A级——基础过关练
1．下列函数：①y＝x3；②y＝4x2；③y＝x5＋1；④y＝(x－1)2；⑤y＝x．其中幂函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】②中系数不是1，③中解析式为多项式，④中底数不是自变量本身，所以只有①⑤是幂函数．故选B．
2．(2023年萍乡期末)已知幂函数f(x)的图象过点(64，4)，则f(8)的值为( )
A．2B．3
C．4D．5
【答案】A
【解析】设幂函数f(x)＝xα，∵幂函数f(x)的图象过点(64，4)，∴64α＝4，∴α＝ eq \f(1,3)．∴f(8)＝8 eq \f(1,3)＝2．故选A．
3．如图，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．n＜m＜0B．m＜n＜0
C．n＞m＞0D．m＞n＞0
【答案】A
【解析】由图象可知两函数在第一象限内递减，故m＜0，n＜0．由曲线C1，C2的图象可知n＜m．
4．已知幂函数f(x)＝2kxm的图象过点( eq \r(2)，4)，则k＋m＝( )
A．4 B． eq \f(9,2)
C．5 D． eq \f(11,2)
【答案】B
【解析】因为幂函数f(x)＝2kxm，所以2k＝1，解得k＝ eq \f(1,2)．又因为图象过点( eq \r(2)，4)，所以( eq \r(2) )m＝4，m＝4，则k＋m＝ eq \f(9,2)．故选B．
5．(2023年济南期末)已知某幂函数的图象经过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32，\f(1,4)))，则该幂函数的大致图象是( )
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
【答案】D
【解析】设幂函数为f(x)＝xα，因为函数过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(32，\f(1,4)))，所以32α＝ eq \f(1,4)，即25α＝2-2，所以5α＝－2，解得α＝－ eq \f(2,5)，所以f(x)＝x－ eq \f(2,5)．所以函数的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)－ eq \f(2,5)＝x－ eq \f(2,5)＝f(x)．故f(x)＝x－ eq \f(2,5)为偶函数，且函数在(0，＋∞)上单调递减，则函数在(－∞，0)上单调递增．故选D．
6．(2023年镇江开学考试)幂函数y＝f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．f(x)＝x-2B．f(x)＝ eq \r(x)
C．f(x)＝x2D．f(x)＝x3
【答案】A
【解析】幂函数y＝f(x)＝x-2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故A正确；幂函数y＝f(x)＝ eq \r(x)是非奇非偶函数，故B错误；幂函数y＝f(x)＝x2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故C错误；幂函数y＝f(x)＝x3是奇函数，故D错误．故选A．
7．(2023年诸暨期末)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，若 eq \r(f(m))＝4，则实数m的值为( )
A．2B．±2
C．4D．±4
【答案】D
【解析】由题意，幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，则2α＝4，∴α＝2，则f(x)＝x2．由 eq \r(f(m))＝4得 eq \r(m2)＝4，∴m2＝16，∴m＝±4．故选D．
8．已知幂函数y＝f(x)的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则f(3)＝________．
【答案】 eq \r(3)
【解析】设幂函数为f(x)＝xα，因为过 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ eq \f(\r(2),2)，所以 eq \f(\r(2),2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(α)2－ eq \f(1,2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(α)α＝ eq \f(1,2)，所以f(3)＝3 eq \f(1,2)＝ eq \r(3)．
9．已知幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，且满足f(3)＜f(5)，则m＋n＝________．
【答案】2
【解析】因为幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1＝1，,－2n2＋n＋3为偶数，n∈Z，))解得m＝1，且n＝1，3，5，…．因为满足f(3)＜f(5)，即 3－2n2＋n＋3＜5－2n2＋n＋3，故－2n2＋n＋3为正偶数，所以n＝1，则m＋n＝1＋1＝2．
10．比较下列各组数的大小．
(1)3－ eq \f(7,2)和3.2－ eq \f(7,2)；
(2)4.1 eq \f(2,5)和3.8－ eq \f(4,3)．
解：(1)函数y＝x－ eq \f(7,2)在(0，＋∞)上单调递减．
又因为3＜3.2，所以3－ eq \f(7,2)＞3.2－ eq \f(7,2)．
(2)因为4.1 eq \f(2,5)＞1 eq \f(2,5)＝1，0＜3.8－ eq \f(4,3)＜1－ eq \f(4,3)＝1，
所以4.1 eq \f(2,5)＞3.8－ eq \f(4,3)．
B级——能力提升练
11．若幂函数f(x)＝(m2＋m－5)xm2－2m－3的图象不经过原点，则m的值为( )
A．2B．－3
C．3D．－3或2
【答案】A
【解析】由幂函数定义，得m2＋m－5＝1，解得m＝－3或m＝2．当m＝－3时，m2－2m－3＝12，f(x)＝x12，过原点，不符合题意，故m＝－3舍去；当m＝2时，m2－2m－3＝－3，f(x)＝x-3，显然不过原点，符合条件．故选A．
12．(多选)(2023年河曲开学考试)已知幂函数f(x)＝(m2－3)xm的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，则( )
A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(－∞，0)上单调递减D．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
【答案】AD
【解析】∵f(x)＝(m2－3)xm为幂函数，∴m2－3＝1，∴m＝－2或m＝2．当m＝2时，f(x)＝x2，此时f(2)＝4，函数图象不过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，故f(x)≠x2；当m＝－2时，f(x)＝x-2，此时f(2)＝ eq \f(1,4)，函数图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，故f(x)＝x-2．∵f(－x)＝f(x)，故A正确；∵－2＜0，∴幂函数f(x)＝x-2在(0，＋∞)上单调递减，故D正确；结合偶函数的性质可得幂函数f(x)＝x-2在(－∞，0)上单调递增，故C错误．故选AD．
13．(2023年武汉新洲区期末)若函数f(x)＝(m2－2m－2)xm-1是幂函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f( eq \r(2))＝________．
【答案】2
【解析】因为函数f(x)＝(m2－2m－2)xm-1是幂函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－2＝1，,m－1＞0，))解得m＝3，所以f(x)＝x2，所以f( eq \r(2))＝( eq \r(2))2＝2．
14．(2023年如皋期末)已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)过点(4，2)，则f(a－3)＋f(5－a)的最大值为________．
【答案】2
【解析】∵幂函数f(x)＝xα(α为常数)过点(4，2)，∴4α＝2，∴α＝ eq \f(1,2)，f(x)＝x eq \f(1,2)＝ eq \r(x)，则f(a－3)＋f(5－a)＝ eq \r(a－3)＋ eq \r(5－a)，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3≥0，,5－a≥0，))∴f(a－3)＋f(5－a)＝ eq \r(a－3)＋ eq \r(5－a)，3≤a≤5．∵( eq \r(a－3)＋ eq \r(5－a))2＝a－3＋5－a＋2 eq \r(－a2＋8a－15)＝2 eq \r(－(a－4)2＋1)＋2，∴当a＝4时，( eq \r(a－2)＋ eq \r(5－a))2取最大值4，∴ eq \r(a－2)＋ eq \r(5－a)≤2，∴f(a－3)＋f(5－a)的最大值为2．
15．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m-1(m∈R)为偶函数．
(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．
解：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或m＝3．
当m＝2时，f(x)＝x-3是奇函数，所以不满足题意，所以m＝2舍去；
当m＝3时，f(x)＝x-4，满足题意，所以f(x)＝x-4．所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－4)＝16．
(2)由f(x)＝x-4为偶函数且f(2a＋1)＝f(a)，
得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，解得a＝－1或a＝－ eq \f(1,3)．