人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课堂检测

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课堂检测，共5页。试卷主要包含了故选A等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1.已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))，向量b＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))，则与a，b不能构成空间基底的向量是( )
A. eq \(OA,\s\up6(→))B. eq \(OB,\s\up6(→))C. eq \(OC,\s\up6(→))D. eq \(OA,\s\up6(→))或 eq \(OB,\s\up6(→))
【答案】C 【解析】因为 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b且a，b不共线，所以a，b， eq \(OC,\s\up6(→))共面，所以 eq \(OC,\s\up6(→))与a，b不能构成一组空间基底.故选C.
2.(2023年长沙检测)已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则下列向量中能与a＋b，a－b构成基底的是( )
A.aB.bC.cD.a＋2b
【答案】C 【解析】根据向量加法和减法的几何意义可知：a，b，a＋b，a－b共面，由于{a，b，c}是空间向量的一个基底，所以能与a＋b，a－b构成基底的是c.故选C.
3.(2023年淄博检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若 eq \(AF,\s\up6(→))＝x eq \(AD,\s\up6(→))＋y eq \(AB,\s\up6(→))＋z eq \(AA1,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝( )
A.1 B. eq \f(3,2)C.2 D. eq \f(5,2)
【答案】C 【解析】 eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DF,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(DD1,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→)))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AA1,\s\up6(→))，故x＝1，y＝ eq \f(1,2)，z＝ eq \f(1,2)，则x＋y＋z＝2.故选C.
4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b， eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示向量 eq \(MN,\s\up6(→))为( )
A. eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b－cB.a＋ eq \f(1,3)b＋ eq \f(1,3)c
C. eq \f(1,3)a－ eq \f(1,3)b＋ eq \f(1,3)cD. eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b＋ eq \f(1,3)c
【答案】D 【解析】 eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(BN,\s\up6(→))－ eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(BB1,\s\up6(→))＋ eq \(B1N,\s\up6(→))－ eq \(BM,\s\up6(→))，因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N， eq \(BB1,\s\up6(→))＝ eq \(AA1,\s\up6(→))，所以 eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(B1C1,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \(BA1,\s\up6(→))＝ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \f(2,3)( eq \(AA1,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))－ eq \f(2,3)( eq \(AA1,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b＋ eq \f(1,3)c.
5.已知{e1，e2，e3}为空间向量的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值为( )
A.α＝ eq \f(5,2)，β＝－1，γ＝－ eq \f(1,2)
B.α＝－1，β＝ eq \f(5,2)，γ＝－ eq \f(1,2)
C.α＝－ eq \f(1,2)，β＝ eq \f(5,2)，γ＝－1
D.α＝－1，β＝－ eq \f(1,2)，γ＝ eq \f(5,2)
【答案】A 【解析】由题意得a，b，c为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使得d＝αa＋βb＋γc，∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2)．))故选A.
6.(多选)若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是( )
A.a，2b，3c
B.a＋b，b＋c，c＋a
C.a＋2b，2b＋3c，3a－9c
D.a＋b＋c，b，c
【答案】ABD 【解析】因为－3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0，所以3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)，即三向量3a－9c，a＋2b，2b＋3c共面.故选ABD.
7.(多选)已知在四面体OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则( )
A. eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b－ eq \f(2,3)c
B. eq \(MN,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c
C. eq \(CM,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)a－c
D. eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)a＋ eq \f(2,3)b－ eq \f(1,2)c
【答案】BC 【解析】 eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)c＋ eq \f(1,2)b－a； eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(ON,\s\up6(→))－ eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))－ eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c－ eq \f(2,3)a； eq \(CM,\s\up6(→))＝ eq \(CO,\s\up6(→))＋ eq \(OM,\s\up6(→))＝－c＋ eq \f(2,3)a； eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)a－b.故选BC.
8.对于不共面的三个向量a，b，c，若a＝xa＋yb＋(z－3)c，则x＝________，y＝________，z＝________.
【答案】1 0 3 【解析】因为a＝xa＋yb＋(z－3)c，由对应系数相等可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0，,z－3＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0，,z＝3.))
9.已知在四面体ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→))＝a－2c， eq \(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则 eq \(EF,\s\up6(→))＝________.
【答案】3a＋3b－5c 【解析】取BC的中点G，连接EG，FG(图略)，则 eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(GF,\s\up6(→))－ eq \(GE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(5a＋6b－8c)＋ eq \f(1,2)(a－2c)＝3a＋3b－5c.
10.如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，M是PC的中点，问向量 eq \(PA,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(MD,\s\up6(→))是否可以组成一个基底，并说明理由.
解： eq \(PA,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(MD,\s\up6(→))不可以组成一个基底.
理由如下：
如图，连接AC，BD相交于点O，连接OM.
因为ABCD是平行四边形，
所以O是AC，BD的中点.
在△BDM中， eq \(MO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(MD,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→)))，
在△PAC中，M是PC的中点，O是AC的中点，
则 eq \(MO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(PA,\s\up6(→))，即 eq \(PA,\s\up6(→))＝ eq \(MD,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→))，即 eq \(PA,\s\up6(→))与 eq \(MD,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))共面.所以 eq \(PA,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(MD,\s\up6(→))不可以组成一个基底.
B级——能力提升练
11.(多选)(2023年青岛月考)已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\(MA,\s\up6(→))，\(MB,\s\up6(→))，\(MC,\s\up6(→))))成为空间的一个基底的是( )
A. eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(OC,\s\up6(→))
B. eq \(MA,\s\up6(→))＝ eq \(MB,\s\up6(→))＋ eq \(MC,\s\up6(→))
C. eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))
D.6 eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋2 eq \(OB,\s\up6(→))＋3 eq \(OC,\s\up6(→))
【答案】AC 【解析】对于选项ACD，由 eq \(OM,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))＋z eq \(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，可得M，A，B，C四点共面，即 eq \(MA,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(MC,\s\up6(→))共面，所以选项A中， eq \(MA,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(MC,\s\up6(→))不共面，可以构成基底，选项C中， eq \(MA,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(MC,\s\up6(→))不共面，可以构成基底；选项D中，因为6 eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋2 eq \(OB,\s\up6(→))＋3 eq \(OC,\s\up6(→))，所以 eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,6) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(OC,\s\up6(→))，可得M，A，B，C四点共面，即 eq \(MA,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(MC,\s\up6(→))共面，无法构成基底，故选项D错误；对于选项B，根据平面向量基本定理，因为 eq \(MA,\s\up6(→))＝ eq \(MB,\s\up6(→))＋ eq \(MC,\s\up6(→))，得 eq \(MA,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(MC,\s\up6(→))共面，无法构成基底，故选项B错误.故选AC.
12.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A.(12，14，10) B.(14，12，10)
C.(10，12，14) D.(12，10，14)
【答案】A 【解析】设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10).故选A.
13.若{a，b，c}是空间向量的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________.
【答案】x＝y＝z＝0 【解析】若x≠0，则a＝－ eq \f(y,x)b－ eq \f(z,x)c，即a与b，c共面.由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.
14.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若向量 eq \(AE,\s\up6(→))在以{ eq \(AA1,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))}为单位正交基底下的坐标为(1，x，y)，则x＝________，y＝________.
【答案】 eq \f(1,2) eq \f(1,2) 【解析】 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \(A1E,\s\up6(→))＝ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(A1C1,\s\up6(→))＝ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(A1B1,\s\up6(→))＋ eq \(B1C1,\s\up6(→)))＝ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))＝ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))，故x＝ eq \f(1,2)，y＝ eq \f(1,2).
15.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b， eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
(1)用向量a，b，c表示 eq \(D1B,\s\up6(→))， eq \(EF,\s\up6(→))；
(2)若 eq \(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
解：(1) eq \(D1B,\s\up6(→))＝ eq \(D1D,\s\up6(→))＋ eq \(DB,\s\up6(→))＝－ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝a－b－c，
eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(EA,\s\up6(→))＋ eq \(AF,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2) eq \(D1A,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))
＝－ eq \f(1,2)( eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))
＝ eq \f(1,2)(a－c).
(2) eq \(D1F,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(D1D,\s\up6(→))＋ eq \(D1B,\s\up6(→)))
＝ eq \(D1D,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(DB,\s\up6(→))
＝ eq \(A1A,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→)))
＝－ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))
＝－c＋ eq \f(1,2)a－ eq \f(1,2)b，
所以x＝ eq \f(1,2)，y＝－ eq \f(1,2)，z＝－1.