高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第二课时同步练习题

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1．函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))B．f(0)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))，f(0)D．f(0)，f(3)
【答案】B
【解析】观察函数图象，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))．
2．函数y＝x－ eq \f(1,x)在[1，2]上的最大值为( )
A．0B． eq \f(3,2)
C．2D．3
【答案】B
【解析】函数y＝x在[1，2]上单调递增，函数y＝－ eq \f(1,x)在[1，2]上单调递增，所以函数y＝x－ eq \f(1,x)在[1，2]上单调递增．当x＝2时，ymax＝2－ eq \f(1,2)＝ eq \f(3,2)．
3．(2023年南宁兴宁区期中)函数f(x)＝ eq \f(x＋1,x－1)在区间[2，6]上的最大值为( )
A．3B． eq \f(7,5)
C．2D． eq \f(5,3)
【答案】A
【解析】因为f(x)＝ eq \f(x＋1,x－1)＝ eq \f((x－1)＋2,x－1)＝1＋ eq \f(2,x－1)，所以f(x)＝ eq \f(x＋1,x－1)在区间[2，6]上单调递减，所以f(x)在[2，6]上的最大值为f(2)＝3．故选A．
4．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2B．－2
C．2或－2D．0
【答案】C
【解析】依题意，若a＝0，则y＝1，不符合题意，故a≠0．当a＞0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2．综上a＝±2．
5．(多选)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有( )
A．y＝ eq \f(2,x)＋ eq \f(x,2)B．y＝4x＋ eq \f(1,x)
C．y＝3x－ eq \f(1,x)D．y＝x－1＋ eq \f(4,x＋1)
【答案】ACD
【解析】选项A，x≥1，y＝ eq \f(2,x)＋ eq \f(x,2)≥2 eq \r(\f(2,x)·\f(x,2))＝2，当且仅当x＝2时，y取得最小值2；选项B，y＝4x＋ eq \f(1,x)在x≥1递增，可得y的最小值为5；选项C，y＝3x－ eq \f(1,x)在x≥1递增，可得y的最小值为2；选项D，y＝x－1＋ eq \f(4,x＋1)＝(x＋1)＋ eq \f(4,x＋1)－2≥2 eq \r((x＋1)·\f(4,x＋1))－2＝2，当且仅当x＝1时，y取得最小值2．故选ACD．
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1B．0
C．1D．2
【答案】C
【解析】因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2，所以f(x)在[0，1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2，所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1．
7．(多选)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)( )
A．最大值为2B．最大值为1
C．最小值为－1D．无最小值
【答案】BD
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示．根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝1，由图象知f(x)无最小值．故选BD．
8．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，0)
【解析】令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1．又因为x∈[0，2]，所以f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0，所以a＜0．
9．如图，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m，则要使每间笼舍面积达到最大，每间笼舍的宽度应为________m．
【答案】5
【解析】设笼舍的宽为x m，则笼舍的长为(30－3x)m，每间笼舍的面积为y＝ eq \f(1,2)x(30－3x)＝－ eq \f(3,2)(x－5)2＋37.5，x∈(0，10)．当x＝5时，y取得最大值，即每间笼舍的宽度为5 m时，每间笼舍面积达到最大．
10．已知函数f(x)＝ eq \f(x－1,x＋2)，x∈[3，5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ eq \f(x1－1,x1＋2)－ eq \f(x2－1,x2＋2)
＝ eq \f((x1－1)(x2＋2)－(x2－1)(x1＋2),(x1＋2)(x2＋2))
＝ eq \f(x1x2＋2x1－x2－2－x1x2－2x2＋x1＋2,(x1＋2)(x2＋2))
＝ eq \f(3(x1－x2),(x1＋2)(x2＋2))．
因为x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，
所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)＝ eq \f(x－1,x＋2)在[3，5]上单调递增．
(2)由(1)知f(x)在[3，5]上单调递增，所以当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝ eq \f(2,5)；
当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝ eq \f(4,7)．
B级——能力提升练
11．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞)B．[0，2]
C．(－∞，2]D．[1，2]
【答案】D
【解析】f(x)＝(x－1)2＋2，因为f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，所以1≤m≤2．故选D．
12．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2，3]上有最小值2，最大值5
D．当0＜a＜1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)；当a＞1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
【答案】BCD
【解析】函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1．在选项A中，因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)＞f(2)，所以f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)在区间[2，3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当0＜a＜1时，f(x)在区间[0，a]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(a)，当a＞1时，因为f(x)在区间[0，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，所以f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(1)＝1，D正确．故选BCD．
13．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝________．
【答案】－2 0
【解析】y＝－(x－3)2＋18，∵a＜b＜3，∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，解得b＝0(b＝6不合题意，舍去)，－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
14．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0，1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】[0，＋∞)
【解析】(方法一)－x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0，1]，设f(x)＝x2－4x，即a≥f(x)max．又f(x)max＝f(0)＝0，所以a≥0．
(方法二)设f(x)＝－x2＋4x＋a，由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f(0)＝a≥0，,f(1)＝－1＋4＋a≥0，))解得a≥0．
15．某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
(1)确定x与y的一个一次函数关系式 y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润．
解：(1)因为f(x)是一次函数，
所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
由题中表格可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(45a＋b＝27，,50a＋b＝12，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝162，))
所以y＝f(x)＝－3x＋162．
又因为y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]．
(2)由题意，得P＝(x－30)y＝(x－30)·(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]．
所以当x＝42时，Pmax＝432，即当销售单价为42元时，能获得最大的日销售利润．
x
45
50
y
27
12