人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第二课时一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第二课时一课一练，共5页。试卷主要包含了函数y＝ eq \f的最小值是等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，x∈R在( )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是单调递增B．[0，π]上是单调递减
C．[－π，0]上是单调递减D．[－π，π]上是单调递减
【答案】B
【解析】因为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．
2．(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是单调递减的B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2
【答案】AB
【解析】因为函数y＝sin x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是单调递减的，所以f(x)＝sin 2x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是单调递减的，故A正确；因为f(－x)＝sin 2(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误．
3．(2023年西安期末)三个数cs eq \f(3,2)，sin eq \f(1,10)，－cs eq \f(7,4)的大小关系是( )
A．－cs eq \f(7,4)＜sin eq \f(1,10)＜cs eq \f(3,2)B．sin eq \f(1,10)＜－cs eq \f(7,4)＜sin eq \f(1,10)
C．cs eq \f(3,2)＜sin eq \f(1,10)＜－cs eq \f(7,4)D．－cs eq \f(7,4)＜cs eq \f(3,2)＜sin eq \f(1,10)
【答案】C
【解析】sin eq \f(1,10)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(1,10)))≈cs 1.47，－cs eq \f(7,4)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(7,4)))≈cs 1.39，而y＝cs x在[0，π]上递减，∴cs 1.5＜cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(1,10)))＜cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(7,4)))，即cs eq \f(3,2)＜sin eq \f(1,10)＜－cs eq \f(7,4).
4．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为( )
A．[－1，1]B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，－1))
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，1))D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(5,4)))
【答案】C
【解析】y＝sin2x＋sinx－1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)－ eq \f(5,4).当sin x＝－ eq \f(1,2)时，ymin＝－ eq \f(5,4)；当sin x＝1时，ymax＝1，即y∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，1)).
5．函数y＝ eq \f(2sin x,sin x＋2)的最小值是( )
A．2B．－2
C．1D．－1
【答案】B
【解析】由y＝ eq \f(2sin x,sin x＋2)＝2－ eq \f(4,sin x＋2)，当sin x＝－1时，y＝ eq \f(2sin x,sin x＋2)取得最小值－2.故选B.
6．函数y＝sin2x＋2csx eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)≤x≤\f(4π,3)))的最大值和最小值分别是( )
A． eq \f(7,4)，－ eq \f(1,4)B． eq \f(7,4)，－2
C．2，－ eq \f(1,4)D．2，－2
【答案】B
【解析】因为函数y＝sin2x＋2csx＝1－cs2x＋2csx＝－(cs x－1)2＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)≤x≤\f(4π,3))).又因为cs x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，所以当cs x＝－1，即x＝π时，函数y取得最小值，为－4＋2＝－2；当cs x＝ eq \f(1,2)，即x＝ eq \f(π,3)时，函数y取得最大值，为－ eq \f(1,4)＋2＝ eq \f(7,4).
7．若函数f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上的最大值为 eq \r(2)，则ω的值为( )
A． eq \f(1,4)B． eq \f(1,3)
C． eq \f(2,3)D． eq \f(3,4)
【答案】D
【解析】由题意可知f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上为增函数且2sin eq \f(π,3)ω＝ eq \r(2)，所以 eq \f(π,3)ω＝2kπ＋ eq \f(π,4)，即ω＝6k＋ eq \f(3,4)，k∈Z.因为0＜ω＜1，所以ω＝ eq \f(3,4).
8．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为________．
【答案】[0，2]
【解析】∵y＝|sin x|＋sin x＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2sin x，sin x≥0，,0，sin x＜0.))又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2].
9．函数f(x)＝ eq \f(1,3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))，x∈[0，π]的单调递增区间为________，单调递减区间为________.
【答案】 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))
【解析】f(x)＝－ eq \f(1,3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，令－ eq \f(π,2)＋2kπ≤x－ eq \f(π,4)≤ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则当－ eq \f(π,4)＋2kπ≤x≤ eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z时，f(x)单调递减．又因为0≤x≤π，所以f(x)的单调递减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，同理，f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
10．求函数y＝3－4cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))的最大值、最小值及相应的x的值．
解：因为x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，所以2x＋ eq \f(π,3)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，
从而－ eq \f(1,2)≤cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))≤1.
所以当cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝1，即2x＋ eq \f(π,3)＝0，x＝－ eq \f(π,6)时，ymin＝3－4＝－1；
当cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－ eq \f(1,2)，即2x＋ eq \f(π,3)＝ eq \f(2π,3)，x＝ eq \f(π,6)时，ymax＝3－4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝5.
综上所述，当x＝－ eq \f(π,6)时，ymin＝－1；当x＝ eq \f(π,6)时，ymax＝5.
B级——能力提升练
11．已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，则b－a的最大值与最小值之和为( )
A．4π B． eq \f(8π,3)
C．2π D． eq \f(4π,3)
【答案】C
【解析】由题意知，当该正弦函数的定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,6)＋2kπ))(k∈Z)时，b－a取得最小值 eq \f(2π,3)；当该正弦函数的定义域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋2kπ，\f(13π,6)＋2kπ))(k∈Z)时，b－a取得最大值 eq \f(4π,3).所以b－a的最大值与最小值之和为 eq \f(4π,3)＋ eq \f(2π,3)＝2π.故选C.
12．(多选)已知函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)图象关于直线x＝ eq \f(π,8)对称
C．函数f(x)图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，0))对称
D．函数f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))上是单调递增
【答案】AD
【解析】f(x)的最小正周期为 eq \f(2π,2)＝π，A正确；由于f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝0，所以函数f(x)图象不关于直线x＝ eq \f(π,8)对称，B错误；当x＝ eq \f(3π,8)时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝1，C错误；当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))时，－ eq \f(π,2)≤2x－ eq \f(π,4)≤ eq \f(π,2)，所以f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))上是单调递增的，故D正确．故选AD.
13．若函数y＝a－b cs x(b＞0)的最大值为 eq \f(3,2)，最小值为－ eq \f(1,2)，则a＝________，函数y＝－4a cs bx的最大值为________．
【答案】 eq \f(1,2) 2
【解析】∵y＝a－b cs x(b＞0)，∴ymax＝a＋b＝ eq \f(3,2)，ymin＝a－b＝－ eq \f(1,2).由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝\f(3,2)，,a－b＝－\f(1,2)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝1.))∴y＝－4a cs bx＝－2cs x，∴函数y＝－4a cs bx的最大值为2.
14．已知函数f(x)＝2cs ωx(ω＞0)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调，则ω的取值范围为________.
【答案】(0，3]
【解析】因为函数f(x)＝2cs ωx(ω＞0)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调，由0≤ωx≤π，得f(x)的减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,ω)))，所以 eq \f(π,3)≤ eq \f(π,ω)，则0＜ω≤3.所以ω的取值范围为(0，3].
15．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.
(1)若f(x)≤ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))))对x∈R恒成立，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＞f(π)，求φ的值；
(2)在(1)的基础上，探究f(x)的单调递增区间；
(3)我们知道正弦函数是奇函数，f(x)＝sin (2x＋φ)是奇函数吗？若它是奇函数，探究φ满足的条件；存在φ使f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数吗？若存在，写出φ满足的条件．(只写结论，不写推理过程)
解：(1)由f(x)≤ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))))对x∈R恒成立知2× eq \f(π,6)＋φ＝2kπ± eq \f(π,2)(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋ eq \f(π,6)或φ＝2kπ－ eq \f(5π,6)(k∈Z).
∵|φ|＜π，∴φ＝ eq \f(π,6)或φ＝－ eq \f(5π,6)，
又∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＞f(π)，∴φ＝－ eq \f(5π,6).
(2)由(1)知f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,6))).
令2kπ－ eq \f(π,2)≤2x－ eq \f(5π,6)≤2kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，
得f(x)的单调递增区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z).
(3)f(x)＝sin (2x＋φ)不一定是奇函数，
若f(x)＝sin (2x＋φ)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z).
存在φ使f(x)＝sin (2x＋φ)是偶函数，此时φ＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z).