高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第二课时复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第二课时复习练习题，共5页。试卷主要包含了化简，求证等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－ eq \f(1,3)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值为( )
A．－ eq \f(2\r(2),3)B． eq \f(2\r(2),3)
C．－ eq \f(1,3)D． eq \f(1,3)
【答案】D
【解析】sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－\f(π,2)))＝－sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝ eq \f(1,3).
2．若sin (3π＋α)＝－ eq \f(1,2)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))等于( )
A．－ eq \f(1,2)B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(3),2)D．－ eq \f(\r(3),2)
【答案】A
【解析】∵sin (3π＋α)＝－sin α＝－ eq \f(1,2)，∴sin α＝ eq \f(1,2).∴cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α＝－ eq \f(1,2).
3．已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2cs (π－α)，则tan (－α)等于( )
A．－2B．2
C．－ eq \f(1,3)D． eq \f(1,3)
【答案】A
【解析】由cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2cs (π－α)，得－sin α＝－2cs α，所以tan α＝2.所以tan (－α)＝－tan α＝－2.故选A.
4．已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝ eq \f(\r(3),2)，且|φ|＜ eq \f(π,2)，则tan φ等于( )
A．－ eq \f(\r(3),3)B． eq \f(\r(3),3)
C．－ eq \r(3)D． eq \r(3)
【答案】C
【解析】由cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝－sin φ＝ eq \f(\r(3),2)，得sin φ＝－ eq \f(\r(3),2).又因为|φ|＜ eq \f(π,2)，所以cs φ＝ eq \f(1,2)，所以tan φ＝－ eq \r(3).
5．已知sin 10°＝k，则cs 620°的值为( )
A．kB．－k
C．±kD．不确定
【答案】B
【解析】cs 620°＝cs (360°＋260°)＝cs 260°＝cs (270°－10°)＝－sin 10°＝－k.
6．化简： eq \f(sin (θ－5π)cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs (8π－θ),sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))sin (－θ－4π))＝( )
A．－sin θB．sin θ
C．cs θD．－cs θ
【答案】A
【解析】原式＝ eq \f(sin (θ－π)cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))cs θ,cs θsin (－θ))
＝ eq \f((－sin θ)(－sin θ)cs θ,cs θ(－sin θ))＝－sin θ.
7．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝－cs xB．cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝sin x
C．cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝－sin xD．sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))＝－cs x
【答案】BCD
【解析】sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cs x，故A不成立；B，C，D成立．故选BCD.
8．sin 95°＋cs 175°的值为________．
【答案】0
【解析】sin 95°＋cs 175°＝sin (90°＋5°)＋cs (180°－5°)＝cs 5°－cs 5°＝0.
9．已知角α的终边经过点P(－1， eq \r(3))，则tan α＝__________，sin (α＋π)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝____________.
【答案】－ eq \r(3) － eq \f(3,4)
【解析】因为角α的终边经过点P(－1， eq \r(3))，所以tan α＝ eq \f(\r(3),－1)＝－ eq \r(3)，sin α＝ eq \f(\r(3),\r(1＋3))＝ eq \f(\r(3),2)，sin (α＋π)·cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝－sin αsin α＝－ eq \f(\r(3),2)× eq \f(\r(3),2)＝－ eq \f(3,4).
10．求证：
eq \f(2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3,2)π))cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2(π＋θ))＝ eq \f(tan(9π＋θ)＋1,tan (π＋θ)－1).
证明：左边
＝ eq \f(－2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))·(－sin θ)－1,1－2sin2θ)
＝ eq \f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝ eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝ eq \f(－2csθsin θ－1,cs2θ＋sin2θ－2sin2θ)
＝ eq \f((sinθ＋cs θ)2,sin2θ－cs2θ)
＝ eq \f(sinθ＋cs θ,sin θ－cs θ).
右边＝ eq \f(tan (9π＋θ)＋1,tan (π＋θ)－1)
＝ eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)
＝ eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ).
∴左边＝右边，原式得证．
B级——能力提升练
11．(多选)(2023年会宁期末)已知f(x)＝sin x，下列式子中成立的是( )
A．f(π－x)＝f(x)B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝sin x
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝－cs xD．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,2)))＝cs x
【答案】AC
【解析】根据函数f(x)＝sin x，可得f(π－x)＝sin (π－x)＝sin x＝f(x)，故A正确；f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋π))＝cs (－x)＝cs x，故B错误；f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝－cs x，故C正确；f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,2)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,2)))＝－cs x，故D错误．故选AC.
12．(2023年襄阳开学考试)已知tan α＝ eq \f(2cs α,5＋sin α)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝( )
A． eq \f(1,3)B．－ eq \f(2\r(2),3)
C．－ eq \f(1,3)D． eq \f(2\r(2),3)
【答案】C
【解析】因为tan α＝ eq \f(2cs α,5＋sin α)，所以 eq \f(sin α,cs α)＝ eq \f(2cs α,5＋sin α)，可得5sin α＋sin2α＝2cs2α＝2－2sin2α，整理可得3sin2α＋5sinα－2＝0，解得sin α＝ eq \f(1,3)或－2(舍去)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin α＝－ eq \f(1,3).故选C.
13．化简 eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·sin (α－π)·cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))的结果为________．
【答案】－sin2α
【解析】 eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·sin (α－π)·sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝ eq \f(sin α,cs α)·(－sin α)·cs α＝－sin2α.
14．已知角α的终边经过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))，则sinα＝________， eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan (α－π),sin (α＋π)cs (3π－α))＝________．
【答案】－ eq \f(3,5) eq \f(5,4)
【解析】∵P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))，|OP|＝1，∴sin α＝－ eq \f(3,5). eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan (α－π),sin (α＋π)cs (3π－α))＝ eq \f(cs αtan α,－sin α(－cs α))＝ eq \f(1,cs α)，由三角函数定义知cs α＝ eq \f(4,5)，故所求式子的值为 eq \f(5,4).
15．(2023年海口期末)已知f(α)＝ eq \f(sin (2π＋α)·cs (π－α)·cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),cs (π＋α)·cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α)))＋cs (2π＋α).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝ eq \f(\r(10),5)，求 eq \f(1,sin α)＋ eq \f(1,cs α)的值．
解：(1)f(α)＝ eq \f(sin α·(－cs α)·sin α,－cs α·sin α)＋cs α＝sin α＋cs α.
(2)因为f(α)＝ eq \f(\r(10),5)，所以sin α＋cs α＝ eq \f(\r(10),5)，
两边平方得(sin α＋cs α)2＝ eq \f(2,5)，
所以sin2α＋cs2α＋2sinα·cs α＝ eq \f(2,5)，
所以1＋2sin α·cs α＝ eq \f(2,5)，所以sin α·cs α＝－ eq \f(3,10)，
所以 eq \f(1,sin α)＋ eq \f(1,cs α)＝ eq \f(cs α＋sin α,sin α·cs α)＝ eq \f(\f(\r(10),5),－\f(3,10))＝－ eq \f(2\r(10),3).