新教材2024版高中数学第五章三角函数5.6函数y=Asinωx+φ第一课时函数y＝Asinωx+φ的图象及变换课后提能训练新人教A版必修第一册

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第五章　5.6　第1课时A级——基础过关练1．(2023年阳信期末)将函数f(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象向左平移 eq \f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　)A．g(x)＝sin 2x B．g(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))C．g(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．g(x)＝－cos 2x【答案】C　【解析】函数f(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象向左平移 eq \f(π,6)个单位长度后，得到函数g(x)＝sin  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).故选C.2．(2023年西安期末)为了得到函数y＝sin 3x的图象，只要把函数y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,7)))的图象(　　)A．向左平移 eq \f(π,21)个单位长度 B．向右平移 eq \f(π,21)个单位长度C．向左平移 eq \f(π,7)个单位长度 D．向右平移 eq \f(π,7)个单位长度【答案】A　【解析】因为y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,7)))＝sin 3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,21)))，所以只需把函数y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,7)))的图象向左平移 eq \f(π,21)个单位长度，就可以得到函数y＝sin 3x的图象．故选A.3．为了得到函数y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))的图象，需将函数y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图象(　　)A．纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变B．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变C．横坐标变为原来的 eq \f(1,3)，纵坐标不变D．纵坐标变为原来的 eq \f(1,3)，横坐标不变【答案】C　【解析】只需将函数y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图象上所有点的横坐标变为原来的 eq \f(1,3)，纵坐标不变，便得到函数y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))的图象．4．已知函数f(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))，为了得到g(x)＝sin 3x的图象，只需将f(x)的图象(　　)A．向右平移 eq \f(π,4)个单位长度 B．向左平移 eq \f(π,4)个单位长度C．向右平移 eq \f(π,12)个单位长度 D．向左平移 eq \f(π,12)个单位长度【答案】C　【解析】将f(x)图象向右平移 eq \f(π,12)个单位长度，得y＝sin  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＋\f(π,4)))＝sin 3x＝g(x)的图象．故选C.5．函数y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象可由y＝cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象如何得到(　　)A．向左平移 eq \f(5π,24)个单位长度 B．向右平移 eq \f(π,12)个单位长度C．向左平移 eq \f(π,12)个单位长度 D．向右平移 eq \f(5π,24)个单位长度【答案】D　【解析】y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝cos  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))))＝cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,6)))＝cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)－\f(π,4)＋\f(π,4)))＝cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,12)＋\f(π,4)))＝cos  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,24)))＋\f(π,4)))，即y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象可由y＝cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象向右平移 eq \f(5π,24)个单位长度得到．故选D.6．将曲线y＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,5)))上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的一条对称轴方程为(　　)A．x＝ eq \f(3π,80)　　　　 B．x＝－ eq \f(3π,80)C．x＝ eq \f(3π,20) D．x＝－ eq \f(3π,20)【答案】C　【解析】将曲线y＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,5)))上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,5)))的图象．再令2x＋ eq \f(π,5)＝kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，求得x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(3π,20)，k∈Z.故得到的曲线的一条对称轴方程为x＝ eq \f(3π,20).故选C.7．(多选)(2023年西安碑林区期末)已知函数f(x)＝3sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1(x∈R)的图象向右平移 eq \f(π,12)个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法错误的是(　　)A．最大值为3 B．最小正周期为2πC．为奇函数 D．图象关于y轴对称【答案】ABC　【解析】由已知，g(x)＝3sin  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))－\f(π,3)))＋1＝3sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＋1＝－3cos 2x＋1，函数g(x)的最大值为4，A错误；函数g(x)的最小正周期为π，B错误；函数g(x)为偶函数，C错误；函数g(x)图象关于y轴对称，D正确．故选BC.8．将y＝sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,3)个单位长度，得到的曲线对应的解析式为__________．【答案】y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))　【解析】y＝sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,3)个单位长度，得y＝sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))的图象．9．函数y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))的图象可以由函数y＝cos  eq \f(x,2)的图象向________平移________个单位长度得到．【答案】右　 eq \f(π,2)　【解析】由于y＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＝cos  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))))＝cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＝cos  eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，可得把y＝cos  eq \f(x,2)的图象向右平移 eq \f(π,2)个单位长度得到y＝cos  eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))的图象．10．已知函数f(x)＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1.(1)用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象(完成横、纵坐标列表)；(2)写出函数y＝f(x)图象的对称中心坐标及对称轴的方程．解：(1)列表如下．描点、连线、作图(略).(2)函数y＝f(x)图象的对称中心的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，1))，k∈Z，对称轴方程为x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,6)，k∈Z.B级——能力提升练11．若先将函数y＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移 eq \f(π,6)个单位长度，再保持图象上所有点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，则g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝(　　)A．1　　 B．－ eq \r(3)　 C． eq \r(3)　　 D． eq \r(2)【答案】C　【解析】将函数y＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移 eq \f(π,6)个单位长度，得图象的解析式为y＝2sin  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))的图象，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得g(x)＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,3)))，则g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋\f(2π,3)))＝2sin  eq \f(π,3)＝ eq \r(3).故选C.12．(多选)将函数f(x)＝ eq \r(3)cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－1的图象向左平移 eq \f(π,3)个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质(　　)A．最大值为 eq \r(3)，图象关于直线x＝－ eq \f(π,3)对称B．图象关于y轴对称C．最小正周期为πD．图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))对称【答案】BCD　【解析】将函数f(x)＝ eq \r(3)cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－1的图象向左平移 eq \f(π,3)个单位长度，得到y＝ eq \r(3)cos  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋\f(π,3)))－1＝ eq \r(3)cos (2x＋π)－1＝－ eq \r(3)cos 2x－1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－ eq \r(3)cos 2x 的图象．对于g(x)，其最大值为 eq \r(3)，由于当x＝－ eq \f(π,3)时，g(x)＝ eq \f(\r(3),2)，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x＝－ eq \f(π,3)对称，故A错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；它的最小正周期为 eq \f(2π,2)＝π，故C正确；当x＝ eq \f(π,4)时，g(x)＝0，故函数的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))对称，故D正确．故选BCD.13．(2023年北京东城区期末)已知函数f(x)＝ eq \r(3)sin x－cos x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝________；若将f(x)的图象向右平行移动 eq \f(π,6)个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)的一个对称中心为________．【答案】1　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))(答案不唯一)　【解析】∵函数f(x)＝ eq \r(3)sin x－cos x＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2sin  eq \f(π,6)＝1.将f(x)的图象向右平行移动 eq \f(π,6)个单位长度得到g(x)＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象，令x－ eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，可得则g(x)的对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，0))，k∈Z，则g(x)的一个对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0)).14．(2023年柳州期末)设f(x)＝sin (2x＋φ)，φ∈[0，π)，将函数f(x)的图象左平移 eq \f(π,6)个单位长度得到g(x)的图象，若对任意x∈R，都有g(－x)＝g(x)，则φ＝________．【答案】 eq \f(π,6)　【解析】由题意知，g(x)＝sin  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ)).因为对任意x∈R，都有g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，所以 eq \f(π,3)＋φ＝ eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，即φ＝ eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z.又φ∈[0，π)，所以φ＝ eq \f(π,6).15．已知函数f(x)＝3sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，x∈R.(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(9π,2)))上的简图．(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移 eq \f(π,2)个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 eq \f(1,3)(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式．解：(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图．(2)将f(x)＝3sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))图象上所有点向左平移 eq \f(π,2)个单位长度得到f1(x)＝3sin  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－\f(π,4)))＝3sin  eq \f(1,2)x的图象；把f1(x)＝3sin  eq \f(1,2)x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sin  eq \f(1,4)x的图象；把f2(x)＝3sin  eq \f(1,4)x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 eq \f(1,3)(横坐标不变)得到g(x)＝sin  eq \f(1,4)x的图象．所以g(x)的解析式g(x)＝sin  eq \f(1,4)x.2x＋ eq \f(π,6)0 eq \f(π,2)π eq \f(3π,2)2πx－ eq \f(π,12) eq \f(π,6) eq \f(5π,12) eq \f(2π,3) eq \f(11π,12)f(x)131－11 eq \f(1,2)x－ eq \f(π,4)0 eq \f(π,2)π eq \f(3π,2)2πx eq \f(π,2) eq \f(3π,2) eq \f(5π,2) eq \f(7π,2) eq \f(9π,2)f(x)030－30