人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线复习练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线复习练习题，共4页。试卷主要包含了已知直线y＝k与抛物线C等内容，欢迎下载使用。
1．过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】B 【解析】当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条．
2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
【答案】D 【解析】设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切线方程为2x－y－1＝0.
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，该抛物线上点P的横坐标为2，则|PF|＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C 【解析】抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，因为点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，点P的横坐标是2，所以|PF|＝2＋1＝3.
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A． eq \f(1,3)B． eq \f(\r(2),3)C． eq \f(2,3)D． eq \f(2\r(2),3)
【答案】D 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x＋2)，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4①.因为|FA|＝x1＋ eq \f(p,2)＝x1＋2，|FB|＝x2＋ eq \f(p,2)＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2②.由①②，得x2＝1或x2＝－2(舍去)，所以B(1，2 eq \r(2))，代入y＝k(x＋2)，得k＝ eq \f(2\r(2),3).
5．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则 eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)的最小值为( )
A． eq \r(3)B．1 C． eq \f(2\r(3),3)D．2
【答案】B 【解析】如图，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|.所以在梯形ABPQ中，2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.由余弦定理，得|AB|2＝a2＋b2－2ab cs 60°＝a2＋b2－ab，配方，得|AB|2＝(a＋b)2－3ab.又因为ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)，所以(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－ eq \f(3,4)(a＋b)2＝ eq \f(1,4)(a＋b)2，得到|AB|≥ eq \f(1,2)(a＋b)＝|CD|.所以 eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)≥1，即 eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)的最小值为1.
6．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1等于( )
A． eq \f(π,6)B． eq \f(π,4)C． eq \f(π,2)D． eq \f(2π,3)
【答案】C 【解析】如图，由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又因为∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝ eq \f(1,2)×π＝ eq \f(π,2)，即∠A1FB1＝ eq \f(π,2).
7．(多选)下列直线过点(－3，2)，且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的是( )
A．x＝－3 B．y＝2
C．x－3y＋9＝0 D．x＋y＋1＝0
【答案】BCD 【解析】显然，直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2＝k(x＋3)，,y2＝4x，))得ky2－4y＋8＋12k＝0①.当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，此时过(－3，2)的直线方程为y＝2，满足条件．当k≠0时，方程①应有两个相等实根，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠0，,Δ＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠0，,16－4k(8＋12k)＝0，))得k＝ eq \f(1,3)或k＝－1，所以直线方程为y－2＝ eq \f(1,3)(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.故选BCD.
8．抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为________．
【答案】(3，2 eq \r(6))或(3，－2 eq \r(6)) 【解析】设点P的坐标为(x，y)，∵|PF|＝5，∴2＋x＝5，∴x＝3.把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，∴y＝±2 eq \r(6).∴点P的坐标为(3，±2 eq \r(6)).
9．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋ eq \f(9,2)对称，则k的取值范围为________________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)) 【解析】设M(x1，x12)，N(x2，x22)，两点关于直线y＝kx＋ eq \f(9,2)对称，显然k＝0时不成立，所以 eq \f(x12－x22,x1－x2)＝－ eq \f(1,k)，即x1＋x2＝－ eq \f(1,k).设MN的中点为P(x0，y0)，则x0＝－ eq \f(1,2k)，y0＝k× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2k)))＋ eq \f(9,2)＝4.又中点P在抛物线y＝x2内，所以4> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2k))) eq \s\up12(2)，即k2> eq \f(1,16)，所以k> eq \f(1,4)或k