必修 第一册4.3 对数课后测评

这是一份必修 第一册4.3 对数课后测评，共5页。试卷主要包含了下列计算正确的有，化简，计算等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．化简(lg62)2＋lg62·lg63＋2lg63－6lg62的结果是( )
A．－lg62B．lg63
C．lg63D．－1
【答案】A
【解析】(lg62)2＋lg62·lg63＋2lg63－6lg62＝lg62(lg62＋lg63)＋2lg63－2＝lg62＋2lg63－2＝2(lg62＋lg63)－lg62－2＝2－lg62－2＝－lg62.故选A.
2．(2023年广州期末)lg 8＋lg 125－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7))) eq \s\up12(－2)＋16 eq \s\up5(\f(3,4)) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)－1)) eq \s\up7(0)＝( )
A．－37B．－38
C．－39D．－40
【答案】A
【解析】原式＝3lg 2＋3lg 5－49＋24× eq \s\up5(\f(3,4)) ＋1＝3(lg 2＋lg 5)－49＋8＋1＝3lg (2×5)－40＝3－40＝－37.故选A.
3．lg2 eq \r(8)＋lg 25＋lg 4＋6lg6 eq \f(1,2)＋9.80＝( )
A．1B．4
C．5D．7
【答案】C
【解析】原式＝ eq \f(3,2)lg22＋lg (25×4)＋ eq \f(1,2)＋1＝ eq \f(3,2)＋2＋ eq \f(1,2)＋1＝5.故选C.
4．(多选)(2023年昆明模拟)下列计算正确的有( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4))) eq \s\up12(\f(1,2))－60－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8))) eq \s\up12(\f(1,3))＝－1B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－lg27)＋ln (ln e)＝7
C．lg23×lg34＝lg67D．lg 25＋ eq \f(2,3)lg 8－lg 200＋lg 2＝0
【答案】ABD
【解析】对于A，原式＝ eq \f(3,2)－1－ eq \f(3,2)＝－1，即A正确；对于B，原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－lg eq \s\d5(\f(1,2)) 7)＋ln (ln e)＝7＋ln 1＝7，即B正确；对于C，原式＝ eq \f(lg 3,lg 2)× eq \f(lg 22,lg 3)＝ eq \f(lg 3,lg 2)× eq \f(2lg 2,lg 3)＝2，即C错误；对于D，原式＝lg 52＋ eq \f(2,3)lg 23－lg 200＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)－lg eq \f(200,2)＝2－2＝0，即D正确．故选ABD.
5．设x＝lg32，则 eq \f(33x－3-3x,32x－3-2x)的值为( )
A． eq \f(21,10)B．－ eq \f(21,10)
C． eq \f(17,10)D． eq \f(13,10)
【答案】A
【解析】因为x＝lg32，所以3x＝2，32x＝4，33x＝8.所以 eq \f(33x－3-3x,32x－3-2x)＝ eq \f(8－\f(1,8),4－\f(1,4))＝ eq \f(21,10).故选A.
6．(2023年南京期末)已知lg23＝a，lg25＝b，则lg1815＝( )
A． eq \f(a＋b,1－a2)B． eq \f(a＋b,1＋2a)
C．－a＋b－1D．a＋b－1
【答案】B
【解析】∵lg23＝a，lg25＝b，∴lg1815＝ eq \f(lg215,lg218)＝ eq \f(lg23＋lg25,lg22＋lg29)＝ eq \f(a＋b,1＋2a).故选B.
7．已知lg34·lg48·lg8m＝lg416，则m等于( )
A． eq \f(9,2)B．9
C．18D．27
【答案】B
【解析】因为lg34·lg48·lg8m＝ eq \f(lg 4,lg 3)· eq \f(lg 8,lg 4)· eq \f(lg m,lg 8)＝ eq \f(lg m,lg 3)＝2，所以lg m＝2lg 3，所以m＝9.
8．化简： eq\r(4,(3－π)4)＋ eq \f(1,6)lg eq \f(1,100)＋2 eq lg\s\d8(\f(1,2)) 3＝________.
【答案】π－3
【解析】因为 eq lg\s\d8(\f(1,2)) 3＝lg2 eq \f(1,3)，所以 eq\r(4,(3－π)4)＋ eq \f(1,6)lg eq \f(1,100)＋2 eq lg\s\d8(\f(1,2)) 3＝π－3＋ eq \f(1,6)×lg 10-2＋2lg2 eq \f(1,3)＝π－3＋ eq \f(1,6)×(－2)＋ eq \f(1,3)＝π－3.
9．(2023年淄博期末)若 eq \f(1,m)＝lg35，则25m＋5－m的值为________．
【答案】 eq \f(28,3)
【解析】因为 eq \f(1,m)＝lg35，所以m＝ eq \f(1,lg35)＝lg53，所以25m＋5－m＝52m＋5－m＝(5m)2＋(5m)-1＝32＋3-1＝ eq \f(28,3).
10．计算：(1)2lg32－lg3 eq \f(32,9)＋lg38；
(2)lg3(9×272)＋lg26－lg23＋lg43×lg316.
解：(1)原式＝lg34－lg3 eq \f(32,9)＋lg38＝lg39＝2.
(2)原式＝lg3(32×36)＋lg2 eq \f(6,3)＋lg43×2lg34＝lg338＋lg22＋2＝11.
B级——能力提升练
11．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 120＝( )
A．1＋a＋bB．1＋a＋2b
C．1＋2a＋bD．2＋2a＋b
【答案】C
【解析】因为lg 2＝a，lg 3＝b，所以lg 120＝lg (10×3×4)＝lg 10＋lg 3＋2lg 2＝1＋b＋2a.故选C.
12．(2023年海口期末)李明开发的小程序经过t天后，用户人数A(t)＝500ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2 000名用户，则用户超过50 000名至少经过的天数为(取lg 2≈0.30)( )
A．31B．32
C．33D．34
【答案】D
【解析】由题意可得2 000＝500e10k，即4＝e10k，可得lg 4＝lg e10k，∴lg 4＝10k·lg e①，当用户达到50 000名时，有50 000＝500ekt，即100＝ekt，可得lg 100＝lg ekt，∴2＝kt·lg e②，联立①和②可得 eq \f(lg 4,2)＝ eq \f(10,t)，故t＝ eq \f(10,lg 2)≈ eq \f(10,0.3)≈33.3，故用户超过50 000名至少经过的天数为34天．故选D.
13．(2023年太原期末)十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当a＞0，a≠1时，ab＝N⇔b＝lgaN.已知2x＝6，3y＝36，则 eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y)＝________．
【答案】1
【解析】∵2x＝6，3y＝36，∴x＝lg26，y＝lg336，∴ eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y)＝ eq \f(1,lg26)＋ eq \f(2,lg336)＝lg62＋2lg363＝lg62＋lg63＝lg66＝1.
14．已知a＞b＞1，若lgab＋lgba＝ eq \f(5,2)，ab＝ba，则a＝________，b＝________．
【答案】4 2
【解析】∵lgab＋lgba＝lgab＋ eq \f(1,lgab)＝ eq \f(5,2)，∴lgab＝2或lgab＝ eq \f(1,2).∵a＞b＞1，∴lgab＜lgaa＝1.∴lgab＝ eq \f(1,2)，∴a＝b2.∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2.∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.
15．(2023年酒泉期末)对于问题：已知2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，求 eq \f(x,y)的值，有同学给出如下解答：
由2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，可得lg (x－2y)2＝lg (xy)，所以(x－2y)2＝xy＞0，
即x2－5xy＋4y2＝0，解得x－y＝0或x－4y＝0，所以 eq \f(x,y)＝1或 eq \f(x,y)＝4.
由于 eq \f(x,y)＝1或 eq \f(x,y)＝4均满足xy＞0，故 eq \f(x,y)的值为1或4.
该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正(写出正确的解答过程及结果).
解：该同学的解答过程不正确，当x＝y＝1时， eq \f(x,y)＝1，且满足xy＞0，但是x－2y＝－1＜0，lg (x－2y)无意义，已知等式不成立；
该同学解答错误是由2lg (x－2y)＝lg x＋lg y得到lg (x－2y)2＝lg (xy)时，忽视了x－2y＞0，且x＞0，y＞0的前提条件．
正确解答如下：
由已知条件得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞0，,y＞0，,x－2y＞0，,(x－2y)2＝xy，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞2y＞0，,x2－5xy＋4y2＝0，))
解得x－4y＝0，所以 eq \f(x,y)＝4.