高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）随堂练习题，共6页。试卷主要包含了下列函数不宜用二分法求零点的是等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
【答案】B
【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B．
2．(多选)下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的说法错误的有( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
【答案】BCD
【解析】x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点，所以A正确；例如f(x)＝x2，不可以用二分法求零点，所以B错误；方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，所以C错误；用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以D错误．故选BCD．
3．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2 eq \r(2)x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1
【答案】C
【解析】因为f(x)＝x2＋2 eq \r(2)x＋2＝(x＋ eq \r(2))2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
4．利用二分法求方程lg3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间( )
A．(0，1)B．(1，2)
C．(2，3)D．(3，4)
【答案】D
【解析】设f(x)＝lg3x－(5－x)．因为f(3)＝－1＜0，f(4)＝lg34－1＞0，所以f(3)·f(4)＜0，由零点存在定理可知，函数f(x)在区间(3，4)上至少存在一个零点，故方程lg3x＝5－x的近似解可取区间(3，4)．故选D．
5．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间( )
A．(2，2.25)B．(2.25，2.5)
C．(2.5，2.75)D．(2.75，3)
【答案】C
【解析】因为f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)．故选C．
6．(2023年孝感开学考试)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表所示，则方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.04)为( )
A．1.5B．1.25
C．1.375D．1.437 5
【答案】D
【解析】由表格可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的近似根在(1，1.5)，(1.25，1.5)，(1.375，1.5)，(1.375，1.4375)，(1.406 25，1.437 5)内．又因为1.437 5－1.406 25＝0.031 25＜0.04，故方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.04)可以为1.437 5．故选D．
7．(2023年菏泽期末)在使用二分法计算函数f(x)＝lg x＋x－2的零点的近似值时，现已知其所在区间为(1，2)，如果要求近似值的精确度为0.1，那么接下来需要计算区间中点的函数值的次数为( )
A．2B．3
C．4D．5
【答案】C
【解析】因为区间(1，2)的长度为1，每次二等分都使长度变为原来的 eq \f(1,2)，3次取中间值后，区间(1，2)的长度变为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(1,8)＞0.1，不满足题意，4次取中间值后，区间(1，2)的长度变为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(4)＝ eq \f(1,16)＜0.1，满足题意．故选C．
8．(2023年成都期末)用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点的近似值，要求精确度为0.01时，所需二分区间次数最少为________次．
【答案】7
【解析】设经过n次，由题意得 eq \f(1,2n)≤0.01，解得n≥7．
9．求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1，1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1)，用二分法逐次计算列表如下：
则函数零点的近似值为________．
【答案】1.312 5
【解析】因为精确度ε＝0.1，由表可知|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1，所以函数零点的近似值为1.312 5．
10．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，求最多称几次就可以发现这枚假币．
解：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面．
从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端．若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面．
将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面．
从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端．若天平平衡，则剩下的那一枚是假币；若不平衡，则质量小的那一枚是假币．
综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
B级——能力提升练
11．方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则m的取值范围是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，5))B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,3)，5))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,3)))∪(5，＋∞)D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,3)))
【答案】B
【解析】由题意可知f(x)＝4x2＋(m－2)x＋m－5的两个零点一个在区间(－1，0)内，另一个在区间(0，2)内，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f(－1)＝4－(m－2)＋m－5＞0，,f(0)＝m－5＜0，,f(2)＝16＋2(m－2)＋m－5＞0，))解得－ eq \f(7,3)＜m＜5．故选B．
12．(多选)(2023年重庆期末)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A．2.51B．2.56
C．2.66D．2.78
【答案】AB
【解析】因为函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域上单调递增，所以结合表格可知，方程ln x＋2x－6＝0的近似解在(2.5，3)，(2.5，2.75)，(2.5，2.562 5)内．又因为精确度0.1，∴方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为2.51，2.56．故选AB．
13．(2023年上海闵行区期末)已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝x－4lg2x，用二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，则x2＝________．
【答案】 eq \f(3,2)
【解析】二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，f(x)＝x－4lg2x，则f(1)＝1＞0，f(3)＝3－4lg23＜0，故零点所在区间为(1，3)，第二次计算f(2)的值，f(2)＝2－4lg22＝－2＜0，故零点所在区间为(1，2)，所以第三次计算f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))的值，即x2＝ eq \f(3,2)．
14．已知函数f(x)＝3x2－1在区间(0，1)上有唯一零点x0，如果用二分法求这个零点(精确度ε＝0.05)的近似值，那么将区间(0，1)等分的次数至少是________，此时并规定只要零点的存在区间(a，b)满足|a－b|＜ε时，用 eq \f(a＋b,2)作为零点的近似值，那么求得x0＝________．
【答案】5 eq \f(37,64)
【解析】开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为 eq \f(1,2n)，故有 eq \f(1,2n)≤0.05，即2n＞20，解得n≥5．故计算5次就可满足要求，所以将区间(0，1)等分的次数至少是5次．因为f(0)＜0，f(1)＞0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＜0，所以第一次得到区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))；因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))＞0，所以第二次得到区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))；因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))＞0，所以第三次得到区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,8)))；因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,16)))＜0，所以第四次得到区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，\f(5,8)))；因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,32)))＞0，所以第五次得到区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，\f(19,32)))．所以函数零点为 eq \f(\f(9,16)＋\f(19,32),2)＝ eq \f(37,64)．
15．已知函数f(x)＝ eq \r(x)．
(1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
(2)函数g(x)＝f(x)＋lg2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3)；若没有零点，说明理由．
(参考数据： eq \r(1.25)≈1.118， eq \r(1.5)≈1.225， eq \r(1.75)≈1.323，lg21.25≈0.32，lg21.5≈0.585，lg21.75≈0.807)
解：(1)函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
证明如下：令0≤x1＜x2，
由于f(x1)－f(x2)＝ eq \r(x1)－ eq \r(x2)＝ eq \f(x1－x2,\r(x1)＋\r(x2))＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
(2)g(x)＝ eq \r(x)＋lg2x－2是增函数．
∵g(1)＝1＋lg21－2＝－1＜0，
g(2)＝ eq \r(2)＋lg22－2＝ eq \r(2)－1＞0，
∴函数g(x)在区间(1，2)内有且只有一个零点．
∵g(1.5)＝ eq \r(1.5)＋lg21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19＜0，
g(1.75)＝ eq \r(1.75)＋lg21.75－2≈1.323＋0.807－2＝0.13＞0，
∴函数的零点在(1.5，1.75)．
∵1.75－1.5＝0.25＜0.3，
∴g(x)零点的近似值为1.5．
(函数g(x)的零点近似值取区间[1.5，1.75]中的任意一个数都可以)
x
1
1.5
1.25
1.375
1.437 5
1.406 25
f(x)
－2
0.625
－0.984
－0.260
0.165
－0.052
端(中)点的值
中点函数值符号
零点所在区间
|an－bn|
(1，1.5)
0.5
1.25
f(1.25)＜0
(1.25，1.5)
0.25
1.375
f(1.375)＞0
(1.25，1.375)
0.125
1.312 5
f(1.312 5)＜0
(1.312 5，1.375)
0.062 5
f(2)≈－1.307
f(2.5)≈－0.084
f(2.562 5)≈0.066
f(2.625)≈0.215
f(2.75)≈0.512
f(3)≈1.099