人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质当堂达标检测题，共5页。试卷主要包含了下列函数是奇函数的是，函数f＝ eq \f－x的图象，已知函数f＝x＋ eq \f等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．下列函数是奇函数的是( )
A．y＝ eq \f(x(x－1),x－1)B．y＝－3x2
C．y＝－|x|D．y＝πx3－ eq \f(3,5)x
【答案】D
【解析】选项A中函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以排除A；选项B，C中函数的定义域均是R，且函数均是偶函数；选项D中函数的定义域是R，且f(－x)＝－f(x)，则此函数是奇函数．
2．函数f(x)＝ eq \f(1,x)－x的图象( )
A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝－x对称
【答案】C
【解析】因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－ eq \f(1,x)－(－x)＝x－ eq \f(1,x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
3．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)＜0的解集用区间表示为( )
A．(0，3)B．(－3，0)∪(0，3)
C．[－6，－3)∪(0，3)D．(－3，0)∪(3，6]
【答案】C
【解析】由f(x)在[0，6]上的图象知，满足f(x)＜0的不等式的解集为(0，3)．又因为f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f(x)＜0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)＜0的解集为[－6，－3)∪(0，3)．故选C．
4．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(－3)＝2，则f(3)＝( )
A．1B．－2
C．3D．2
【答案】D
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝2．故选D．
5．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数
【答案】A
【解析】由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
6．定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(3)＜f(－4)＜f(－π)B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)
C．f(3)＜f(－π)＜f(－4)D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)
【答案】C
【解析】因为f(x)在R上是偶函数，所以f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．而3＜π＜4，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(3)＜f(π)＜f(4)，即f(3)＜f(－π)＜f(－4)．
7．(多选)(2023年茂名期末)对于函数f(x)＝x＋ eq \f(4,x)，则下列判断正确的有( )
A．f(x)在定义域内是奇函数
B．x1，x2∈(0，2)，x1≠x2，有 eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)＜0
C．函数f(x)的值域为[4，＋∞)
D．对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＜ eq \f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]
【答案】ABD
【解析】对于A，f(－x)＝－f(x)，且定义域为{x|x≠0}，故f(x)为奇函数，故A正确；对于B，f(x)＝x＋ eq \f(4,x)在(0，2)单调递减，故B正确；对于C，当x＞0时f(x)＝x＋ eq \f(4,x)≥2 eq \r(4)＝4，当且仅当x＝ eq \f(4,x)，x＝2时取得等号，当x＜0时f(x)＝x＋ eq \f(4,x)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(4,－x)))≤－2 eq \r(4)＝－4，当且仅当x＝ eq \f(4,x)，即x＝－2时取得等号，所以f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C错误；对于D，对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝x1＋x2＋ eq \f(16,x1＋x2)，f(x1)＋f(x2)＝x1＋x2＋ eq \f(4,x1)＋ eq \f(4,x2)，∴2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))－[f(x1)＋f(x2)]＝ eq \f(16,x1＋x2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x1)＋\f(4,x2)))，而 eq \f(\f(16,x1＋x2),\f(4,x1)＋\f(4,x2))＝ eq \f(4x1x2,(x1＋x2)2)＜1，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＜ eq \f(f(x1)＋f(x2),2)，故D正确．故选ABD．
8．已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－ eq \f(1,x) ，则f(－2)＝________．
【答案】－ eq \f(7,2)
【解析】x＞0时，f(x)＝2x－ eq \f(1,x)，所以f(2)＝2×2－ eq \f(1,2)＝ eq \f(7,2)，而f(x)是R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，即f(－2)＝－ eq \f(7,2)．
9．已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)为偶函数，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为________．
【答案】 eq \f(1,4)
【解析】已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)2＋b(－x)＝x2＋bxb＝0，所以f(x)＝x2，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ eq \f(1,4)．
10．(2023年广州越秀区期末)已知函数f(x)＝x＋ eq \f(a,x)．
(1)若f(1)＝5，判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(4)＝3，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．
解：(1)根据题意，函数f(x)＝x＋ eq \f(a,x)．
若f(1)＝5，即1＋a＝5，解得a＝4，则f(x)＝x＋ eq \f(4,x)，
f(x)为奇函数．理由如下：
f(x)＝x＋ eq \f(4,x)，其定义域为{x|x≠0}，
且f(－x)＝－x－ eq \f(4,x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
(2)若f(4)＝3，即f(4)＝4＋ eq \f(a,4)＝3，解得a＝－4，
则f(x)＝x－ eq \f(4,x)，在(0，＋∞)上为增函数．证明如下：
设0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(4,x1)))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(4,x2)))＝(x1－x2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x1)－\f(4,x2)))＝(x1－x2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4,x1x2)))，
而0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
B级——能力提升练
11．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．21B．－21
C．26D．－26
【答案】B
【解析】设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13．又因为g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．
12．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的有( )
A．f(x)的最大值为 eq \f(1,4)B．f(x)在(－1，0)上单调递增
C．f(x)＞0的解集为(－1，1)D．f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]
【答案】AD
【解析】由题意，易得f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－x2，x≥0，,－x－x2，x＜0，))画出f(x)的图象(图略)，易知当x＝± eq \f(1,2)时，f(x)取得最大值为 eq \f(1,4)，A正确；f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))上单调递增，在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))上单调递减，B错误；f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；f(x)＋2x＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－x2，x≥0，,x－x2，x＜0，))当x≥0时，由3x－x2≥0，得0≤x≤3，当x＜0时，由x－x2≥0，得0≤x≤1，无解，所以f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]，D正确．故选AD．
13．(2023年重庆期末)f(x)是定义在R上的函数，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＋ eq \f(1,2)为奇函数，则f(2 023)＋f(－2 022)＝________．
【答案】－1
【解析】f(x)是定义在R上的函数，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＋ eq \f(1,2)为奇函数，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(1,2)))＋ eq \f(1,2)＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＋\f(1,2)))f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(1,2)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝－1．∴f(2 023)＋f(－2 022)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4 045,2)＋\f(1,2)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4 045,2)＋\f(1,2)))＝－1．
14．(2023年金华期中)若函数f(x)＝|x|(x－a)，a∈R是奇函数，则a＝__________，f(2)＝________．
【答案】0 4
【解析】因为函数f(x)＝|x|(x－a)，a∈R是奇函数，即f(x)＋f(－x)＝0，令x＝1，则f(1)＋f(－1)＝0，即1－a＋(－1－a)＝0，解得a＝0，故f(x)＝x|x|，则f(2)＝4．
15．(2023年宁夏期末)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)根据题意，当x＜0时，－x＞0，
则有f(－x)＝－x2－2x．
而f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(x)＝－f(－x)＝x2＋2x，
故f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x＜0，,－x2＋2x，x≥0．))
(2)根据题意，f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x＜0，,－x2＋2x，x≥0，))其草图如图所示，
则有－1＜a－2≤1，解得1＜a≤3，
故a的取值范围为(1，3]．