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    高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义课文ppt课件

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    这是一份高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义课文ppt课件,共46页。PPT课件主要包含了自学导引,P0T,瞬时速度,f′x,课堂互动,素养训练等内容,欢迎下载使用。

    如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限______于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个________的位置,这个确定位置的直线________称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
    【预习自测】判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)曲线y=f(x)上的每一点都有切线.(  )(2)直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点.(  )【答案】(1)× (2)×
    (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0,即k0=____________________=f′(x0).(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的________,物理意义是运动物体在x0时刻的___________.
    【预习自测】如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么(  )A.f′(x0)>0B.f′(x0)<0C.f′(x0)=0D.f′(x0)不存在【答案】B
    (3)“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,不是变数,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f′(x0)是其导数y=f′(x)在x=x0处的一个函数值.(4)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
    【预习自测】设函数f(x)=ax+3,若f′(1)=3,则a=________.【答案】3
    【解题探究】根据导数的几何意义求切线的斜率即可.
    题型1 求曲线在某点处的切线方程
    求曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线方程的步骤(1)求函数y=f(x)在x=x0处的导数,即求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;(2)用点斜式写出切线方程y=f′(x0)(x-x0)+f(x0);(3)把求得的点斜式方程变形为一般式.
    求过点(-1,0)与曲线y=x2+x+1相切的直线方程.
    题型2 求曲线过某点的切线方程
    过(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0.故所求切线方程为x-y+1=0或3x+y+3=0.【解题探究】设出切点坐标,利用导数的几何意义求出直线的斜率,写出切线方程.
    求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线方程的步骤(1)设切点为A(xA,f(xA)),求切线的斜率k=f′(xA),写出切线方程(含参);(2)把点P(x0,y0)的坐标代入切线方程,建立关于xA的方程,解得xA的值,进而求出切线方程.
    2.(2023年哈尔滨期末)已知函数f(x)=x2-5x+7,求经过点A(1,2)的曲线f(x)的切线方程.
    (1)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是下图中的(  )
    题型3 利用图象理解导数的几何意义
    (2)已知函数y=f(x),y=g(x) 的导函数的图象如图所示,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是(  )
    【答案】(1)A (2)D【解析】(1)由导数的几何意义知,导函数递增,则说明函数切线斜率随x增大而变大.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同,可以排除B,C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数的斜率慢慢变小,排除A.
    导数与函数图象升降的关系若函数y=f(x)在x=x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是上升的;若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.
    3.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是(  )A.0 已知曲线y=x2在点P处的切线分别满足下列条件,求点P的坐标.(1)平行于直线y=4x-5;(2)与x轴成135°的倾斜角.
    【解题探究】设切点坐标,根据导数的几何意义求切线斜率,然后利用条件(平行、倾斜角)求切点坐标.
    求切点坐标的步骤(1)设出切点坐标;(2)利用导数或斜率公式求出斜率;(3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标;(4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标.
    4.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,则a的值为__________,切点坐标为____________.
    求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程.
    易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
    【错因】本题中原点在函数的图象上,误认为原点就是切点,混淆了“过原点的切线”与“在原点处的切线”的区别,导致解题失误.求曲线的切线时,注意区分“求曲线y=f(x)上过点M的切线”与“求曲线y=f(x)上在点M处的切线”,前者只要求切线过M点,M点未必是切点,因此求解时应先设出切点坐标;而后者则很明确,切点就是M点.
    1.导数的意义:函数在一点处的导数的几何意义:曲线在这一点的切线的斜率.
    2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,不是变量,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又密切相关.f′(x0)是导函数y=f′(x)在x=x0处的一个函数值,求函数在一点处的导数,一般先求出函数的导函数,再计算这一点处的导数值.3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点.
    2.(题型4)(多选)设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标可以为(  )A.(1,0)     B.(2,8)C.(-1,-4)     D.(1,4)【答案】AC
    3.(题型4)(多选)设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标可以为(  )A.(1,0)  B.(2,8)C.(-1,-4)  D.(1,4)【答案】AC
    4.(题型3)如图,函数f(x)的图象在点P处的切线为y=-2x+5,则f(2)+f′(2)=________.【答案】-1【解析】∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-2x+5,∴f′(2)=-2,f(2)=-4+5=1,∴f(2)+f′(2)=1-2=-1.
    5.(题型2)已知函数y=f(x)=x3+x-2,直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
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