高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步达标检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A 组·素养自测
一、选择题
1．(2023·上海期中)下列式子中，不能化简为eq \(PQ,\s\up6(→))的是( B )
A．eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))) B．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(AQ,\s\up6(→))
C．eq \(QC,\s\up6(→))－eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→)) D．eq \(BQ,\s\up6(→))－eq \(BP,\s\up6(→))
[解析] A项，eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→)))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
B项，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(QB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(QP,\s\up6(→))；
C项，eq \(QC,\s\up6(→))－eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→))＝eq \(QC,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(QC,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
D项，eq \(BQ,\s\up6(→))－eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→)).
故选B．
2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( C )
A．eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))
B．eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))
D．eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝0
[解析] A项显然正确，由平行四边形法则知B正确；C项中eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，故C错误；D项中eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝0，故选C．
3.如图，D，E，F是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))＝( D )
A．eq \(FD,\s\up6(→)) B．eq \(FC,\s\up6(→))
C．eq \(FE,\s\up6(→)) D．eq \(BE,\s\up6(→))
[解析] 由图可知，eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→)).
4．八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(ED,\s\up6(→))＝( B )
A．eq \(OD,\s\up6(→)) B．eq \(DO,\s\up6(→))
C．eq \(DA,\s\up6(→)) D．eq \(AD,\s\up6(→))
[解析] eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(EO,\s\up6(→))－eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→)).
5．(多选题)化简以下各式，结果为零向量的是( ABC )
A．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)) B．eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))
C．eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)) D．eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(PM,\s\up6(→))
[解析] A项，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0；
B项，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))－(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝0；
C项，eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝0；
D项，eq \(NQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))－eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(NP,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))＝2eq \(MP,\s\up6(→))≠0.
二、填空题
6．在△ABC中，D是BC的中点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(BD,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝d，则d－a＝ c ，d＋a＝ b .
[解析] 由题意得d－a＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝c，
d＋a＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
7．若非零向量a与b互为相反向量，给出下列结论：①a∥b；②a≠b；③|a|≠|b|；④b＝－a.其中所有正确命题的序号为_①②④__.
[解析] 非零向量a、b互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确．
8．如图所示，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，
则：(1)与向量eq \(AD,\s\up6(→))相等的向量有 eq \(OC,\s\up6(→)) ；
(2)与向量eq \(OA,\s\up6(→))相反的向量有 eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→)) ；
(3)与向量eq \(OA,\s\up6(→))的模相等的向量有 eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)) .(填图中所画出的向量)
[解析] 因为O是正三角形ABC的中心，所以OA＝OB＝OC．
因为四边形AOCD为平行四边形，所以AD∥OC，且AD＝OC．
根据图形可知，与向量eq \(AD,\s\up6(→))相等的向量有eq \(OC,\s\up6(→))；
由已知可得，OA∥CD，且OA＝CD，OA∥BE且OA＝BE.
所以，与向量eq \(OA,\s\up6(→))相反的向量有eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))；
因为OA＝CD＝BE，OA＝OB＝OC，
所以与向量eq \(OA,\s\up6(→))的模相等的向量有eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)).
故答案为eq \(OC,\s\up6(→))；eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))；eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)).
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))；
(2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BM,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→)))．
[解析] (1)eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \(NM,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \(NP,\s\up6(→))－eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→)).
(2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BM,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋(eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋0＝eq \(AD,\s\up6(→)).
10.如图，已知向量a、b、c、d、e.
(1)用a、d、e表示eq \(DB,\s\up6(→))；
(2)用b、c表示eq \(DB,\s\up6(→))；
(3)用a、b、e表示eq \(EC,\s\up6(→))；
(4)用c、d表示eq \(EC,\s\up6(→)).
[解析] (1)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a.
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＝－b－c.
(3)eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝e＋a＋b.
(4)eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \(DE,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝－c－d.
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列各式结果是eq \(AB,\s\up6(→))的是( B )
A．eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(MN,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)) B．eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))
C．eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)) D．eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(FC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))
[解析] eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))－eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→)).
2．在平行四边形ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|，则必有( C )
A．eq \(AD,\s\up6(→))＝0 B．eq \(AD,\s\up6(→))＝0或eq \(AB,\s\up6(→))＝0
C．▱ABCD为矩形 D．▱ABCD为正方形
[解析] 因为在▱ABCD中，显然|eq \(AD,\s\up6(→))|≠0，|eq \(AB,\s\up6(→))|≠0，则eq \(AD,\s\up6(→))≠0，eq \(AB,\s\up6(→))≠0，故A、B错误；
因为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，则|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(DB,\s\up6(→))|，
即平行四边形ABCD的对角线长相等，故▱ABCD为矩形，故C正确；
因为没有确定|eq \(AD,\s\up6(→))|，|eq \(AB,\s\up6(→))|是否相等，故无法确定▱ABCD是否为正方形，故D错误．
故选C．
3．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( A )
A．eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝0 B．eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CF,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝0
C．eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))－eq \(CF,\s\up6(→))＝0 D．eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(FC,\s\up6(→))＝0
二、填空题
4．已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))满足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为_平行四边形__.
[解析] ∵eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))，
∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，∴eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→)).
∴|eq \(DA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
5．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝_5或9__.
[解析] 当a与b方向相同时，|a－b|＝|a|－|b|＝7－2＝5；
当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9.
三、解答题
6．已知点B是▱ACDE内一点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AE,\s\up6(→))＝c，试用a、b、c表示向量eq \(CD,\s\up6(→))、eq \(BC,\s\up6(→))、eq \(BE,\s\up6(→))、eq \(CE,\s\up6(→))及eq \(BD,\s\up6(→)).
[解析] ∵四边形ACDE为平行四边形．
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＝c；
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a；
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝c－a；
eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝c－b；
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.
C 组·探索创新
如图，已知eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝d，eq \(OF,\s\up6(→))＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)eq \(AC,\s\up6(→))；
(2)eq \(AD,\s\up6(→))；
(3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))；
(4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))；
(5)eq \(BF,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)).
[解析] (1)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝c－a.
(2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝－a＋d.
(3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＝d－b.
(4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \(OF,\s\up6(→))＝b－a－c＋f.
(5)eq \(BF,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝f－b－d＋b＝f－d.