数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示达标测试

这是一份数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示达标测试，共5页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1.如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是( )
A.(－1，－1，－1)B.(1，－1，1)
C.(1，－1，－1)D.(－1，1，－1)
【答案】C 【解析】依据空间点的坐标定义可知点A的坐标为(1，－1，－1).故选C.
2.在空间直角坐标系中，A(2，1，3)，B(3，2，1)，则 eq \(AB,\s\up6(→))＝( )
A.(1，1，－2) B.(－1，－1，2)
C.(5，3，4) D.(6，2，3)
【答案】A 【解析】因为A(2，1，3)，B(3，2，1)，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，2，1)－(2，1，3)＝(1，1，－2).故选A.
3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1E＝ eq \f(1,4)A1B1，则 eq \(BE,\s\up6(→))等于
( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)，－1))B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0，1))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，1))D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0，－1))
【答案】C 【解析】由题图知B(1，1，0)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,4)，1))，所以 eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，1)).故选C.
4.已知三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA＝AB＝AC＝1.如图建立空间直角坐标系Axyz.设G为△PBC的重心，则 eq \(BG,\s\up6(→))的坐标为( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3)))B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(2,3)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3)，\f(1,3)))D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3)，\f(1,3)))
【答案】D 【解析】由题意，可知B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1).如图，取BC的中点M，则M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，连接PM.因为G为△PBC的重心，设G的坐标为(x，y，z)，由 eq \(PG,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(PM,\s\up6(→))，得(x，y，z－1)＝ eq \f(2,3)( eq \f(1,2)， eq \f(1,2)，－1)，从而得G eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3)))，则 eq \(BG,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3)，\f(1,3))).故选D.
5.已知向量 eq \(OA,\s\up6(→))和 eq \(OB,\s\up6(→))在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5) eq \(AB,\s\up6(→))，则向量 eq \(OC,\s\up6(→))在基底{a，b，c}下的坐标是( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5)))D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))
【答案】A 【解析】因为 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，所以 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(2,5) eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(6,5)a－ eq \f(4,5)b－ eq \f(8,5)c，所以向量 eq \(OC,\s\up6(→))在基底{a，b，c}下的坐标是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5))).故选A.
6.(2023年绵阳月考)在空间直角坐标系中，已知点A(－1，1，3)，则点A关于Ozx平面的对称点的坐标为( )
A.(1，1，－3) B.(－1，－1，－3)
C.(－1，1，－3) D.(－1，－1，3)
【答案】D 【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得点A(－1，1，3)关于Ozx平面的对称点的坐标为(－1，－1，3).故选D.
7.(多选)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则( )
A.点B1的坐标为(4，5，3)
B.点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
【答案】ACD 【解析】根据题意知，点B1(4，5，3)，A正确；B(4，5，0)，C1(0，5，3)，故点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，B错误；点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，C正确；点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，D正确.故选ACD.
8.若四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________.
【答案】(5，13，－3) 【解析】由四边形ABCD是平行四边形知 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))，设D(x，y，z)，则 eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－4，y－1，z－3)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，12，－6)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4＝1，,y－1＝12，,z－3＝－6，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝13，,z＝－3，))即D点坐标为(5，13，－3).
9.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________.
【答案】(1，1，1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1)) 【解析】由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1).设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又因为p＝2a＋b－c，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x－y＝1，,z＝－1，))解得x＝ eq \f(3,2)，y＝ eq \f(1,2)，z＝－1，所以p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1)).
10.已知点P的坐标为(3，4，5)，试在空间直角坐标系中作出点P，并写出求解过程.
解：如图，由P(3，4，5)可知点P在x轴上的射影为点A(3，0，0)，在y轴上的射影为点B(0，4，0)，以OA，OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在Oxy坐标平面上的射影C(3，4，0).过点C作直线垂直于Oxy坐标平面，并在此直线的Oxy平面上方截取5个单位长度，得到的点就是P.
B级——能力提升练
11.在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴对称的点在Ozx平面上的射影的坐标为( )
A.(4，0，6) B.(－4，7，－6)
C.(－4，0，－6) D.(－4，7，0)
【答案】C 【解析】点M关于y轴对称的点是M′(－4，7，－6)，点M′在Ozx平面上的射影的坐标为(－4，0，－6).
12.(多选)建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABCD′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，下列说法正确的是( )
A.点E的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，a))B.点F的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，a，\f(a,2)))
C.点G的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，0，\f(a,2)))D.点I的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，a，0))
【答案】ACD 【解析】由题可知正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，a))，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0，a))，G eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，0，\f(a,2)))，H eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，I eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，a，0))，J eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，a，\f(a,2))).故选ACD.
13.直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是________.
【答案】( eq \r(3)，－1，2) 【解析】∵直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，∴B( eq \r(3)，1，0)，∴顶点B1的坐标是( eq \r(3)，1，2)，则其关于平面xAz的对称点为( eq \r(3)，－1，2).
14.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则 eq \(AG,\s\up6(→))的坐标为________， eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为________.
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，－\f(\r(6),3))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(6),3)))
【解析】由题意可知BG＝ eq \f(2,3)BE＝ eq \f(2,3)× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(\r(3),3)，所以AG＝ eq \r(AB2－BG2)＝ eq \f(\r(6),3)，所以 eq \(AG,\s\up6(→))＝－ eq \f(\r(6),3)k＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，－\f(\r(6),3)))， eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(GB,\s\up6(→))－ eq \(GA,\s\up6(→))＝－ eq \f(\r(3),3)j－ eq \f(\r(6),3)k＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(6),3))).
15.在直三棱柱ABOA1B1O1中，∠AOB＝ eq \f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 eq \(DO,\s\up6(→))， eq \(A1B,\s\up6(→))的坐标.
解：因为 eq \(DO,\s\up6(→))＝－ eq \(OD,\s\up6(→))＝－( eq \(OO1,\s\up6(→))＋ eq \(O1D,\s\up6(→)))＝－[ eq \(OO1,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)·( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))]＝－ eq \(OO1,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(→))，
| eq \(OO1,\s\up6(→))|＝| eq \(AA1,\s\up6(→))|＝4，| eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，| eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，
所以 eq \(DO,\s\up6(→))＝－ eq \(OO1,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(→))＝－(0，0，4)－ eq \f(1,2)(4，0，0)－ eq \f(1,2)(0，2，0)＝(－2，－1，－4).
因为 eq \(A1B,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA1,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AA1,\s\up6(→)))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(AA1,\s\up6(→))，
| eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，| eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，| eq \(AA1,\s\up6(→))|＝4，
所以 eq \(A1B,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0，2，0)－(4，0，0)－(0，0，4)＝(－4，2，－4).