高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念达标测试，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④密度．其中是向量的是( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 由物理学知识知速度和位移是向量，既有大小又有方向，符合向量的定义．故选B．
2．设点O是正方形ABCD的中心，则向量eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(CO,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))是( D )
A．平行向量 B．有相同终点的向量
C．相等向量 D．模相等的向量
[解析] 画出图形如图所示，显然向量eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(CO,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))是模相等的向量．
3．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100eq \r(3) m，则此人位移的方向是( C )
A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
[解析] 如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，则tan∠BAC＝eq \f(100\r(3),100)＝eq \r(3)，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．
4．在同一平面上，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( B )
A．一条线段 B．一条直线
C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆
[解析] 由于向量的起点确定，而向量平行于同一直线，所以随着向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线．
5．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( B )
A．eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线 B．eq \(DE,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))共线
C．eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AE,\s\up6(→))相等 D．eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))相等
[解析] 如图，因为D，E分别是AB，AC的中点，所以由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以eq \(DE,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))共线．
二、填空题
6．零向量与单位向量的关系是_共线__(填“共线”“相等”“无关”)．
7．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出_6__个互不相等的非零向量．
[解析] 模为1个单位的向量有2个，如eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))；模为2个单位的向量有2个，如eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))；模为3个单位的向量有2个，如eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，故共有6个．
8.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：
(1)图中与eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量有 eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(EA,\s\up6(→)) ；
(2)图中与eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量有 eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→)) ；
(3)图中与eq \(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有 eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→)) ；
(4)图中与eq \(EC,\s\up6(→))相等的向量有 eq \(BD,\s\up6(→)) .
三、解答题
9．如图，线段AE的四等分点分别是B，C，D，写出以A，B，C，D，E中的两点为起点和终点，且分别满足下列条件的向量：
(1)与eq \(AC,\s\up6(→))共线且长度为|eq \(AC,\s\up6(→))|的所有向量；
(2)与eq \(AC,\s\up6(→))相等的所有向量．
[解析] (1)eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→)).
(2)eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→)).
10.如右图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1)写出与eq \(AF,\s\up6(→))、eq \(AE,\s\up6(→))相等的向量；
(2)写出与eq \(AD,\s\up6(→))模相等的向量．
[解析] (1)与eq \(AF,\s\up6(→))相等的向量为eq \(BE,\s\up6(→))、eq \(CD,\s\up6(→))，与eq \(AE,\s\up6(→))相等的向量为eq \(BD,\s\up6(→)).
(2)eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→)).
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是( ABC )
A．eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))
B．eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DE,\s\up6(→))
C．|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BE,\s\up6(→))|
D．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))
[解析] 由正六边形的性质可得eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DE,\s\up6(→))，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BE,\s\up6(→))|＝|eq \(FC,\s\up6(→))|，显然eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(FC,\s\up6(→))的方向不同，所以eq \(AD,\s\up6(→))≠eq \(FC,\s\up6(→)).
2．如图四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( C )
A．|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(EF,\s\up6(→))|
B．eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(FH,\s\up6(→))共线
C．eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(EH,\s\up6(→))共线
D．eq \(DC,\s\up6(→))与eq \(EC,\s\up6(→))共线
[解析] |eq \(AB,\s\up6(→))|与|eq \(EF,\s\up6(→))|一定相等，eq \(AB,\s\up6(→))和eq \(FH,\s\up6(→))一定共线，eq \(DC,\s\up6(→))和eq \(EC,\s\up6(→))一定共线，若eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(EH,\s\up6(→))共线，则BD∥EH，所以∠BDC＝∠DEH，显然不成立，所以eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(EH,\s\up6(→))不共线．故选C．
3．(多选题)在下列结论中，正确的是( ACD )
A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件
B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件
C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件
D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
[解析] 若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A正确，B错误，C、D正确，故选ACD．
二、填空题
4．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于_3π__.
[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
5．有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在▱ABCD中，一定有eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤共线向量是在一条直线上的向量．
其中，正确的说法是_③④__.
[解析] ①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；②A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行四边形ABCD中，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))平行且方向相同，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，故③正确；④a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；⑤共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．
三、解答题
6．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(5).
(1)画出所有的向量eq \(AC,\s\up6(→))；
(2)求|eq \(BC,\s\up6(→))|的最大值与最小值．
[解析] (1)画出所有的向量eq \(AC,\s\up6(→))如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，|eq \(BC,\s\up6(→))|取得最小值eq \r(12＋22)＝eq \r(5)；
②当点C位于点C5或C6时，|eq \(BC,\s\up6(→))|取得最大值eq \r(42＋52)＝eq \r(41).
∴|eq \(BC,\s\up6(→))|的最大值为eq \r(41)，最小值为eq \r(5).
C 组·探索创新
(多选题)(2023·江苏省南京市调研)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a的模相等的向量}，C＝{与a的模相等、方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列结论正确的是( ACD )
A．CA B．A∩B＝{a}
C．CB D．A∩B{a}
[解析] 因为A∩B＝{a，－a}，所以B选项错误．