的否定是( )
A．∃x∈R，x3－x2＋1＜0B．∀x∈R，x3－x2＋1≤0
C．∃x∈R，x3－x2＋1≤0D．∀x∈R，x3－x2＋1＞0
【答案】B
【解析】命题“∃x∈R，x3－x2＋1＞0”的否定是“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”．故选B．
2．（多选）给出下列命题，其中是存在量词命题的为( )
A．存在实数x＞1，使x2＞1
B．全等的三角形必相似
C．有些相似三角形全等
D．至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数
【答案】ACD
【解析】易知A，C，D为存在量词命题，B为全称量词命题．
3．（2023年十堰期末）关于命题p：“∃x∈N，6x2－7x＋2≤0”，下列判断正确的是( )
A．该命题是全称量词命题，且为假命题
B．该命题是存在量词命题，且为真命题
C．¬p：∀x∈N，6x2－7x＋2＞0
D．¬p：∀x∉N，6x2－7x＋2＞0
【答案】C
【解析】命题p为存在量词命题，由6x2－7x＋2≤0，得 eq \f(1,2)≤x≤ eq \f(2,3)，所以p为假命题．命题p的否定¬p：∀x∈N，6x2－7x＋2＞0．故选C．
4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使 eq \f(1,x)＞2
【答案】B
【解析】A是全称量词命题；B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确；因为 eq \r(3)＋（－ eq \r(3)）＝0，所以C为假命题；对于任何一个负数x，都有 eq \f(1,x)＜0，所以D错误．故选B．
5．（2023年温州模拟）下列命题中：
①有些自然数是偶数；
②正方形是菱形；
③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意x∈R，总有 eq \f(1,x2＋1)≤1．
存在量词命题的个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【解析】有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；对于任意x∈R，总有 eq \f(1,x2＋1)≤1，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题，所以存在量词命题有1个．故选B．
6．（多选）关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的有( )
A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题，¬p是假命题D．p是假命题，¬p是真命题
【答案】AC
【解析】因为命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”，且p为真命题，则¬p是假命题．故选AC．
7．下列命题为真命题的是( )
A．存在x∈Q，使方程 eq \r(2)x－2＝0有解
B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的质数都是奇数
【答案】C
【解析】 eq \r(2)x－2＝0⇔x＝ eq \r(2)∉Q，故A错误；因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，故B错误；因为2＝1×2，故C正确；2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C．
8．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞0”的否定是________________．
【答案】对任意x，y∈R，x＋y≤0
9．若命题“∃x0∈R，使x eq \\al(2,0) ＋(a－1)x0＋1＜0”是假命题，则a的取值范围是__________．
【答案】{a|－1≤a≤3}
【解析】由题意知∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，∴Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3．
10．下列存在量词命题是真命题的序号是________．
①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2＋2＜0; ③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．
【答案】①③④
【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2＜0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④．
B级——能力提升练
11．已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是( )
A．{a|a＜－1}B．{a|a≥1}
C．{a|a＞1}D．{a|a≤－1}
【答案】B
【解析】因为p为假命题，所以¬p为真命题，即∀x＞0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，解得a≥1，所以a的取值范围是a≥1．故选B．
12．给出四个命题：①末尾数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数，下列说法正确的是( )
A．四个命题都是真命题B．①②是全称量词命题
C．②③是存在量词命题D．四个命题中有两个假命题
【答案】C
【解析】①末尾数是偶数的整数能被2整除，是全称量词命题，是真命题；②有的菱形是正方形，是存在量词命题，是真命题；③存在实数x，x＞0，是存在量词命题，是真命题；④对于任意实数x，2x＋1是奇数，是全称量词命题，是假命题．故A，B，D错误，C正确．故选C．
13．（多选）下列四个命题：
①一切实数均有相反数；②∃a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形．
其中，真命题有( )
A．①B．②
C．③D．④
【答案】ABD
【解析】①为真命题；对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于③，等腰梯形的对角线相等，④为真命题．
14．若命题“∃x∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－\f(1,4)))))，x＋m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是________．
【答案】 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥\f(1,4)))))
【解析】命题“∃x∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－\f(1,4)))))，x＋m＜0”是假命题，即命题的否定为真命题，其否定为“∀x∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－\f(1,4)))))，x＋m≥0”，解得m≥ eq \f(1,4)．
15．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0．
(1)命题p的否定为__；
(2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】(1)∀x∈R，x2＋2x＋a≠0 (2){a|a≤1}
【解析】(1)命题“存在x∈R，x2＋2x＋a＝0”是存在量词命题，其否定为“∀x∈R，x2＋2x＋a≠0”．
(2)存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1．