人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示精练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示精练，共4页。试卷主要包含了已知a＝，b＝，则a与b，故选D，所以k－)2＝0，解得k＝7等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1.已知a＝(－5，6，1)，b＝(6，5，0)，则a与b( )
A.垂直 B.不垂直也不平行
C.平行且同向 D.平行且反向
【答案】A 【解析】因为a＝(－5，6，1)，b＝(6，5，0)，所以a·b＝－5×6＋6×5＋1×0＝0，所以a⊥b.故选A.
2.已知向量a＝(1，0，1)，b＝(2，0，－2)，若(ka＋b)·(a＋kb)＝2，则k的值等于( )
A.1 B. eq \f(3,5)C. eq \f(2,5)D. eq \f(1,5)
【答案】D 【解析】由已知得|a|＝ eq \r(2)，|b|＝2 eq \r(2)，且a·b＝0，由(ka＋b)·(a＋kb)＝2得k|a|2＋k|b|2＋(k2＋1)a·b＝2，即2k＋8k＝2，解得k＝ eq \f(1,5).故选D.
3.(2023年杭州检测)已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( )
A. eq \f(5π,6)B. eq \f(2π,3)C. eq \f(π,3)D. eq \f(π,6)
【答案】D 【解析】因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)，所以cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a|×|b|)＝ eq \f(3,\r(2)×\r(6))＝ eq \f(\r(3),2).又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为 eq \f(π,6).故选D.
4.(2023年鄂州检测)已知空间三点A(1，0，3)，B(－1，1，4)，C(2，－1，3)，若 eq \(AP,\s\up6(→))∥ eq \(BC,\s\up6(→))，且| eq \(AP,\s\up6(→))|＝ eq \r(14)，则点P的坐标为( )
A.(4，－2，2)
B.(－2，2，4)
C.(4，－2，2)或(－2，2，4)
D.(－4，2，－2)或(2，－2，4)
【答案】C 【解析】设P(x，y，z)，则 eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y，z－3)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)，因为 eq \(AP,\s\up6(→))∥ eq \(BC,\s\up6(→))，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝λ eq \(BC,\s\up6(→))＝(3λ，－2λ，－λ)，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝3λ，,y＝－2λ，,z－3＝－λ，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3λ＋1，,y＝－2λ，,z＝－λ＋3，))所以P(3λ＋1，－2λ，－λ＋3).又因为| eq \(AP,\s\up6(→))|＝ eq \r(14)，所以 eq \r((3λ)2＋(－2λ)2＋(－λ)2)＝ eq \r(14)，解得λ＝1或λ＝－1，所以P(4，－2，2)或P(－2，2，4).故选C.
5.已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底.若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为( )
A.(4，0，3) B.(1，2，3)
C.(3，1，3) D.(2，1，3)
【答案】C 【解析】设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝4a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，整理得4a＋2b＋3c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,x－y＝2，,z＝3，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，,z＝3，))所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(3，1，3).故选C.
6.记{i，j，k}为单位正交基底，若向量a＝2i－j＋k，b＝4i＋9j＋k，则这两个向量的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.重合 D.以上答案都不正确
【答案】B 【解析】向量a＝2i－j＋k，b＝4i＋9j＋k，则向量a，b的坐标为a＝(2，－1，1)，b＝(4，9，1).因为a·b＝8－9＋1＝0，故a，b两个向量的位置关系为垂直.
7.(多选)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论不正确的是( )
A.a＋b＝(10，－5，－6)
B.a－b＝(2，－1，－6)
C.a·b＝10
D.|a|＝6
【答案】ABC 【解析】a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)，a·b＝22，|a|＝6，所以A，B，C错.
8.已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.
【答案】7 【解析】因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0.所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－( eq \r(12＋22＋32))2＝0，解得k＝7.
9.若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________.
【答案】(－∞，－2) 【解析】a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)<0.又因为|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2.又因为a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2).
10.已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值.
解：(1)因为a∥b，所以 eq \f(x,－2)＝ eq \f(4,y)＝ eq \f(1,－1)，
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1).
又由b⊥c，得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，
得z＝2，此时c＝(3，－2，2).
(2)由(1)得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，
所以向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为cs θ＝ eq \f(5－12＋3,\r(38)×\r(38))＝－ eq \f(2,19).
B级——能力提升练
11.(多选)下列各组向量中，是共线向量的是( )
A.a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B.c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
C.e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)
D.g＝(－2，3，5)，h＝(16，－24，40)
【答案】ABC 【解析】对于A，因为b＝－2a，所以a∥b；对于B，因为d＝－3c，所以c∥d；对于C，因为f是零向量，所以e∥f；对于D，因为g≠λh，所以g，h不共线.故选ABC.
12.已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为( )
A.(－1，1，2) B.(1，－1，2)
C.(2，1，－1) D.(2，4，6)
【答案】A 【解析】设点D(x，y，z)，则 eq \(DB,\s\up6(→))＝(－x，1－y，－z)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，2)， eq \(DC,\s\up6(→))＝(－x，－y，2－z)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，0).因为DB∥AC，DC∥AB，所以 eq \(DB,\s\up6(→))∥ eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(DC,\s\up6(→))∥ eq \(AB,\s\up6(→))，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－x,－1)＝\f(－z,2)，,1－y＝0，,\f(－x,－1)＝\f(－y,1)，,2－z＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，,z＝2，))所以D(－1，1，2).
13.已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________.
【答案】－ eq \r(39) 【解析】因为a·b＝2k，|a|＝ eq \r(13)，|b|＝ eq \r(k2＋9)，所以cs 120°＝ eq \f(2k,\r(13)×\r(k2＋9))，所以k＝－ eq \r(39).
14.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cs ∠EAF＝________，EF＝________.
【答案】 eq \f(2,5) eq \f(\r(6),2) 【解析】如图，以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，则E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，所以 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))， eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))， eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，所以cs 〈 eq \(AE,\s\up6(→))， eq \(AF,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(AF,\s\up6(→)),|\(AE,\s\up6(→))||\(AF,\s\up6(→))|)＝ eq \f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝ eq \f(2,5)，所以cs ∠EAF＝ eq \f(2,5)，EF＝| eq \(EF,\s\up6(→))|＝ eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(6),2).
15.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).
(1)若|a|＝ eq \r(3)，且a分别与 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))垂直，求向量a的坐标；
(2)若 eq \(AP,\s\up6(→))∥ eq \(BC,\s\up6(→))，且| eq \(AP,\s\up6(→))|＝2 eq \r(14)，求点P的坐标.
解：(1) eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－3，2).
设a＝(x，y，z)，因为|a|＝ eq \r(3)，且a分别与 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))垂直，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x2＋y2＋z2)＝\r(3)，,－2x－y＋3z＝0，,x－3y＋2z＝0，))
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，,z＝1))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，,z＝－1.))
所以a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1).
(2)因为 eq \(AP,\s\up6(→))∥ eq \(BC,\s\up6(→))，所以可设 eq \(AP,\s\up6(→))＝λ eq \(BC,\s\up6(→))(λ∈R).
因为 eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝(3λ，－2λ，－λ).
又因为| eq \(AP,\s\up6(→))|＝2 eq \r(14)，
所以 eq \r((3λ)2＋(－2λ)2＋(－λ)2)＝2 eq \r(14)，解得λ＝±2.
所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝(6，－4，－2)或 eq \(AP,\s\up6(→))＝(－6，4，2).
设点P的坐标为(x，y，z)，则 eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y－2，z－3).
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y－2＝－4，,z－3＝－2))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－6，,y－2＝4，,z－3＝2.))
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝－2，,z＝1))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－6，,y＝6，,z＝5.))
故所求点P的坐标为(6，－2，1)或(－6，6，5).