新教材2024版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式章末检测新人教A版必修第一册

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第二章章末检测时间：120分钟，满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023年南充期末）若a＞b，则下列结论正确的是(　　)A．ac2＞bc2 B．a2＞b2C．|a|＞|b| D．a＋c＞b＋c【答案】D　【解析】对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；对于B，当a＝1，b＝－1时，a2＝b2，B错误；对于C，当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，C错误；对于D，由于a＞b，所以a＋c＞b＋c，D正确．故选D．2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)A．A≤B B．A≥BC．A＜B或A＞B D．A＞B【答案】B　【解析】因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)b2≥0，所以A≥B．3．下列选项中，使不等式x＜ eq \f(1,x)＜x2成立的x的取值范围是(　　)A．{x|x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}【答案】A　【解析】方法一．取x＝－2，知符合x＜ eq \f(1,x)＜x2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B，C，D．方法二．由题知，不等式等价于 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＜0，,\f(1,x)－x2＜0，))解得x＜－1．故选A．4．已知y＝3x2＋ eq \f(1,2x2)，则y的取值范围为(　　)A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．(0，＋∞) D．[ eq \r(6)，＋∞）【答案】D　【解析】因为x2＞0，所以3x2＋ eq \f(1,2x2)≥2 eq \r(3x2·\f(1,2x2))＝ eq \r(6)，所以y的取值范围为[ eq \r(6)，＋∞）．故选D．5．设a，b均为正数，且a＋b＝3，则 eq \f(2a＋b,ab)的最小值为(　　)A．2 eq \r(2) B．2＋ eq \f(\r(2),3)C．1＋ eq \f(2\r(2),3) D．2＋2 eq \r(2)【答案】C　【解析】 eq \f(2a＋b,ab)＝ eq \f(2,b)＋ eq \f(1,a)＝ eq \f(1,3)×(a＋b)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,b)＋\f(1,a)))＝ eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,b)＋\f(b,a)＋3))≥ eq \f(1,3)×2 eq \r(\f(2a,b)·\f(b,a))＋1＝ eq \f(2\r(2),3)＋1，当且仅当 eq \f(2a,b)＝ eq \f(b,a)，且a＋b＝3，即a＝3 eq \r(2)－3，b＝6－3 eq \r(2)时，取等号，所以 eq \f(2a＋b,ab)的最小值为1＋ eq \f(2\r(2),3)．故选C．6．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，那么a＋b＝(　　)A．3 B．1C．－1 D．－3【答案】D　【解析】由题意得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1＋2＝－a，,－1×2＝b，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))故a＋b＝－3．7．（2023年长春模拟）已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(　　)A． eq \f(3,2) B．3C． eq \f(1,2) D．1【答案】B　【解析】由题意得y＝ eq \f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋ eq \f(3－x2,2x)＝ eq \f(3x2＋3,2x)＝ eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥3，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．8．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x1＋x2＋ eq \f(a,x1x2)的最大值是(　　)A． eq \f(\r(6),3) B．－ eq \f(2\r(3),3)C． eq \f(4\r(3),3) D．－ eq \f(4\r(3),3)【答案】D　【解析】由题意可知x1，x2为方程x2－4ax＋3a2＝0(a＜0)的两根，所以x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a，则x1＋x2＋ eq \f(a,x1x2)＝4a＋ eq \f(1,3a)．因为a＜0，所以－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a＋\f(1,3a)))≥2  eq \r(4a×\f(1,3a))＝ eq \f(4\r(3),3)，即4a＋ eq \f(1,3a)≤－ eq \f(4\r(3),3)，当且仅当a＝－ eq \f(\r(3),6)时，取等号，故x1＋x2＋ eq \f(a,x1x2)的最大值为－ eq \f(4\r(3),3)．故选D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2023年成都期末）若x＞y＞0，则下列不等式成立的是(　　)A．x2＞y2 B．－x＞－yC． eq \f(1,x)＜ eq \f(1,y) D． eq \f(x,y)＜ eq \f(x＋1,y＋1)【答案】AC　【解析】对于A，当x＞y＞0时，x2＞y2，A成立；对于B，当x＞y＞0时，－x＜－y，B不成立；对于C，当x＞y＞0时， eq \f(x,xy)＞ eq \f(y,xy)，即 eq \f(1,x)＜ eq \f(1,y)，C成立；对于D， eq \f(x,y)－ eq \f(x＋1,y＋1)＝ eq \f(x(y＋1)－y(x＋1),y(y＋1))＝ eq \f(x－y,y(y＋1))，∵x＞y＞0，∴x－y＞0，∴ eq \f(x,y)－ eq \f(x＋1,y＋1)＞0，即 eq \f(x,y)＞ eq \f(x＋1,y＋1)，D不成立．故选AC．10．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是(　　)A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6aC．(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4 D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4【答案】ACD　【解析】设a＞0，b＞0，a2＋1－a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)＞0，A成立；a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，故C成立；a＋ eq \f(1,a)≥2，b＋ eq \f(1,b)≥2，故D成立．故选ACD．11．（2023年福州期末）对于给定的实数a，不等式ax2＋(a－1)x－1＜0的解集可能是(　　)A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1＜x＜\f(1,a))))) B．{x|x≠－1}C．{x|x＜－1} D．R【答案】AB　【解析】当a＝0时，不等式可化为－x－1＜0，解得x＞－1，当a≠0时，原不等式可化为a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x＋1)＜0，当a＞0时，解得－1＜x＜ eq \f(1,a)，当－1＜a＜0时，解得x＜ eq \f(1,a)或x＞－1，当a＝－1时，解得x≠－1，当a＜－1时，解得x＞ eq \f(1,a)或x＜－1．故选AB．12．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(　　)A．ab有最大值 eq \f(1,4) B． eq \r(a) ＋ eq \r(b) 有最小值1C． eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)有最小值4 D．a2＋b2有最小值 eq \f(\r(2),2)【答案】AC　【解析】1＝a＋b≥2 eq \r(ab)，所以ab≤ eq \f(1,4)，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2)时，等号成立，所以ab有最大值 eq \f(1,4)，所以A正确； eq \r(a) ＋ eq \r(b)≥2 eq \r(\r(ab))，2 eq \r(\r(ab))≤ eq \r(2)，所以 eq \r(a) ＋ eq \r(b)的最小值不是1，所以B错误； eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝ eq \f(a＋b,ab)＝ eq \f(1,ab)≥4，所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)有最小值4，所以C正确；a2＋b2≥2ab，2ab≤ eq \f(1,2)，所以a2＋b2的最小值不是 eq \f(\r(2),2)，所以D错误．故选AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如果a＞b，ab＜0，那么 eq \f(1,a)与 eq \f(1,b)的大小关系是________．【答案】 eq \f(1,a)＞ eq \f(1,b)　【解析】 eq \f(1,a)－ eq \f(1,b)＝ eq \f(b－a,ab)＞0，所以 eq \f(1,a)＞ eq \f(1,b)．14．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________________．【答案】{x|x＜－2或x＞3}　【解析】根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图如图所示．由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜－2或x＞3}．15．（2023年贵阳模拟）正实数a，b满足 eq \f(1,4a)＋ eq \f(1,b)＝1，则a＋4b的最小值为________．【答案】 eq \f(25,4)　【解析】由题得a＋4b＝(a＋4b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4a)＋\f(1,b)))＝ eq \f(17,4)＋ eq \f(a,b)＋ eq \f(b,a)≥ eq \f(17,4)＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝ eq \f(25,4)，当且仅当a＝b＝ eq \f(5,4)时，取等号，所以a＋4b的最小值为 eq \f(25,4)．16．（2023年重庆期末）已知实数a＞0，b＞0，且a2＋4b2＝8，则a＋2b的最大值为________； eq \f(4,a＋2)＋ eq \f(1,2b)的最小值为________．【答案】4　 eq \f(3,2)　【解析】∵a＞0，b＞0，16＝2(a2＋4b2)≥(a＋2b)2，∴a＋2b≤4，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴a＋2b的最大值为4．∵(a＋2＋2b)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a＋2)＋\f(1,2b)))＝ eq \f(8b,a＋2)＋ eq \f(a＋2,2b)＋5≥2 eq \r(4)＋5＝9，∴ eq \f(4,a＋2)＋ eq \f(1,2b)≥ eq \f(9,a＋2b＋2)≥ eq \f(9,4＋2)＝ eq \f(3,2)，当且仅当a＝2，b＝1时等号成立，∴ eq \f(4,a＋2)＋ eq \f(1,2b)的最小值为 eq \f(3,2)．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设a＞0，b＞0，比较 eq \r(\f(a2,b))＋ eq \r(\f(b2,a)) 与 eq \r(a) ＋ eq \r(b)的大小．解：因为a＞0，b＞0，所以 eq \r(\f(a2,b))＋ eq \r(\f(b2,a))＝ eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))．根据均值不等式可得 eq \f(a,\r(b))＋ eq \r(b)≥2 eq \r(a)，① eq \f(b,\r(a))＋ eq \r(a)≥2 eq \r(b)，②当且仅当a＝b时，取等号．由①＋②，得 eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))＋ eq \r(a) ＋ eq \r(b)≥2（ eq \r(a) ＋ eq \r(b)），即 eq \r(\f(a2,b))＋ eq \r(\f(b2,a))≥ eq \r(a) ＋ eq \r(b)．18．（12分）（2023年成都期末）已知关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}．(1)求a，b的值；(2)若c∈R，解关于x的不等式ax2－(ac＋b－1)x＋(b－1)c＜0．解：(1)关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}，即方程ax2－x－b＝0的根为2，－1，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a－2－b＝0，,a＋1－b＝0，))解得a＝1，b＝2．(2)由(1)得关于x的不等式x2－(c＋1)x＋c＜0，即(x－1)(x－c)＜0，当c＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜c}；当c＝1时，不等式的解集为；当c＜1时，不等式的解集为{x|c＜x＜1}．19．（12分）（2023年南通期末）已知y＝ eq \f(x＋2,x2＋x＋1)(x＞－2)．(1)求 eq \f(1,y)的取值范围；(2)当x为何值时，y取得最大值？解：(1)设x＋2＝t，则x＝t－2，t＞0(x＞－2)．故 eq \f(1,y)＝ eq \f(x2＋x＋1,x＋2)＝ eq \f((t－2)2＋(t－2)＋1,t)＝ eq \f(t2－3t＋3,t)＝t＋ eq \f(3,t)－3≥2 eq \r(3)－3，∴ eq \f(1,y)≥2 eq \r(3)－3．(2)由题意知y＞0，故欲使y最大，必有 eq \f(1,y)最小，此时t＝ eq \f(3,t)，t＝ eq \r(3)，x＝ eq \r(3)－2，y＝ eq \f(1,2\r(3)－3)＝ eq \f(2\r(3)＋3,3)，∴当x＝ eq \r(3)－2时，y最大，最大值为 eq \f(2\r(3)＋3,3)．20．（12分）已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．解：因为不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解为α＜x＜β，其中β＞α＞0，所以有α＋β＝－ eq \f(b,a)，αβ＝ eq \f(c,a)且a＜0，c＜0．设方程cx2＋bx＋a＝0的两根为m，n，且m＜n，则m＋n＝－ eq \f(b,c)＝ eq \f(α＋β,αβ)＝ eq \f(1,α)＋ eq \f(1,β)，mn＝ eq \f(a,c)＝ eq \f(1,αβ)＝ eq \f(1,α)· eq \f(1,β)，所以n＝ eq \f(1,α)，m＝ eq \f(1,β)．又因为c＜0，所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,α)或x＜\f(1,β)))))．21．（12分）中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 eq \f(900a(1＋x),x)元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．解：(1)设甲工程队的总造价为y元，则y＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150×2x＋400×\f(12,x)))＋7 200＝900 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋7 200(2≤x≤6)，900 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋7 200≥900×2 eq \r(x·\f(16,x))＋7 200＝14 400，当且仅当x＝ eq \f(16,x)，即x＝4时，等号成立，∴当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元．(2)由题意可得，当2≤x≤6时，900 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋7 200＞ eq \f(900a(1＋x),x)恒成立，即 eq \f((x＋4)2,x)＞ eq \f(a(1＋x),x)，∴a＜ eq \f((x＋4)2,x＋1)＝(x＋1)＋ eq \f(9,x＋1)＋6．又∵x＋1＋ eq \f(9,x＋1)＋6≥2 eq \r((x＋1)·\f(9,x＋1))＋6＝12，当且仅当x＋1＝ eq \f(9,x＋1)，即x＝2时，等号成立，∴a的取值范围为{a|0＜a＜12}．22．（12分）已知关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0．(1)m为何实数时，方程有两正实数根？(2)m为何实数时，方程有一个正实数根、一个负实数根？解：（方法一）(1)由已知得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac＝4(m＋2)2－4(m2－1)≥0，,x1＋x2＝2(m＋2)＞0，,x1x2＝m2－1＞0，))解得－ eq \f(5,4)≤m＜－1或m＞1．(2)由已知得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,x1x2＝m2－1＜0，))解得－1＜m＜1．（方法二）(1)设y＝x2－2(m＋2)x＋m2－1，因为方程有两正实数根，所以函数图象如图所示，则应满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(b,2a)＝m＋2＞0，,m2－1＞0，))解得－ eq \f(5,4)≤m＜－1或m＞1．(2)因为方程有一正实数根、一负实数根，则函数图象如图所示．当x＝0时，y＝m2－1，由题意知m2－1＜0，解得－1＜m＜1．x－3－2－101234y60－4－6－6－406