新教材适用2023_2024学年高中数学第7章复数章末知识梳理课件新人教A版必修第二册

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第七章　复　数章末知识梳理知识体系构建核心知识归纳1．复数的有关概念(1)虚数单位i.(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)．(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数．2．复数集5．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义6．复数的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况．(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i.要点专项突破复数常设为z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R⇔b＝0；z为虚数⇔b≠0；z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.　　　　　当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z对应的点在直线x－y＝0上．[分析]　根据题设条件构建方程(组)或不等式(组)求解即可．[解析]　(1)z∈R⇔a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.所以a<0或a>2.所以a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，所以a＝2.(2)设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2<0DC复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部、虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题．　　　　　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.[解析]　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，(1)求z1；(2)若复数z2＝a＋bi(a，b∈R)，且z2＋az＋b＝1－i，求|z1－z2|.因为复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z1＝－1＋i.(2)因为z2＋az＋b＝1－i，所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，解得a＝－3，b＝4，所以复数z2＝－3＋4i, 所以z1－z2＝2－3i，　　　　　　　　已知复数z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i(a>0)，z1＋z2∈R.(1)求实数a的值；(2)若z∈C，|z－z2|＝2，求|z|的取值范围．[解析]　(1)因为z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i，所以z1＋z2＝1＋(a2－10)i＋(2a－5)i＝1＋(a2＋2a－15)i.又因为z1＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又因为a>0，所以a＝3.(2)由(1)知z2＝i，设z＝x＋yi，得x2＋(y－1)2＝4，而(y－1)2＝4－x2，∴0≤(y－1)2≤4，∴－2≤y－1≤2，故y∈[－1,3]．∵－1≤y≤3，∴2y＋3∈[1,9]，故|z|∈[1,3].复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇．　　　　　四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i,2i,2＋i，z.(1)求复数z；(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．[解析]　(1)复平面内A,B,C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3,2)，则点D对应的复数z＝3＋2i.(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，即p＝12，q＝26.[解析]　(1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．