高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）巩固练习

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A级——基础过关练
1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40 000，而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )
A．2 000双B．4 000双
C．6 000双D．8 000双
【答案】D
【解析】设日产手套x双才不亏本，由题意，得5x＋40 000≤10x，解得x≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本．
2．在一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，那么每吨800元；如果购买2 000吨，那么每吨700元；如果一客户购买400吨，那么其价格为每吨( )
A．820元B．840元
C．860元D．880元
【答案】C
【解析】设y＝kx＋b(k≠0)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(800k＋b＝1 000，,700k＋b＝2 000，))解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000．由400＝－10x＋9 000，解得x＝860．
3．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是( )
A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
【答案】A
【解析】由图象，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域．故选A．
4．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000，x∈N)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000，x∈N)
C．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000，x∈N)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000，x∈N)
【答案】D
【解析】由题意得y＝0.3(4 000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1 200．
5．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A． eq \f(m,11)B． eq \f(m,12)
C． eq \r(11,m)－1D． eq \r(12,m)－1
【答案】C
【解析】设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝ eq \r(11,m)，即x＝ eq \r(11,m)－1．
6．(2023年广州荔湾区期末)已知甲、乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时的速度匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时的速度匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x(时)记为0，在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y(千米)表示成时间x(小时)的函数为( )
A．y＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100x，0≤x≤1.2，,80x，x＞1.2))B．y＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100x，0≤x≤1.2，,120－80x，x＞1.2))
C．y＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100x，0≤x≤1.2，,120，1.2＜x≤2.2，,120－80x，2.2＜x≤3.7))D．y＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100x，0≤x≤1.2，,120，1.2＜x≤2.2，,296－80x，2.2＜x≤3.7))
【答案】D
【解析】当0≤x≤2.2＋ eq \f(120,100)＝1.2时，y＝100x；当1.2＜x≤2.2时，y＝120；当2.2＜x≤ eq \f(120,80)＝3.7时，y＝120－80(x－2.2)＝296－80x．综上，y＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100x，0≤x≤1.2，,120，1.2＜x≤2.2，,296－80x，2.2＜x≤3.7．))故选D．
7．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km．如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的有( )
A．甲同学从家出发到公园的时间是30 min
B．甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢
C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝ eq \f(1,15)x
D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为y＝ eq \f(1,10)x－2
【答案】ABC
【解析】由题中图象知，A正确；甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，B正确；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝ eq \f(1,15)，C正确；当30≤x≤40时，题中图象是平行于x轴的线段，D错误．
8．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________．
【答案】2t2＋108t＋400，t∈N*
【解析】日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N*．
9．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x．若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为________元/件．
【答案】42
【解析】设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．
10．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，那么其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．
(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
解：(1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)，
y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．
(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样．
B级——能力提升练
11．某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，要使围出的饲养场的总面积最大，则每个矩形的长宽之比为( )
A． eq \f(3,2)B． eq \f(4,3)
C． eq \f(9,4)D． eq \f(16,9)
【答案】A
【解析】如图所示，设一个矩形饲养场的长为AB＝x，宽为AD＝y，则4x＋6y＝1，所以y＝ eq \f(1,6)(1－4x)，则饲养场的总面积为S＝3xy＝ eq \f(1,2)x(1－4x)＝－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,8))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(1,32)．故当x＝ eq \f(1,8)，y＝ eq \f(1,12)，即长宽之比为 eq \f(1,8)∶ eq \f(1,12)＝3∶2时，饲养场的总面积最大．
12．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%．如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货( )
A．月初售出好B．月末售出好
C．月初或月末售出一样D．由成本费的大小确定
【答案】D
【解析】设这批货物成本费为x元，若月初售出，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%；若月末售出，可获利为120－5＝115(元)．可得100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)，∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．
13．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加1单位，成本增加1万元，又知总收入R是生产数量Q的函数R(Q)＝4Q－ eq \f(1,200)Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________单位．(总利润＝总收入－成本)
【答案】250 300
【解析】由题意可得L(Q)＝4Q－ eq \f(1,200)Q2－(200＋Q)＝－ eq \f(1,200)(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取得最大值250万元．
14．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格如下表所示．
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m＝________．
【答案】20
【解析】设y＝(m－19.55)2＋(m－20.05)2＋(m－20.45)2＋(m－19.95)2＝4m2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，则当m＝ eq \f(19.55＋20.05＋20.45＋19.95,4)＝20时，y取最小值．
15．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－0.1x2＋2.6x＋43，0＜x≤10，,59，10＜x≤16，,－3x＋107，16＜x≤30．))
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
解：(1)当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9．
由f(x)的图象(图略)可知，当0＜x≤10时递增，f(x)最大值＝f(10)＝59；
当10＜x≤16时，f(x)＝59；
当16＜x≤30时，f(x)为减函数，f(x)最大值＜59．
因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．
(2)∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5，
∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强．季度
1
2
3
4
每千克售价/元
19.55
20.05
20.45
19.95