人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第一课时课后作业题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第一课时课后作业题，共8页。试卷主要包含了故选B，下列四个命题中，正确命题有等内容，欢迎下载使用。


A级——基础过关练
1.(2023年邯郸八校联考)已知平面α的一个法向量为n＝(－1，－2，2)，点A(0，1，0)为α内一点，则点P(1，0，1)到平面α的距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】D 【解析】因为 eq \(AP,\s\up6(→))＝(1，－1，1)，n＝(－1，－2，2)，所以 eq \(AP,\s\up6(→))·n＝－1＋2＋2＝3，|n|＝ eq \r(1＋4＋4)＝3，则点P到平面α的距离d＝ eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝1.故选D.
2.已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为( )
A. eq \f(1,2)B. eq \f(\r(2),2)C. eq \f(\r(3),2)D.1
【答案】B 【解析】因为 eq \(PA,\s\up6(→))＝(－2，0，－1)，因为n与l垂直，所以点P到l的距离d＝ eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(|－2＋1|,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2).故选B.
3.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于( )
A. eq \f(2,3)B. eq \f(2\r(2),3)C. eq \f(2\r(3),3)D. eq \f(4,3)
【答案】D 【解析】以D1为坐标原点， eq \(D1A1,\s\up6(→))， eq \(D1C1,\s\up6(→))， eq \(D1D,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B1(2，2，0)，C1(0，2，0)，E(2，1，2)，F(1，2，2)， eq \(B1E,\s\up6(→))＝(0，－1，2)， eq \(B1F,\s\up6(→))＝(－1，0，2).设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(B1E,\s\up6(→))＝0，,n·\(B1F,\s\up6(→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－y＋2z＝0，,－x＋2z＝0.))令z＝1，得n＝(2，2，1).又因为 eq \(B1C1,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，所以点C1到平面B1EF的距离h＝ eq \f(|\(B1C1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(4,3)，故选D.
4.已知直线l的方向向量为a＝(－1，0，1)，点A(1，2，－1)在l上，则点P(2，－1，2)到l的距离为( )
A. eq \r(15)B.4 C. eq \r(17)D.3 eq \r(2)
【答案】C 【解析】因为A(1，2，－1)，P(2，－1，2)，所以 eq \(PA,\s\up6(→))＝(－1，3，－3)，则| eq \(PA,\s\up6(→))|＝ eq \r(19)， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,|a|)·\(PA,\s\up6(→))))＝ eq \r(2)，由点到直线的距离公式得d＝ eq \r(|\(PA,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,|a|)·\(PA,\s\up6(→))))\s\up12(2))＝ eq \r(17).故选C.
5.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为( )
A. eq \r(3)λB. eq \f(\r(2),2)C. eq \f(\r(2),3)λD. eq \f(\r(5),5)
【答案】D 【解析】以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)， eq \(ED1,\s\up6(→))＝(－2，0，1)， eq \(EF,\s\up6(→))＝(0，2，0)， eq \(EM,\s\up6(→))＝(0，λ，1).设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(ED1,\s\up6(→))＝－2x＋z＝0，,n·\(EF,\s\up6(→))＝2y＝0，))取x＝1，得n＝(1，0，2)，所以点M到平面D1EF的距离为d＝ eq \f(|\(EM,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(2,\r(5))＝ eq \f(2\r(5),5).因为N为EM的中点，所以N到平面D1EF的距离为 eq \f(\r(5),5).故选D.
6.(2023年张掖质检)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝AA1＝4，D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是( )
A.1 B. eq \r(2)C. eq \r(3)D.2
【答案】B 【解析】以AC为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝4，D是AA1的中点，所以B(2 eq \r(3)，2，0)，C1(0，4，4)，D(0，0，2)，A1(0，0，4)，所以 eq \(DB,\s\up6(→))＝(2 eq \r(3)，2，－2)， eq \(DC1,\s\up6(→))＝(0，4，2)， eq \(DA1,\s\up6(→))＝(0，0，2).设平面BDC1的法向量n＝(x，y，z)，因为n· eq \(DB,\s\up6(→))＝0，n· eq \(DC1,\s\up6(→))＝0，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2\r(3)x＋2y－2z＝0，,4y＋2z＝0，))取x＝ eq \r(3)，所以n＝( eq \r(3)，－1，2)，所以点A1到平面DBC1的距离d＝ eq \f(|n·\(DA1,\s\up6(→))|,|n|)＝ eq \f(|0＋0＋4|,\r(3＋1＋4))＝ eq \r(2).
7.(多选)下列四个命题中，正确命题有( )
A.若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))
B.若向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)且a⊥b，则m＝－5
C.已知AB为平面α的一条斜线段，点A(1，2，－1)在平面α上，n＝(1，0，1)为平面α的法向量，则点B(2，1，1)到平面α的距离为 eq \f(3\r(2),2)
D.若两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u＝(1，2，－2)，v＝(－2，－4，4)，则α∥β
【答案】CD 【解析】对于A，因为向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则p＝a－2b＋3c，设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x－y＝－2，,z＝3，))解得x＝－ eq \f(1,2)，y＝ eq \f(3,2)，z＝3，所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)，3))，故A不正确；对于B，∵向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)，且a⊥b，∴a·b＝－8－2＋2m＝0，解得m＝5，故B不正确；对于C， eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1，2)，点B到平面α的距离d＝ eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(|(1，－1，2)·(1，0，1)|,\r(12＋02＋12))＝ eq \f(3\r(2),2)，故C正确；对于D，两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u＝(1，2，－2)，v＝(－2，－4，4)，因为v＝－2u，所以v∥u，则α∥β，故D正确.故选CD.
8.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________.
【答案】 eq \f(\r(3),2) 【解析】如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，A(1，0，0).所以 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))， eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，AD1＝(－1，0，1).设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\(AD1,\s\up6(→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝(1，1，1).所以点M到平面ACD1的距离d＝ eq \f(|\(AM,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(\r(3),2).
9.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则平面A1BD与平面B1CD1间的距离为________.
【答案】 eq \f(\r(3),3) 【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，则 eq \(A1B,\s\up6(→))＝(0，1，－1)， eq \(A1D,\s\up6(→))＝(－1，0，－1)， eq \(A1D1,\s\up6(→))＝(－1，0，0).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1B,\s\up6(→))＝0，,n·\(A1D,\s\up6(→))＝0，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－z＝0，,－x－z＝0.))令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝(－1，1，1).所以点D1到平面A1BD的距离d＝ eq \f(|\(A1D1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(1,\r(3))＝ eq \f(\r(3),3).因为平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 eq \f(\r(3),3).
10.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
(1)求点P到直线EF的距离；
(2)求点D到平面PEF的距离；
(3)求直线AC到平面PEF的距离.
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0)).
(1)∵ eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))，
取a＝ eq \(EP,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)，1))，
u＝ eq \f(\(EF,\s\up6(→)),|\(EF,\s\up6(→))|)＝ eq \r(2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，
则a2＝ eq \f(9,4)，a·u＝ eq \f(\r(2),4).
∴点P到直线EF的距离为 eq \r(a2－(a·u)2)＝ eq \r(\f(9,4)－\f(1,8))＝ eq \f(\r(34),4).
(2)∵ eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))， eq \(PE,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，－1))， eq \(DE,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＝0，,x＋\f(1,2)y－z＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,z＝\f(3,2)x，))
令x＝2，则n＝(2，2，3)，
∴点D到平面PEF的距离
d＝ eq \f(|\(DE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(|2＋1|,\r(4＋4＋9))＝ eq \f(3\r(17),17).
(3)∵AC∥EF，∴直线AC到平面PEF的距离即点A到平面PEF的距离.
∵ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，
∴点A到平面PEF的距离d＝ eq \f(|\(AE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(1,\r(17))＝ eq \f(\r(17),17).
∴直线AC到平面PEF的距离为 eq \f(\r(17),17).
B级——能力提升练
11.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的面A1B1C1D1上取一点E，使∠EAB＝∠EAD＝60°，则线段AE的长为( )
A. eq \f(\r(5),2)B. eq \f(\r(6),2)C. eq \r(2)D. eq \r(3)
【答案】C 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，设E(x，y，1)，故cs ∠EAB＝ eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AE,\s\up6(→))||\(AB,\s\up6(→))|)＝ eq \f(x,\r(x2＋y2＋1))＝ eq \f(1,2)，cs ∠EAD＝ eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(AD,\s\up6(→)),|\(AE,\s\up6(→))||\(AD,\s\up6(→))|)＝ eq \f(y,\r(x2＋y2＋1))＝ eq \f(1,2).于是x＝y＝ eq \f(\r(2),2)，故| eq \(AE,\s\up6(→))|＝ eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)＋1)＝ eq \r(2).
12.(多选)(2022年广东联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥底面ABCD，AB＝1，AD＝3，AP＝2，点E在PD上， eq \(PE,\s\up6(→))＝2 eq \(ED,\s\up6(→))，点M在棱PB上，则点M到平面ACE的距离可能为( )
A. eq \f(2\r(19),19)B. eq \f(4\r(19),19)C. eq \f(12\r(5),19)D. eq \f(6\r(19),19)
【答案】BD 【解析】如图，以A为原点， eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AP,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，3，0)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2，\f(2,3)))，所以 eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，3，0)， eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2，\f(2,3)))， eq \(BP,\s\up6(→))＝(－1，0，2).设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\(AE,\s\up6(→))＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y＝0，,2y＋\f(2,3)z＝0，))令x＝3，得n＝(3，－1，3).设 eq \(BM,\s\up6(→))＝λ eq \(BP,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，则 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋λ eq \(BP,\s\up6(→))＝(1－λ，0，2λ)，所以点M到平面ACE的距离d＝ eq \f(|\(AM,\s\up6(→))·n|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n)))＝ eq \f(3\r(19),19)(λ＋1).因为0≤λ≤1，所以 eq \f(3\r(19),19)≤d≤ eq \f(6\r(19),19).故选BD.
13.如图，正三棱锥SABC的高SO＝2，侧棱SC与底面成45°角，则点C到侧面SAB的距离是________.
【答案】 eq \f(6\r(5),5) 【解析】如图，建立空间直角坐标系，在Rt△SOC中，SO＝2，∠SCO＝45°，所以OC＝2，AB＝BC＝AC＝2 eq \r(3)，所以S(0，0，2)，A(－1，－ eq \r(3)，0)，B(－1， eq \r(3)，0)，C(2，0，0)，所以 eq \(SA,\s\up6(→))＝(－1，－ eq \r(3)，－2)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，2 eq \r(3)，0)， eq \(SC,\s\up6(→))＝(2，0，－2).设平面SAB的法向量n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(SA,\s\up6(→))＝0，,n·\(AB,\s\up6(→))＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－\r(3)y－2z＝0，,2\r(3)y＝0，))取z＝1，则x＝－2，y＝0，所以平面SAB的一个法向量n＝(－2，0，1)，d＝ eq \f(|\(SC,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(|－4－2|,\r(5))＝ eq \f(6\r(5),5).所以点C到侧面SAB的距离为 eq \f(6\r(5),5).
14.(2023年重庆联考)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，若AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，则| eq \(BF,\s\up6(→))|＝________，点C到平面AEC1F的距离为________.
【答案】2 eq \r(6) eq \f(4\r(33),11) 【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3).设F(0，0，a)，由 eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \(EC1,\s\up6(→))，得(－2，0，a)＝(－2，0，2)，∴a＝2，∴F(0，0，2)， eq \(BF,\s\up6(→))＝(－2，－4，2)，∴| eq \(BF,\s\up6(→))|＝2 eq \r(6). eq \(AE,\s\up6(→))＝(0，4，1)， eq \(AF,\s\up6(→))＝(－2，0，2)，设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的法向量，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\(AF,\s\up6(→))＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4y＋z＝0，,－2x＋2z＝0，))取z＝1，则n＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,4)，1))，∵ eq \(CC1,\s\up6(→))＝(0，0，3)，∴点C到平面AEC1F的距离d＝ eq \f(|\(CC1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(4\r(33),11).
15.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，BB1的中点.
(1)求证：平面A1DC1∥平面EFG；
(2)求平面A1DC1与平面EFG间的距离.
解：(1)∵E是AB中点，F是BC中点，
∴连接AC，得EF∥AC.
∵AA1∥CC1，∴ACC1A1是平行四边形.
∴A1C1∥AC.∴EF∥A1C1.
又∵A1C1⊂平面A1C1D，EF⊄平面A1C1D，
∴EF∥平面A1C1D.
同理，连接AB1可得EG∥AB1∥DC1，可得EG∥平面A1C1D.
∵EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，
∴平面A1C1D∥平面EFG﹒
(2)如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，
∴ eq \(DA1,\s\up6(→))＝(2，0，2)， eq \(DC,\s\up6(→))1＝(0，2，2)， eq \(A1E,\s\up6(→))＝(0，1，－2).
设平面A1DC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(DA,\s\up6(→))1·n＝0，,\(DC,\s\up6(→))1·n＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋z＝0，,y＋z＝0，))取n＝(1，1，－1)，
则平面A1DC1与平面EFG间的距离为 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(A1E,\s\up6(→))·n)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n)))＝ eq \f(3,\r(3))＝ eq \r(3)﹒