数学必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用同步训练题

这是一份数学必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用同步训练题，共7页。
1．简谐运动y＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(π,3)))的相位与初相是( )
A．5x－ eq \f(π,3)， eq \f(π,3)B．5x－ eq \f(π,3)，4
C．5x－ eq \f(π,3)，－ eq \f(π,3)D．4， eq \f(π,3)
【答案】C
【解析】相位是5x－ eq \f(π,3)，当x＝0时的相位为初相，即－ eq \f(π,3).
2．最大值为 eq \f(1,2)，最小正周期为 eq \f(2π,3)，初相为 eq \f(π,6)的函数表达式是( )
A．y＝ eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6)))B．y＝ eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(π,6)))
C．y＝ eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))D．y＝ eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))
【答案】D
【解析】由最小正周期为 eq \f(2π,3)，排除A，B；由初相为 eq \f(π,6)，排除C.
3．(2023年太原期末)简谐运动可用函数f(x)＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8x－\f(π,9)))，x∈[0，＋∞)表示，则这个简谐运动的初相为( )
A． eq \f(π,9)B．－ eq \f(π,9)
C．8x－ eq \f(π,9)D．8x
【答案】B
【解析】当x＝0时，8×0－ eq \f(π,9)＝－ eq \f(π,9)，则这个简谐运动的初相为－ eq \f(π,9).故选B.
4．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin eq \f(πx,2)的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A．5B．6
C．7D．8
【答案】C
【解析】由y＝－sin eq \f(πx,2)的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－ eq \f(T,4)＝ eq \f(7T,4)，即t≥ eq \f(7,4)· eq \f(2π,|ω|)＝ eq \f(7,4)· eq \f(2π,\f(π,2))＝7.故选C.
5．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝ eq \f(5π,12)，A＝5B．ω＝ eq \f(2π,15)，A＝3
C．ω＝ eq \f(5π,12)，A＝3D．ω＝ eq \f(15,2π)，A＝5
【答案】B
【解析】因为水轮的半径为3，水轮圆心O距离水面2米，A＝3，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，所以T＝15＝ eq \f(2π,ω)，所以ω＝ eq \f(2π,15).
6．(2023年杭州期末)如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定：h＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π).已知当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在t＝0秒时h的值为( )
A．－2B．2
C．－ eq \r(3)D． eq \r(3)
【答案】D
【解析】因为当t＝2时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故 eq \f(π,6)×2＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝ eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.又φ∈(－π，π)，故φ＝ eq \f(2π,3)，故h＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(2π,3)))，故当t＝0时，h＝2sin eq \f(2π,3)＝ eq \r(3).故选D.
7．(多选)下图是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
【答案】ABD
【解析】由图可得半个周期为0.4 s，所以周期为0.8 s，A正确；平衡位置为x轴，最低点纵坐标是－5，故振幅为5 cm，B正确；当质点位于最高点或最低点时速度为零，故C错误，D正确．
8．简谐运动y＝－3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))(x≥0)的频率为________．
【答案】 eq \f(1,π)
【解析】由诱导公式可知y＝－3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，故频率为 eq \f(ω,2π)＝ eq \f(1,π).
9．已知某种交流电电流I(单位：A)随时间t(单位：s)的变化规律可以用函数I＝5 eq \r(2)·sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行______次．
【答案】25
【解析】∵周期T＝ eq \f(2π,100π)＝ eq \f(1,50)(s)，∴频率为每秒50次，∴0.5 s往复运行25次．
10．如果某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)观察图象知8～14时这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象可知， eq \f(1,2)T＝14－8＝6，所以T＝12，所以ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(π,6).b＝ eq \f(1,2)×(50＋30)＝40，A＝ eq \f(1,2)×(50－30)＝10，
所以y＝10sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝ eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z).
又因为|φ|＜ eq \f(π,2)，所以φ＝ eq \f(π,6).
所以所求解析式为y＝10sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))＋40，x∈[8，14].
B级——能力提升练
11．已知简谐振动的振幅是 eq \f(3,2)，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))，则该简谐振动的频率和初相是( )
A． eq \f(1,6)， eq \f(π,6) B． eq \f(1,8)， eq \f(π,3)
C． eq \f(1,8)， eq \f(π,6) D． eq \f(1,6)， eq \f(π,3)
【答案】C
【解析】由题意可知，A＝ eq \f(3,2)，32＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T,2))) eq \s\up12(2)＝52，则T＝8，ω＝ eq \f(2π,8)＝ eq \f(π,4)，y＝ eq \f(3,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ)).由 eq \f(3,2)sin φ＝ eq \f(3,4)，得sin φ＝ eq \f(1,2).因为|φ|＜ eq \f(π,2)，所以φ＝ eq \f(π,6).因此频率是 eq \f(1,8)，初相为 eq \f(π,6).
12．(多选)交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220 eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))来表示，则下列说法中正确的是( )
A．开始时电压为110 eq \r(2)伏
B．电压值重复出现一次的时间间隔为0.02秒
C．电压的最大值为220 eq \r(2)伏
D．第一次获得最大值的时间为 eq \f(1,300)秒
【答案】ABCD
【解析】当t＝0时，E＝110 eq \r(2)伏，即开始时的电压为110 eq \r(2)伏，A正确；T＝ eq \f(2π,100π)＝ eq \f(1,50)(秒)，即时间间隔为0.02秒，B正确；电压的最大值为220 eq \r(2)伏，C正确；当100πt＋ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)，即t＝ eq \f(1,300)秒时，第一次取得最大值，D正确．
13．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移s和时间t的函数关系式为s＝6sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，则单摆的运动周期为________，最大位移是________．
【答案】1 6
【解析】T＝ eq \f(2π,2π)＝1，最大位移为振幅6.
14．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500·sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是________元．
【答案】9 000
【解析】因为y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin (ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin (2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取 eq \f(3π,2)，φ可取π，即y＝500sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)x＋π))＋9 500.当x＝3时，y＝9 000.
15．(2023年西安期末)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面100 m，最低点距离地面10 m，摩天轮上均匀设置了依次标号为1～36号的36个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要30 min.
(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在1号和7号座舱里，在转动一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．
解：(1)根据题意设H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(0≤t≤30)，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为100 m，最低点距离地面10 m，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋B＝100，,－A＋B＝10，))解得A＝45，B＝55，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30 min，
所以T＝ eq \f(2π,ω)＝30，解得ω＝ eq \f(π,15)，
因为t＝0时，H(0)＝10，所以10＝45sin φ＋55，即sin φ＝－1，解得φ＝－ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
所以H(t)＝45sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,15)t－\f(π,2)))＋55，t∈[0，30].
(2)因为甲、乙两人分别坐在1号和7号座舱里，设甲、乙两人对应的位置分别为B，A，如图所示．
则∠AOB＝ eq \f(2π,36)×(7－1)＝ eq \f(π,3)，经过t min后甲距离地面的高度为H1＝45sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,15)t－\f(π,2)))＋55，点A始终落后B点 eq \f(π,3) rad，
所以乙距离地面的高度为H2＝45sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,15)t－\f(5π,6)))＋55，
所以两人距离地面的高度差为h＝|H1－H2|＝45 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,15)t－\f(π,2)))－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,15)t－\f(5π,6)))))
＝45 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,15)t－\f(π,2)))＋sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－\f(π,15)t))))
＝45 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin \f(π,15) t－\f(1,2)cs \f(π,15)t))
＝45 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,15)t－\f(π,6)))))，t∈[0，30]，
当 eq \f(π,15)t－ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)或 eq \f(π,15)t－ eq \f(π,6)＝ eq \f(3π,2)，即t＝10或t＝25时，h取得最大值为45 m.
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为45 m．
x
1
2
3
y
10 000
9 500
？