新教材2024版高中数学第四章指数函数与对数函数章末检测新人教A版必修第一册

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第四章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2023年黄山期末)方程x＝3－lg x的根所在的区间为(　　)A．[1，2] B．[2，3]C．[3，4] D．[4，5]【答案】B【解析】方程x＝3－lg x的根为x＋lg x－3＝0的根，令f(x)＝x＋lg x－3，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(2)＝2＋lg 2－3＝lg 2－1＜0，f(3)＝3＋lg 3－3＝lg 3＞0，所以f(x)在(2，3)上存在零点，所以方程x＝3－lg x的根所在区间为[2，3]．故选B．2．函数f(x)＝ eq \f(1,3x＋1)的值域是(　　)A．(－∞，1) B．(0，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)【答案】B【解析】因为3x＋1＞1，所以0＜ eq \f(1,3x＋1)＜1，所以函数的值域为(0，1)．3．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－4，8]，则第三次所取的区间可能是(　　)A．[2，8] B．[－4，2]C．[－4，5] D．[－1，2]【答案】D【解析】∵第一次所取的区间是[－4，8]，∴第二次所取的区间可能为[－4，2]，[2，8]，∴第三次所取的区间可能为[－4，－1]，[－1，2]，[2，5]，[5，8]．4．设a＝0.50.7，b＝0.70.5，c＝log0.75，则a，b，c的大小关系是(　　)A．c＜b＜a B．c＜a＜bC．a＜b＜c D．a＜c＜b【答案】B【解析】因为a＝0.50.7∈(0，1)，0.70.5＞0.50.5＞0.50.7，c＝log0.75＜0，所以c＜a＜b．故选B．5．(2023年忻州模拟)溶液酸碱度是通过PH计量的，PH的计算公式为PH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液的PH值为2.921，则该溶液中氢离子的浓度约为(取lg 2＝0.301，lg 3＝0.477)(　　)A．1.2×10－3摩尔/升 B．1.2×10－4摩尔/升C．6×10－3摩尔/升 D．6×10－4摩尔/升【答案】A【解析】设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，则－lg t＝2.921，从而t＝10－2.921＝101.079×10－4＝102lg 2＋lg 3×10－4＝1.2×10－3，所以溶液中氢离子的浓度约为1.2×10－3摩尔/升．故选A．6．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，且f(log eq \s\do8(\f(1,2)) 4)＝－3，则a的值为(　　)A． eq \r(3) B．3C．9 D． eq \f(3,2)【答案】A【解析】因为奇函数f(x)满足f(log eq \s\do8(\f(1,2)) 4)＝－3，又因为log eq \s\do8(\f(1,2)) 4＝－2＜0，所以f(2)＝－f(－2)＝3．又因为当x＞0时，f(x)＝ax，所以f(2)＝a2＝3，解得a＝ eq \r(3)(负值已舍去)．故选A．7．(2023年银川期末)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的(　　)A．51.2% B．48.8%C．52% D．48%【答案】B【解析】由题意可知N0e－2k＝ eq \f(4,5)N0，解得e－2k＝ eq \f(4,5)，∴当t＝6时，N0e－6k＝N0(e－2k)3＝ eq \f(64,125)N0，∴ eq \f(N0－\f(64,125)N0,N0)×100%＝48.8%，即前6个小时消除了污染物的48.8%．故选B．8．形如y＝ eq \f(b,|x|－c)(c＞0，b＞0)的函数，因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其称为“囧函数”．若函数f(x)＝ax2＋x＋1(a＞0，且a≠1)有最小值，则当c＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝loga|x|的图象的交点个数为(　　)A．1 B．2C．4 D．6【答案】C【解析】∵f(x)＝ax2＋x＋1＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)，且f(x)有最小值，∴a＞1．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ eq \f(1,|x|－1)与y＝loga|x|的图象，如图所示．由图象知，当c＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝loga|x|的图象有4个交点．故选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．(2023年西安碑林区期末)设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　)A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2)C．f(－2)＞f(2) D．f(－4)＞f(3)AD【解析】由题意，f(2)＝a－2＝4，故a＝ eq \f(1,2)，故f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－|x|)＝2|x|，可得函数为偶函数，故f(－1)＝f(1)＝2，f(－2)＝f(2)＝4，f(3)＝8，f(－4)＝16．故选AD．10．若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)，(1，4)，(1，5)内，那么下列说法中正确的是(　　)A．函数f(x)在(1，2)或[2，3)内有零点B．函数f(x)在(3，5)内无零点C．函数f(x)在[2，5)内有零点D．函数f(x)在[2，4)内不一定有零点【答案】ABD【解析】f(x)有唯一零点，该零点在区间(1，3)，(1，4)，(1，5)内，所以该零点在(1，3)内，于是可以在(1，2)内，也可能在[2，3)内，但不会在(3，5)内，A与B都正确．由于零点可能在[2，3)内，但不一定在[2，4)内，所以C错误，D正确．故选ABD．11．(2023年安康开学考试)下列函数在区间[－1，3]上存在唯一零点的是(　　)A．f(x)＝x2－2x－8 B．f(x)＝x eq \s\up6(\f(3,2))－2C．f(x)＝2x－1－1 D．f(x)＝1－ln (x＋2)【答案】BCD【解析】对于A，由f(x)＝x2－2x－8＝0，得x＝－2或x＝4，所以f(x)＝x2－2x－8在区间[－1，3]上无零点，故A错误；对于B，f(x)＝x eq \s\up6(\f(3,2))－2在[0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝－2，f(3)＝ eq \r(27)－2＞0，所以f(x)＝x eq \s\up6(\f(3,2))－2在区间[－1，3]上存在唯一零点，故B正确；对于C，f(x)＝2x－1－1在R上单调递增，且f(－1)＝ eq \f(1,4)－1＜0，f(3)＝4－1＞0，所以f(x)＝2x－1－1在区间[－1，3]上存在唯一零点，故C正确；对于D，f(x)＝1－ln (x＋2)在(－2，＋∞)上单调递减，且f(－1)＝1＞0，f(3)＝1－ln 5＜0，所以f(x)＝1－ln (x＋2)在区间[－1，3]上存在唯一零点，故D正确．故选BCD．12．(2022年长沙期中)已知3a＝5b＝15，则a，b满足下列关系的是(　　)A．ab＞4 B．a＋b＞4C．a2＋b2＜4 D．(a＋1)2＋(b＋1)2＞16【答案】ABD【解析】由题意知a＝log315＝1＋log35，b＝log515＝1＋log53，∴ eq \f(a＋b,ab)＝ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝log153＋log155＝1，即a＋b＝ab，∵a＋b＝2＋log35＋ eq \f(1,log35)＞2＋2 eq \r(log35×\f(1,log35))＝4，∴a＋b＝ab＞4，故A，B正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(ab)2－2ab＝(ab－1)2－1＞8，故C错误；(a＋1)2＋(b＋1)2＝a2＋b2＋2(a＋b)＋2＝ (a＋b)2＋2＞18＞16，故D正确．故选ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2023年天津模拟)计算：log2.56.25－5log52＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8))) eq \s\up12(－\f(1,3))＋ eq \r(6\f(1,4))＝________．【答案】 eq \f(19,6)【解析】原式＝2－2＋ eq \f(2,3)＋ eq \f(5,2)＝ eq \f(19,6)．14．若alog37＝3，b log72＝7，则a2 log37＋b log74＝________．【答案】58【解析】因为alog37＝3，b log72＝7，则a2 log37＋b log74＝(a log37)2＋(b log72)2＝9＋49＝58．15．(2023年昆明期末)小明在学习二分法后，利用二分法研究方程x3－4x＋1＝0在(1，3)上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解x0所在的区间为________．【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))【解析】根据题意，设f(x)＝x3－4x＋1，有f(1)＝－2，f(3)＝14，则f(1)f(3)＜0，f(x)在(1，3)上有零点，第一次运算，取x＝2，有f(2)＝1＞0，则f(x)在(1，2)上有零点，第二次运算，取x＝ eq \f(3,2)，有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－ eq \f(13,8)＜0，则f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))上有零点，则可确定近似解x0所在的区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))．16．设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，其图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(10)))，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称．若f(2m)＝4，f(n)＝25，则2m＋n＝________；若g(x)在区间[ eq \r(10)，c]上的值域为[m，n]，且n－m＝ eq \f(3,2)，则c＝________．【答案】2　100【解析】因为f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(10)))，所以 eq \r(10)＝a eq \s\up6(\f(1,2))，解得a＝10，所以f(x)＝10x．因为f(2m)＝4，f(n)＝25，所以102m＝4，10n＝25，所以102m·10n＝100，即102m＋n＝102，所以2m＋n＝2．因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，所以g(x)＝lg x(x＞0)，且为增函数，所以g(x)在[ eq \r(10)，c]上的值域为[lg  eq \r(10)，lg c]＝[m，n]，因为n－m＝ eq \f(3,2)，所以lg c－lg  eq \r(10)＝ eq \f(3,2)，解得c＝100．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)计算：(1)(0.008 1)－ eq \s\up5(\f(1,4))－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(0))) eq \s\up12(－1)× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(81－0.25＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))－\f(1,3))) eq \s\up12(－\f(1,2))；(2)log3 eq \f(\r(4,27),3)＋lg 25＋lg 2＋7log72＋log23·log94－lg 5．解：(1)原式＝0.34× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))－(3×1)－1× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－4×0.25＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(3×(－\f(1,3))))) eq \s\up12(－\f(1,2))＝ eq \f(10,3)－ eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(2,3))) eq \s\up12(－\f(1,2))＝ eq \f(10,3)－ eq \f(1,3)＝3．(2)原式＝log327 eq \s\up5(\f(1,4))－log33＋lg (25×2÷5)＋2＋ eq \f(lg 3,lg 2)· eq \f(2lg 2,2lg 3)＝－ eq \f(1,4)＋1＋2＋1＝ eq \f(15,4)．18．(12分)(2023年西安长安区期末)已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))．(1)求a的值；(2)求f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上的最小值；(3)若g(x)＝f(x)＋x，求证：g(x)在区间(－1，0)内存在零点．(1)解：由题意的 eq \f(1,4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－2)＝a2，得a＝2．(2)解：由(1)得f(x)＝2x，该函数在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上单调递增，则当x＝－ eq \f(1,2)时，f(x)取得最小值为2－ eq \s\up5(\f(1,2))＝ eq \f(\r(2),2)．(3)证明：g(x)＝f(x)－x＝2x＋x，该函数在R上单调递增，又g(0)＝1＞0，g(－1)＝ eq \f(1,2)－1＝－ eq \f(1,2)＜0，由函数零点判定定理可得，g(x)在区间(－1，0)内存在零点．19．(12分)(2023年萍乡期末)已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，且f(a)＋f(9a)＝4．(1)求实数a的值；(2)解关于x的不等式f2(x)－4f(x)－5＜0．解：(1)由f(a)＋f(9a)＝4，得logaa＋loga9a＝2＋loga9＝4，所以loga9＝2，即a2＝9．因为a＞0，所以a＝3．(2)令t＝f(x)，不等式f2(x)－4f(x)－5＜0转化为t2－4t－5＜0，即(t＋1)(t－5)＜0，解得－1＜t＜5，即－1＜log3x＜5．因为－1＝log3 eq \f(1,3)，5＝log3243，且f(x)＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以 eq \f(1,3)＜x＜243，即原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜x＜243))．20．(12分)声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2)．(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2，求人听觉的声强级范围．(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？解：(1)由题知10－12≤I≤1，所以1≤ eq \f(I,10－12)≤1012．所以0≤lg  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))≤12，所以0≤L≤120．故人听觉的声强级范围是[0，120](单位：dB)．(2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2，由题知L1－L2＝20，则10lg  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I1,10－12)))－10lg  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I2,10－12)))＝20，所以lg  eq \f(I1,I2)＝lg 100，所以I1＝100I2．故该女高音的声强是该男低音声强的100倍．21．(12分)(2023年信阳开学考试)已知函数f(x)＝loga(4－ax)．(1)若当x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))时，函数f(x)有意义，求实数a的取值范围．(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在[－5，21]上为增函数，并且在此区间的最小值为－1？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a＞0且a≠1，设t(x)＝4－ax，则t(x)＝4－ax为减函数，所以当x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))时，t(x)＞t(3)＝4－3a，要使f(x)有意义，则x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))时，4－ax＞0恒成立，所以4－3a≥0，所以a≤ eq \f(4,3)．又因为a＞0且a≠1，所以0＜a≤ eq \f(4,3)且a≠1．所以a的取值范围为(0，1)∪ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))．(2)由(1)知，a＞0且a≠1，t(x)＝4－ax为减函数，要使函数f(x)在[－5，21]上单调递增，根据复合函数的单调性可知0＜a＜1，则f(x)min＝f(－5)＝loga(4＋5a)＝－1，解得a＝ eq \f(1,5)，所以存在a＝ eq \f(1,5)使得函数f(x)在[－5，21]上单调递增，并且在此区间的最小值为－1．22．(12分)已知函数f(x)＝loga(ax＋1)＋bx(a＞0，且a≠1，b∈R)是偶函数，函数g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．(1)求b的值；(2)若函数h(x)＝f(x)－ eq \f(1,2)x－a有零点，求a的取值范围．解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴loga(a－x＋1)－loga(ax＋1)＝2bx．∴2bx＝－x．∴b＝－ eq \f(1,2)．(2)若函数h(x)＝f(x)－ eq \f(1,2)x－a有零点，则log2(ax＋1)－x＝a，则loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ax)))＝a有解．令p(x)＝loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ax)))，则函数y＝p(x)的图象与直线y＝a有交点．当0＜a＜1时，∵1＋ eq \f(1,ax)＞1，∴p(x)＝loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ax)))＜0，故loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ax)))＝a无解；当a＞0时，∵1＋ eq \f(1,ax)＞1，∴p(x)＝loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ax)))＞0，由loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ax)))＝a有解可知a＞0，故a＞1．故a的取值范围是(1，＋∞)．