2022-2023学年贵州省安顺市关岭县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年贵州省安顺市关岭县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列关于x的方程是分式方程的是( )
A. 2+x5=3+x6B. x2−3=x3C. x−17+x=3D. 35x=1
2.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. a+2a2=3a3B. a3⋅a2=a6C. (a3)2=a6D. (−2a)2=−4a2
4.目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2nm(其中1nm=10−9m)，用科学记数法表示这个最小刻度(单位：m)，结果是( )
A. 2×10−8mB. 2×10−9mC. 2×10−10mD. 2×10−11m
5.将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是( )
A. 360°B. 540°
C. 360°或540°D. 360°或540°或720°
6.如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是( )
A. ∠B=∠C
B. BE=CD
C. AD=AE
D. BD=CE
7.若关于x的方程22−x+x+mx−2=2有增根，则m的取值是( )
A. 0B. 2C. −2D. 1
8.等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长( )
A. 17B. 22C. 17或22D. 21
9.把(x−y)2−(y−x)分解因式的结果为( )
A. (x−y)(x−y−1)B. (y−x)(x−y−1)
C. (y−x)(y−x−1)D. (y−x)(y+x+1)
10.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外面时，此时测得∠1=112°，∠A=40°，则∠2的度数为( )
A. 32°
B. 33°
C. 34°
D. 38°
11.随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为( )
A. 8x+15=82.5xB. 8x=82.5x+15C. 8x+14=82.5xD. 8x=82.5x+14
12.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，我们把点P1(−y+1,x+1)叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，若点A1的坐标为(3,1)，则点A2015的坐标为( )
A. (0,4)B. (−3,1)C. (0,−2)D. (3,1)
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.因式分解：x2y−9y=______．
14.若2m=10，2n=3，则2m+2n=______．
15.如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是______．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,5)，B(2,0)，在第一象限内的点C，使△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
因式分解
(1)x3−16x；
(2)4xy2−4x2y−y3
18.(本小题10分)
解下列分式方程：
(1)3x−1=2x−1+1；
(2)5x−2−3x2−4=12−x．
19.(本小题10分)
先化简，再求值：b2a2−ab÷(a2−b2a2−2ab+b2+ab−a)，其中a=(2022−π)0，b=13．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，其中A(−5,2)，B(−2,5)，C(2,−2)．
(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1，C1的坐标；
(2)连接OA，OB，计算△AOB的面积．
21.(本小题10分)
请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和(只需表示，不必化简)
(2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
(3)如果图中的a，b(a>b)满足a2+b2=53，ab=14．
求：①a+b的值；
②a2−b2的值．
22.(本小题12分)
某单位为响应政府号召，准备购买A、B两种型号的分类垃圾桶．购买时发现，A种型号的单价比B种型号的单价少50元，用2000元购买A种垃圾桶的个数与用2200元购买B种垃圾桶的个数相同．
(1)求A，B两种型号垃圾桶的单价各是多少元？
(2)若单位需要购买分类垃圾桶6个，总费用不超过3100元，求出所有不同的购买方式．
23.(本小题12分)
如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE，CD相交于点O．
(1)求证：BE=DC；
(2)求∠BOC的度数．
24.(本小题12分)
如图，AB=AE，∠C=∠D，BC=DE，点F是CD的中点，求证：AF平分∠BAE．
25.(本小题14分)
数学兴趣活动课上，小明将等腰△ABC的底边BC与直线1重合，问：
(1)已知AB=AC=6，∠BAC=120°，点P在BC边所在的直线l上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小明发现AP的最小值是______；
(2)为进一步运用该结论，小明发现当AP最短时，在Rt△ABP中，∠P=90°，作了AD平分∠BAP，交BP于点D，点E、F分别是AD、AP边上的动点，连接PE、EF，小明尝试探索PE+EF的最小值，为转化EF，小明在AB上截取AN，使得AN=AF，连接NE，易证△AEF≌△AEN，从而将PE+EF转化为PE+EN，转化到(1)的情况，若BP=3 3，AB=6，AP=3，则PE+EF的最小值为______；
(3)请应用以上转化思想解决问题(3)，在直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=10，点D是CD边上的动点，连接AD，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，求线段CP的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意；
选项C，是分式方程，符合题意；
故选：C．
由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．
本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：选项C不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A、B、D能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合．
3.【答案】C
【解析】解：A、a与2a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a3⋅a2=a5，故B不符合题意；
C、(a3)2=a6，故C符合题意；
D、(−2a)2=4a2，故D不符合题意；
故选：C．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0(包括小数点前面的0)的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0(包括小数点前面的0)的个数所决定．
【解答】
解：0.2nm=0.2×10−9m=2×10−10m.
故选：C．
5.【答案】D
【解析】解：将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是4或5或6，
∴得到的多边形的内角和是360°或540°或720°，
故选：D．
根据n边形的内角和公式(n−2)⋅180°求解即可．
本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添加AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BD=CE，可证明AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
故选：B．
欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7.【答案】A
【解析】解：当x−2=0时，x=2，
将分式方程22−x+x+mx−2=2两边乘以(x−2)得：
−2+x+m=2(x−2)，
把x=2代入得：
−2+2+m=2(2−2)，
∴m=0，
故选：A．
由x−2=0得：x=2，将分式方程22−x+x+mx−2=2两边乘以(x−2)去分母化为整式方程后，把x=2代入即可求出m的值．
本题考查了分式方程的增根，正确把分式方程化为整式方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：9为腰长时，三角形的周长为9+9+4=22，
9为底边长时，4+4<9，不能组成三角形，
故选：B．
分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题关键，又利用了三角形三边的关系：两边之和大于第三边．
9.【答案】C
【解析】解：原式=(y−x)2−(y−x)
=(y−x)[(y−x)−1]
=(y−x)(y−x−1)．
故选：C．
原式变形后，提取公因式即可．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，设A′D与AD交于点O，
∵∠A=40°，
∴∠A′=∠A=40°，
∵∠1=∠DOA+∠A，∠1=112°，
∴∠DOA=∠1−∠A=112°−40°=72°，
∵∠DOA=∠2+∠A′，
∴∠2=∠DOA−∠A′=72°−40°=32°．
故选：A．
根据折叠性质得出∠A′=∠A=40°，根据三角形外角性质得出∠DOA=∠1−∠A=72°，∠2=∠DOA−∠A′=72°−40°=32°．
本题考查了三角形内角和定理，熟记掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：
8x=82.5x+14，
故选：D．
根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题．
12.【答案】B
【解析】解：观察，发现规律：A1(3,1)，A2(0,4)，A3(−3,1)，A4(0,−2)，A5(3,1)，…，
∴A4n+1(3,1)，A4n+2(0,4)，A4n+3(−3,1)，A4n+4(0,−2)(n为自然数)．
∵2015=4×503+3，
∴点A2015的坐标为(−3,1)．
故选：B．
根据伴随点的定义，罗列出部分点A的坐标，根据点A的变化找出规律“A4n+1(3,1)，A4n+2(0,4)，A4n+3(−3,1)，A4n+4(0,−2)(n为自然数)”，根据此规律即可解决问题．
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是发现规律“A4n+1(3,1)，A4n+2(0,4)，A4n+3(−3,1)，A4n+4(0,−2)(n为自然数)”.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，罗列出部分点的坐标，根据点的坐标的变化发现规律是关键．
13.【答案】y(x+3)(x−3)
【解析】【分析】
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：x2y−9y，
=y(x2−9)，
=y(x+3)(x−3)．
故答案为y(x+3)(x−3)．
14.【答案】90
【解析】解：∵2m=10，2n=3，
∴2m+2n
=2m⋅22n
=2m⋅(2n)2
=10×32
=90，
故答案为：90．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
15.【答案】63971M
【解析】解：根据镜面反射对称性质，可知图中所示车牌号应为63971M．
故答案为：63971M．
此题考查镜面反射的性质与实际应用的结合．
本题主要考查了镜面对称，镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
16.【答案】(7,2)或(5,7)或(72,72)
【解析】解：如图①，当∠ABC=90°，AB=BC时，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠CDB=∠AOB=90°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠OAB=∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
∠AOB=∠BDC∠OAB=∠CBDAB=BC，
∴△AOB≌△BDC(AAS)，
∴BD=OA=5，CD=OB=2，
∴OD=OB+BD=7，
∴点C的坐标为(7,2)；
如图②，当∠BAC=90°，AB=AC时，
过点C作CD⊥y轴于点D，
同理可证得：△OAB≌△DCA，
∴AD=OB=2，CD=OA=5，
∴OA=OA+AD=7，
∴点C的坐标为(5,7)；
如图③，当∠ACB=90°，AC=BC时，
过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E．
∵∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠BCEAC=BC，
∴△ACD≌△BCE(AAS)，
∴CD=CE=OE，AD=BE，
∵OA=OD+AD，OB=OE−BE，
∴5=CE+BE，2=CE−BE，
∴CE=72，BE=32，
∴点C的坐标为(72,72)；
综上可得：点C的坐标为：(7,2)或(5,7)或(72,72).
故答案为：(7,2)或(5,7)或(72,72).
分别从当∠ABC=90°，AB=BC时，当∠BAC=90°，AB=AC时与当∠ACB=90°，AC=BC时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：(1)x3−16x
=x(x2−16)
=x(x−4)(x+4)；
(2)4xy2−4x2y−y3
=−y(4x2−4xy+y2)
=−y(2x−y)2．
【解析】(1)此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．
(2)此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
18.【答案】解：(1)去分母得：3=2+x−1，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解；
(2)去分母得：5x+10−3=−x−2，
解得：x=−1.5，
经检验x=−1.5是分式方程的解．
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19.【答案】解：原式=b2a(a−b)÷[(a+b)(a−b)(a−b)2−aa−b]
=b2a(a−b)÷(a+ba−b−aa−b)
=b2a(a−b)÷ba−b
=b2a(a−b)⋅a−bb
=ba，
∵a=(2022−π)0=1，b=13，
∴原式=13．
【解析】根据分式的除法法则、约分法则把原式化简，根据零指数幂求出a，把a、b的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、零指数幂的运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

点B1(−2,−5)，C1(2,2)．
(2)△AOB的面积为12×(3+5)×5−12×3×3−12×2×5=212．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
(2)利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图−轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2(a+b)2−2ab，
(2)a2+b2=(a+b)2−2ab，
(3)①∵a2+b2=53，ab=14，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=53+2×14=81，
∴a+b=±9，
又∵a>0，b>0，
∴a+b=9．
②∵(a−b)2=a2+b2−2ab=53−2×14=25
∴a−b=±5
又∵a>b>0，
∴a−b=5
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=9×5=45．
【解析】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，由面积的关系结合平方差公式解题是关键．
(1)由图形面积的整体和部分求和角度两方面求法，可得此题结果
(2)由(1)易得结论；
(3)①(a+b)2由已知可得：=a2+b2+2ab=53+2×14=81，再结合a、b的范围即可求解；②(a−b)2=a2+b2−2ab=53−2×14=25a−b=5再结合a、b的范围即可．
22.【答案】解：(1)设A种型号垃圾桶的单价为x元，则B种型号垃圾桶的单价为(x+50)元，
由题意得：2000x=2200x+50，
解得：x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
则x+50=550，
答：A种型号垃圾桶的单价为500元，则B种型号垃圾桶的单价为550元；
(2)设购买A种型号的垃圾桶m个，则购买B种型号的垃圾桶为(6−m)个，
由题意得：500m+550(6−m)≤3100m≥06−m≥0
解得：4≤m≤6，
∵m为非负整数，
∴当m=4时，6−m=2；
当m=5时，6−m=1；
当m=6时，6−m=0；
∴共有3种购买方式：
①购买A种型号的垃圾桶4个，B种型号的垃圾桶2个；
②购买A种型号的垃圾桶5个，B种型号的垃圾桶1个；
③购买A种型号的垃圾桶6个，B种型号的垃圾桶0个．
【解析】(1)设A种型号垃圾桶的单价为x元，则B种型号垃圾桶的单价为(x+50)元，由题意：用2000元购买A种垃圾桶的个数与用2200元购买B种垃圾桶的个数相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买A种型号的垃圾桶m个，则购买B种型号的垃圾桶为(6−m)个，由题意：总费用不超过3100元，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(1)证明：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠ABD=∠ADB=∠CAE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴CD=BE．
(2)解：∵DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠BOC=∠ODB+∠DBA+∠ABE
=∠ODB+60°+∠ADC
=60°+(∠ODB+∠ADC)
=60°+60°=120°，
∴∠BOC=120°．
【解析】(1)欲证明CD=BE，只要证明△DAC≌△BAE(SAS)即可；
(2)由条件可证明△ADC≌△ABE，可证得∠ADC=∠ABE，根据三角形外角的性质∠BOC=∠ODB+∠DBA+∠ABE进行分析即可．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边相等、对应角相等)是解题的关键．
24.【答案】证明：如图，连接BF、EF，

∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
在△BCF和△EDF中，
BC=ED∠C=∠DCF=DF，
∴△BCF≌△EDF(SAS)，
∴BF=EF，
在△ABF和△AEF中，
AB=AEBF=EFAF=AF，
∴△ABF≌△AEF(SSS)，
∴∠BAF=∠EAF，
∴AF平分∠BAE．
【解析】连接BF、EF，利用SAS证明△BCF≌△EDF，然后证明△ABF≌△AEF，即可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，解决本题的关键是得到△BCF≌△EDF．
25.【答案】(1)3
(2) 3 32
(3)如图3中，在AB上取一点K，使得AK=AC，连接CK，DK．
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAK=60°，
∴∠PAD=∠CAK，
∴∠PAC=∠DAK，
∵PA=DA，CA=KA，
∴△PAC≌△DAK(SAS)，
∴PC=DK，
∵KD⊥BC时，KD的值最小，最小值为5，
∴PC的最小值为5．
【解析】解：(1)如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB=AC=6，AH⊥BC，
∴∠BAH=∠CAH=12∠BAC=60°，
∴AH=AB⋅cs60°=3，
根据垂线段最短可知，当AP与AH重合时，PA的值最小，最小值为3．
故答案为3．
(2)如图2中，在AB上截取AN，使得AN=AF，连接NE.作PH⊥AB于H．
∵∠EAN=∠EAF，AN=AF，AE=AE，
∴△EAN≌△EAF(SAS)，
∴EN=EF，
∴PE+EF=PE+NE，
∴当P，E，N共线且与PH重合时，PE+PF的值最小，最小值为线段PH的长，
∵12⋅AB⋅PH=12⋅PA⋅PB，
∴PH=3×3 36=3 32，
∴PE+EF的最小值为3 32．
故答案为3 32．
(3)如图3中，在AB上取一点K，使得AK=AC，连接CK，DK.由△PAC≌△DAK(SAS)，推出PC=DK，易知KD⊥BC时，KD的值最小，求出KD的最小值即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．