新教材2024版高中数学第一章集合与常用逻辑用语章末检测新人教A版必修第一册

这是一份新教材2024版高中数学第一章集合与常用逻辑用语章末检测新人教A版必修第一册，共6页。
第一章章末检测时间：120分钟，满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列表述中正确的是(　　)A．{0}＝∅ B．{(1，2)}＝{1，2}C．{∅}＝∅ D．0∈N【答案】D　【解析】由集合的性质可知，∅表示没有任何元素的集合，而{0}表示有一个元素0，故A错误；{(1，2)}表示有一个元素，是点的集合，而{1，2}表示有2个元素的集合，是数集，故B错误；∅表示没有任何元素的集合，而{∅}表示有一个元素∅，故C错误．故选D．2．已知集合A＝{1，2}，B＝{1}，则下列关系正确的是(　　)A．BA B．B∈AC．B⊆A D．A⊆B【答案】C　【解析】因两个集合之间不能用“∈或”，首先排除选项A，B．因为集合A＝{1，2}，B＝{1}，所以集合B中的元素都是集合A中的元素，由子集的定义知B⊆A．故选C．3．（2023年屯昌二模）命题“x∈R，x2＝1”的否定形式是(　　)A．x∈R，x≠1或x≠－1 B．x∈R，x≠1且x≠－1C．x∈R，x≠1或x≠－1 D．x∈R，x≠1且x≠－1【答案】D　【解析】命题“x∈R，x2＝1”的否定形式是“x∈R，x≠1且x≠－1”．故选D．4．命题p：“x2－3x－4＝0”，命题q：“x＝4”，则p是q的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B　【解析】根据题意，p：“x2－3x－4＝0”，即x＝4或x＝－1，则有若q：“x＝4”成立，则p：“x2－3x－4＝0”成立，反之若p：“x2－3x－4＝0”成立，则q：“x＝4”不一定成立，即p是q的必要不充分条件．故选B．5．“ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0))”是“ eq \f(1,xy)＞0”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A　【解析】因为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0)) eq \f(1,xy)＞0， eq \f(1,xy)＞0 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＜0，,y＜0，))所以“ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0))”是“ eq \f(1,xy)＞0”的充分不必要条件．故选A．6．（2023年北京模拟）已知集合M＝{x|x－1＞0}，集合N＝{x|x－2≥0}，则(　　)A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝∅ D．M∪N＝R【答案】B　【解析】由M＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}，N＝{x|x－2≥0}＝{x|x≥2}，可得N⊆M．故选B．7．（2023年安阳模拟）已集合A＝{x|ax＋3＝0}，B＝{x|x2＝9}，若A⊆B，则实数a的取值集合是(　　)A．{1} B．{－1，1}C．{－1，0，1} D．{0，1}【答案】C　【解析】∵B＝{－3，3}，∴当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B；当a≠0时，若A⊆B，则A＝{3}时，a＝－1，A＝{－3}时，a＝1．∴a的取值集合是{－1，0，1}．故选C．8．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是(　　)A．（－∞，2] B．（2，4]C．[2，4] D．（－∞，4]【答案】D　【解析】因为B⊆A，当B＝∅时，即m＋1≥2m－1，解得m≤2；当B≠∅时，有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4．综上所述，可得m≤4．故选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1))的解集可表示为(　　)A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((x，y)\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1)))))) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((x，y)\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))))))C．(1，2) D．{(2，1)}【答案】ABD　【解析】方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1))只有一个解，解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1))的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，所以A，B，D都符合题意．10．（2023年当涂开学考试）下列命题为真命题的是(　　)A．x＜0，使得|x|＞0B．x≥0，都有|x|＝xC．已知集合A＝{x|x＝2k}，B＝{y|y＝3k}，则对于k∈N*，都有A∩B＝∅D．x∈R，使得方程x2＋2x＋5＝0成立【答案】AB　【解析】对于A，当x＜0时，|x|＝－x＞0，A正确；对于B，当x≥0时，|x|＝x，B正确；对于C，当k∈N*时，A∩B＝{x|x＝6k}，C错误；对于D，∵Δ＝4－20＝－16＜0，∴x∈R，方程x2＋2x＋5＝0都不成立，D错误．故选AB．11．下列命题正确的有(　　)A．A∪∅＝∅ B．∁U(A∪B)＝(∁UA)∪(∁UB)C．A∩B＝B∩A D．∁U(∁UA)＝A【答案】CD　【解析】A∪∅＝A，故A错误；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，故B错误；A∩B＝B∩A，故C正确；∁U(∁UA)＝A，故D正确．故选CD．12．下列条件能成为“x＞y”的充分条件的是(　　)A．xt2＞yt2 B．xt＞ytC．x2＞y2 D．0＜ eq \f(1,x)＜ eq \f(1,y)【答案】AD　【解析】由xt2＞yt2可知，t2＞0，故x＞y，故A为充分条件；由xt＞yt可知，t≠0，当t＜0时，有x＜y，当t＞0时，有x＞y，故B不是；由x2＞y2，则|x|＞|y|，推不出x＞y，故C不是；由0＜ eq \f(1,x)＜ eq \f(1,y)，因为函数y＝ eq \f(1,x) 在区间(0，＋∞)上单调递减，可得x＞y＞0，故D是充分条件．故选AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2023年大通期末）已知命题p：x0∈R，x eq \o\al(2,0) －3x0＋3≤0，则¬p为________．【答案】x∈R，x2－3x＋3＞0　【解析】命题p：x0∈R，x eq \o\al(2,0) －3x0＋3≤0，则¬p：x∈R，x2－3x＋3＞0．14．已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为________．【答案】{0，－1，2}　【解析】因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，a＝0；当B≠∅时，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))，则 eq \f(2,a)＝－2或 eq \f(2,a)＝1，解得a＝－1或a＝2，所以实数a值集合为{0，－1，2}．15．（2023年深圳期末）已知“x≥2a－1”是“x≥3”的充分条件，则实数a的取值范围是________．【答案】{a|a≥2}　【解析】由题意得x≥2a－1x≥3，故2a－1≥3，解得a≥2，故实数a的取值范围是{a|a≥2}．16．（2023年上海金山区期末）已知集合A＝{(x，y)|x－ay＋2＝0}，B＝{(x，y)|ax－4y＋4＝0}，若A∩B＝∅，则实数a的值为________．【答案】－2　【解析】集合A＝{(x，y)|x－ay＋2＝0}，B＝{(x，y)|ax－4y＋4＝0}，A∩B＝∅，则1×(－4)＝－a·a，解得a＝±2，当a＝2时，直线x－ay＋2＝0与ax－4y＋4＝0重合，不符合题意，当a＝－2时，直线x－ay＋2＝0与ax－4y＋4＝0不重合，符合题意，故实数a的值为－2．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－3≤x≤1}．(1)求∁RA；(2)求B∪(∁RA)．解：(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，∴∁RA＝{x|x＜－1或x＞2}．(2)B∪(∁RA)＝{x|－3≤x≤1}∪{x|x＜－1或x＞2}＝{x|x≤1或x＞2}．18．（12分）命题p是“对任意实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．(1)写出命题p的否定；(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？解：(1)命题p的否定：存在实数x，有x－a≤0且x－b＞0．(2)要使命题p的否定为真，则需要使不等式组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－a≤0，,x－b＞0))的解集不为空集，通过画数轴（画数轴略）可看出，a，b应满足的条件是b＜a．19．（12分）（2023年潍坊期末）设全集U＝R，已知集合A＝{x|－1＋a≤x≤1＋a}，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x－4,x－1)))＞0))．(1)若a＝3，求A∪B；(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝3时，A＝{x|2≤x≤4}，由 eq \f(x－4,x－1)＞0，得(x－4)(x－1)＞0，即B＝{x|x＜1或x＞4}，∴A∪B＝{x|x＜1或x≥2}．(2)已知A＝{x|－1＋a≤x≤1＋a}，由(1)知B＝{x|x＜1或x＞4}．∵A∩B＝∅且B≠∅，∴－1＋a≥1且1＋a≤4，解得2≤a≤3，∴实数a的取值范围为{a|2≤a≤3}．20．（12分）已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求满足下列条件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B．解：(1)因为9∈(A∩B)，所以9∈B且9∈A，所以2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3，检验知a＝5或a＝－3．(2)因为{9}＝A∩B，所以9∈(A∩B)，所以a＝5或a＝－3．当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}，满足题意．综上可知，a＝－3．21．（12分）（2023年宁波期末）在①x∈A是x∈B的充分不必要条件；②A⊆B；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|m－1≤x≤m＋1}，集合B＝{x||x|≤2}．(1)当m＝2时，求A∪B；(2)若________，求实数m的取值范围．解：(1)因为|x|≤2，所以－2≤x≤2．所以B＝{x|－2≤x≤2}．当m＝2时，A＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤3}．(2)由(1)得B＝{x|－2≤x≤2}，选①，x∈A是x∈B的充分不必要条件，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≤2，,m－1≥－2，))且等号不同时成立，解得－1≤m≤1．选②，A⊆B，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≤2，,m－1≥－2，))解得－1≤m≤1．选③，A∩B＝∅，则m－1＞2或m＋1＜－2，解得m＞3或m＜－3，即实数m的取值范围是{m|m＞3或m＜－3}．22．（12分）设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°．证明：充分性．因为∠A＝90°，所以a2＝b2＋c2，于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，所以该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)．同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，所以该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．可以发现x1＝x3，所以方程有公共根．必要性．设x是方程的公共根，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2ax＋b2＝0，①,x2＋2cx－b2＝0．②))①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0（舍去）．代入①并整理，得a2＝b2＋c2，所以∠A＝90°．所以结论成立．