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    人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课堂检测

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课堂检测,共5页。试卷主要包含了故选A等内容,欢迎下载使用。

    A级——基础过关练
    1.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a= eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \(OC,\s\up6(→)),向量b= eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \(OB,\s\up6(→))- eq \(OC,\s\up6(→)),则与a,b不能构成空间基底的向量是( )
    A. eq \(OA,\s\up6(→))B. eq \(OB,\s\up6(→))C. eq \(OC,\s\up6(→))D. eq \(OA,\s\up6(→))或 eq \(OB,\s\up6(→))
    【答案】C 【解析】因为 eq \(OC,\s\up6(→))= eq \f(1,2)a- eq \f(1,2)b且a,b不共线,所以a,b, eq \(OC,\s\up6(→))共面,所以 eq \(OC,\s\up6(→))与a,b不能构成一组空间基底.故选C.
    2.(2023年长沙检测)已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,则下列向量中能与a+b,a-b构成基底的是( )
    A.aB.bC.cD.a+2b
    【答案】C 【解析】根据向量加法和减法的几何意义可知:a,b,a+b,a-b共面,由于{a,b,c}是空间向量的一个基底,所以能与a+b,a-b构成基底的是c.故选C.
    3.(2023年淄博检测)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点F是侧面CDD1C1的中心,若 eq \(AF,\s\up6(→))=x eq \(AD,\s\up6(→))+y eq \(AB,\s\up6(→))+z eq \(AA1,\s\up6(→)),则x+y+z=( )
    A.1 B. eq \f(3,2)C.2 D. eq \f(5,2)
    【答案】C 【解析】 eq \(AF,\s\up6(→))= eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \(DF,\s\up6(→))= eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)( eq \(DD1,\s\up6(→))+ eq \(DC,\s\up6(→)))= eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)( eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \(AB,\s\up6(→)))= eq \(AD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AA1,\s\up6(→)),故x=1,y= eq \f(1,2),z= eq \f(1,2),则x+y+z=2.故选C.
    4.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设 eq \(AB,\s\up6(→))=a, eq \(AC,\s\up6(→))=b, eq \(AA1,\s\up6(→))=c,用a,b,c表示向量 eq \(MN,\s\up6(→))为( )
    A. eq \f(1,3)a+ eq \f(1,3)b-cB.a+ eq \f(1,3)b+ eq \f(1,3)c
    C. eq \f(1,3)a- eq \f(1,3)b+ eq \f(1,3)cD. eq \f(1,3)a+ eq \f(1,3)b+ eq \f(1,3)c
    【答案】D 【解析】 eq \(MN,\s\up6(→))= eq \(BN,\s\up6(→))- eq \(BM,\s\up6(→))= eq \(BB1,\s\up6(→))+ eq \(B1N,\s\up6(→))- eq \(BM,\s\up6(→)),因为BM=2A1M,C1N=2B1N, eq \(BB1,\s\up6(→))= eq \(AA1,\s\up6(→)),所以 eq \(MN,\s\up6(→))= eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(B1C1,\s\up6(→))- eq \f(2,3) eq \(BA1,\s\up6(→))= eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))- eq \f(2,3)( eq \(AA1,\s\up6(→))- eq \(AB,\s\up6(→)))= eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \f(1,3)( eq \(AC,\s\up6(→))- eq \(AB,\s\up6(→)))- eq \f(2,3)( eq \(AA1,\s\up6(→))- eq \(AB,\s\up6(→)))= eq \f(1,3) eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))= eq \f(1,3)a+ eq \f(1,3)b+ eq \f(1,3)c.
    5.已知{e1,e2,e3}为空间向量的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,且d=αa+βb+γc,则α,β,γ的值为( )
    A.α= eq \f(5,2),β=-1,γ=- eq \f(1,2)
    B.α=-1,β= eq \f(5,2),γ=- eq \f(1,2)
    C.α=- eq \f(1,2),β= eq \f(5,2),γ=-1
    D.α=-1,β=- eq \f(1,2),γ= eq \f(5,2)
    【答案】A 【解析】由题意得a,b,c为三个不共面的向量,∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α,β,γ),使得d=αa+βb+γc,∴d=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3.又∵d=e1+2e2+3e3,∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α+β+γ=1,,α+β-γ=2,,α-β+γ=3,))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α=\f(5,2),,β=-1,,γ=-\f(1,2).))故选A.
    6.(多选)若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是( )
    A.a,2b,3c
    B.a+b,b+c,c+a
    C.a+2b,2b+3c,3a-9c
    D.a+b+c,b,c
    【答案】ABD 【解析】因为-3(a+2b)+3(2b+3c)+(3a-9c)=0,所以3a-9c=3(a+2b)-3(2b+3c),即三向量3a-9c,a+2b,2b+3c共面.故选ABD.
    7.(多选)已知在四面体OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,设 eq \(OA,\s\up6(→))=a, eq \(OB,\s\up6(→))=b, eq \(OC,\s\up6(→))=c,则( )
    A. eq \(AN,\s\up6(→))= eq \f(1,2)a+ eq \f(1,2)b- eq \f(2,3)c
    B. eq \(MN,\s\up6(→))=- eq \f(2,3)a+ eq \f(1,2)b+ eq \f(1,2)c
    C. eq \(CM,\s\up6(→))= eq \f(2,3)a-c
    D. eq \(BM,\s\up6(→))= eq \f(2,3)a+ eq \f(2,3)b- eq \f(1,2)c
    【答案】BC 【解析】 eq \(AN,\s\up6(→))= eq \f(1,2)( eq \(AC,\s\up6(→))+ eq \(AB,\s\up6(→)))= eq \f(1,2)c+ eq \f(1,2)b-a; eq \(MN,\s\up6(→))= eq \(ON,\s\up6(→))- eq \(OM,\s\up6(→))= eq \f(1,2)( eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \(OC,\s\up6(→)))- eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→))= eq \f(1,2)b+ eq \f(1,2)c- eq \f(2,3)a; eq \(CM,\s\up6(→))= eq \(CO,\s\up6(→))+ eq \(OM,\s\up6(→))=-c+ eq \f(2,3)a; eq \(BM,\s\up6(→))= eq \(BA,\s\up6(→))+ eq \(AM,\s\up6(→))= eq \f(2,3)a-b.故选BC.
    8.对于不共面的三个向量a,b,c,若a=xa+yb+(z-3)c,则x=________,y=________,z=________.
    【答案】1 0 3 【解析】因为a=xa+yb+(z-3)c,由对应系数相等可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=0,,z-3=0,))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=0,,z=3.))
    9.已知在四面体ABCD中, eq \(AB,\s\up6(→))=a-2c, eq \(CD,\s\up6(→))=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则 eq \(EF,\s\up6(→))=________.
    【答案】3a+3b-5c 【解析】取BC的中点G,连接EG,FG(图略),则 eq \(EF,\s\up6(→))= eq \(GF,\s\up6(→))- eq \(GE,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(CD,\s\up6(→))- eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(CD,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))= eq \f(1,2)(5a+6b-8c)+ eq \f(1,2)(a-2c)=3a+3b-5c.
    10.如图,已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形,M是PC的中点,问向量 eq \(PA,\s\up6(→)), eq \(MB,\s\up6(→)), eq \(MD,\s\up6(→))是否可以组成一个基底,并说明理由.
    解: eq \(PA,\s\up6(→)), eq \(MB,\s\up6(→)), eq \(MD,\s\up6(→))不可以组成一个基底.
    理由如下:
    如图,连接AC,BD相交于点O,连接OM.
    因为ABCD是平行四边形,
    所以O是AC,BD的中点.
    在△BDM中, eq \(MO,\s\up6(→))= eq \f(1,2)( eq \(MD,\s\up6(→))+ eq \(MB,\s\up6(→))),
    在△PAC中,M是PC的中点,O是AC的中点,
    则 eq \(MO,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(PA,\s\up6(→)),即 eq \(PA,\s\up6(→))= eq \(MD,\s\up6(→))+ eq \(MB,\s\up6(→)),即 eq \(PA,\s\up6(→))与 eq \(MD,\s\up6(→)), eq \(MB,\s\up6(→))共面.所以 eq \(PA,\s\up6(→)), eq \(MB,\s\up6(→)), eq \(MD,\s\up6(→))不可以组成一个基底.
    B级——能力提升练
    11.(多选)(2023年青岛月考)已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\(MA,\s\up6(→)),\(MB,\s\up6(→)),\(MC,\s\up6(→))))成为空间的一个基底的是( )
    A. eq \(OM,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \f(1,4) eq \(OC,\s\up6(→))
    B. eq \(MA,\s\up6(→))= eq \(MB,\s\up6(→))+ eq \(MC,\s\up6(→))
    C. eq \(OM,\s\up6(→))= eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \(OC,\s\up6(→))
    D.6 eq \(OM,\s\up6(→))= eq \(OA,\s\up6(→))+2 eq \(OB,\s\up6(→))+3 eq \(OC,\s\up6(→))
    【答案】AC 【解析】对于选项ACD,由 eq \(OM,\s\up6(→))=x eq \(OA,\s\up6(→))+y eq \(OB,\s\up6(→))+z eq \(OC,\s\up6(→))(x+y+z=1),可得M,A,B,C四点共面,即 eq \(MA,\s\up6(→)), eq \(MB,\s\up6(→)), eq \(MC,\s\up6(→))共面,所以选项A中, eq \(MA,\s\up6(→)), eq \(MB,\s\up6(→)), eq \(MC,\s\up6(→))不共面,可以构成基底,选项C中, eq \(MA,\s\up6(→)), eq \(MB,\s\up6(→)), eq \(MC,\s\up6(→))不共面,可以构成基底;选项D中,因为6 eq \(OM,\s\up6(→))= eq \(OA,\s\up6(→))+2 eq \(OB,\s\up6(→))+3 eq \(OC,\s\up6(→)),所以 eq \(OM,\s\up6(→))= eq \f(1,6) eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(OC,\s\up6(→)),可得M,A,B,C四点共面,即 eq \(MA,\s\up6(→)), eq \(MB,\s\up6(→)), eq \(MC,\s\up6(→))共面,无法构成基底,故选项D错误;对于选项B,根据平面向量基本定理,因为 eq \(MA,\s\up6(→))= eq \(MB,\s\up6(→))+ eq \(MC,\s\up6(→)),得 eq \(MA,\s\up6(→)), eq \(MB,\s\up6(→)), eq \(MC,\s\up6(→))共面,无法构成基底,故选项B错误.故选AC.
    12.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是( )
    A.(12,14,10) B.(14,12,10)
    C.(10,12,14) D.(12,10,14)
    【答案】A 【解析】设点A在基底{a,b,c}下对应的向量为p,则p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i=12i+14j+10k,故点A在基底{i,j,k}下的坐标为(12,14,10).故选A.
    13.若{a,b,c}是空间向量的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则x,y,z满足的条件是________.
    【答案】x=y=z=0 【解析】若x≠0,则a=- eq \f(y,x)b- eq \f(z,x)c,即a与b,c共面.由{a,b,c}是空间向量的一个基底,知a,b,c不共面,故x=0,同理y=z=0.
    14.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若向量 eq \(AE,\s\up6(→))在以{ eq \(AA1,\s\up6(→)), eq \(AB,\s\up6(→)), eq \(AD,\s\up6(→))}为单位正交基底下的坐标为(1,x,y),则x=________,y=________.
    【答案】 eq \f(1,2) eq \f(1,2) 【解析】 eq \(AE,\s\up6(→))= eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \(A1E,\s\up6(→))= eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(A1C1,\s\up6(→))= eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)( eq \(A1B1,\s\up6(→))+ eq \(B1C1,\s\up6(→)))= eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→)))= eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)),故x= eq \f(1,2),y= eq \f(1,2).
    15.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设 eq \(AB,\s\up6(→))=a, eq \(AD,\s\up6(→))=b, eq \(AA1,\s\up6(→))=c,E,F分别是AD1,BD的中点.
    (1)用向量a,b,c表示 eq \(D1B,\s\up6(→)), eq \(EF,\s\up6(→));
    (2)若 eq \(D1F,\s\up6(→))=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.
    解:(1) eq \(D1B,\s\up6(→))= eq \(D1D,\s\up6(→))+ eq \(DB,\s\up6(→))=- eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \(AB,\s\up6(→))- eq \(AD,\s\up6(→))=a-b-c,
    eq \(EF,\s\up6(→))= eq \(EA,\s\up6(→))+ eq \(AF,\s\up6(→))
    = eq \f(1,2) eq \(D1A,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))
    =- eq \f(1,2)( eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→)))+ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(AD,\s\up6(→)))
    = eq \f(1,2)(a-c).
    (2) eq \(D1F,\s\up6(→))= eq \f(1,2)( eq \(D1D,\s\up6(→))+ eq \(D1B,\s\up6(→)))
    = eq \(D1D,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(DB,\s\up6(→))
    = eq \(A1A,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))- eq \(AD,\s\up6(→)))
    =- eq \(AA1,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))- eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))
    =-c+ eq \f(1,2)a- eq \f(1,2)b,
    所以x= eq \f(1,2),y=- eq \f(1,2),z=-1.
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