人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课时训练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课时训练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．若向量eq \(OF1,\s\up6(→))＝(1,1)，eq \(OF2,\s\up6(→))＝(－3，－2)分别表示两个力F1、F2，则|F1＋F2|为( C )
A．(5,0) B．(－5,0)
C．eq \r(5) D．－eq \r(5)
[解析] ∵eq \(OF1,\s\up6(→))＝(1,1)，eq \(OF2,\s\up6(→))＝(－3，－2)，
∴|F1＋F2|＝eq \r(1－32＋1－22)＝eq \r(5)，故选C．
2．(2023·四川绵阳期末)△ABC中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，若c·(c＋a－b)<0，则△ABC是( C )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定形状
[解析] 由已知，eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·2eq \(AC,\s\up6(→))<0，
∴A为钝角，故选C．
3．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为( B )
(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，eq \r(3)≈1.732)
A．63 B．69
C．75 D．81
[解析] 由题意知，F1＝F2＝400，夹角θ＝60°，所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)；所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cs 60°＋4002＝3×4002；|G|＝400eq \r(3)(N)，则该学生的体重(单位：kg)约为40eq \r(3)＝40×1.732≈69(kg)．
4．点O是△ABC所在平面内的一点，满足eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))，则点O是△ABC的( D )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高线的交点
[解析] 由eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))，
得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OB,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，即eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0.
∴eq \(OB,\s\up6(→))⊥eq \(CA,\s\up6(→)).同理可证eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→)).
∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且eq \(DE,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，则|eq \(DE,\s\up6(→))|等于( B )
A．eq \f(5,2) B．2eq \r(3)
C．3 D．2eq \r(2)
[解析] 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设|eq \(AD,\s\up6(→))|＝a(a>0)，则A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，
所以eq \(DE,\s\up6(→))＝(2，－a)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，a)．
因为eq \(DE,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.
所以a＝2eq \r(2)，所以eq \(DE,\s\up6(→))＝(2，－2eq \r(2))，
所以|eq \(DE,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋－2\r(2)2)＝2eq \r(3).
二、填空题
6．一物体受到相互垂直的两个力f1，f2的作用，两力大小都为5eq \r(3) N，则两个力的合力的大小为 5eq \r(6) N.
[解析] 根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为eq \r(2)×5eq \r(3)＝5eq \r(6)(N)．
7．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是_－11__J.
[解析] ∵W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11 J.
8．如图，已知|p|＝2eq \r(2)，|q|＝3，p，q的夹角为eq \f(π,4)，若eq \(AB,\s\up6(→))＝5p＋2q，eq \(AC,\s\up6(→))＝p－3q，D为BC的中点，则|eq \(AD,\s\up6(→))|＝ eq \f(15,2) .
[解析] 由向量加法的平行四边形法则知2eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝6p－q，2|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|6p－q|＝eq \r(36×2\r(2)2－12×2\r(2)×3×\f(\r(2),2)＋32)＝15，
∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(15,2).
三、解答题
9．(1)已知某人在静水中游泳的速度为4eq \r(3) km/h，河水的水流速度为4 km/h，现此人在河中游泳．如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)▱ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
[解析] (1)如图，设此人在静水中游泳的速度为eq \(OB,\s\up6(→))，水流的速度为eq \(OA,\s\up6(→))，
以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，
由题意，eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝4eq \r(3)，所以|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r( |eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2)＝8，
在Rt△OAC中，tan∠AOC＝eq \f(AC,OA)＝eq \r(3)，所以∠AOC＝60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8 km/h.
(2)取{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))}为基底，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则|a|＝2，|b|＝1，
从而eq \(DB,\s\up6(→))＝a－b，所以eq \(DB,\s\up6(→))2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，即4＝5－2a·b，
所以a·b＝eq \f(1,2)，又eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，所以eq \(AC,\s\up6(→))2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋1＝6，
所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即对角线AC的长为eq \r(6).
10．如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD．
[证明] ∵eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝|eq \(AD,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝0.
∴eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→)).∴AC⊥BD．
B 组·素养提升
一、选择题
1．在四边形ABCD中，若eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，则该四边形的面积为( C )
A．eq \r(5) B．2eq \r(5)
C．5 D．10
[解析] 通过观察可知eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝－4＋4＝0，即四边形的两条对角线AC，BD相互垂直．故这个四边形的面积S＝eq \f(1,2)|AC|·|BD|＝eq \f(1,2)×eq \r(12＋22)×eq \r(－42＋22)＝5.故选C．
2．若O是△ABC内一点，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则O为△ABC的( D )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
[解析] 如图，取AB的中点E，连接OE，
则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OE,\s\up6(→)).又eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝－2eq \(OE,\s\up6(→)).又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2|eq \(OE,\s\up6(→))|.
所以O为△ABC的重心．
3．(2023·福建厦门)平面上的三个力F1，F2，F3作用于同一点，且处于平衡状态．已知F1＝(1,0)，|F2|＝2，〈F1，F2〉＝120°，则|F3|＝( C )
A．eq \f(1,2) B．1
C．eq \r(3) D．2
[解析] 由已知，可得F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)．
因为F1＝(1,0)，所以|F1|＝1，
所以F1·F2＝|F1|·|F2|cs 〈F1，F2〉＝1×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，
所以|F3|2＝F32＝(F1＋F2)2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2＝1＋4－2＝3，
所以|F3|＝eq \r(3).
故选C．
二、填空题
4．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k,10)，若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，则k＝ eq \f(3,2) ；若A，B，C三点共线，则k＝ －eq \f(2,3) .
[解析] ∵向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k,10)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(－k－4,5)．
若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，则eq \r(4－k2＋49)＝eq \r(－k－42＋25)，解得k＝eq \f(3,2).
若A，B，C三点共线，则向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))共线，
∴5(4－k)＝－7(－k－4)，
解得k＝－eq \f(2,3).
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2eq \r(2)，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝2，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值是_6__.
[解析] 建立如图所示的坐标系，
由图可得A(0,0)，B(2,0)，E(2，eq \r(2))，F(x,2eq \r(2))，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝(2,0)·(x,2eq \r(2))＝2x＝2，
即有x＝1.
即F(1,2eq \r(2))，eq \(AF,\s\up6(→))＝(1,2eq \r(2))，
则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝(2，eq \r(2))·(1,2eq \r(2))＝2＋4＝6.
故答案为6.
三、解答题
6．一物体受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用处于平衡状态，已知F1，F2的夹角为60°，F1，F2的模分别为3和4，求cs〈F1，F3〉的值．
[解析] ∵－F3＝F1＋F2，∴|F3|2＝|F1＋F2|2＝Feq \\al(2,1)＋2F1·F2＋Feq \\al(2,2)＝9＋2×3×4×eq \f(1,2)＋16＝37，则|F3|＝eq \r(37)，又∵－F2＝F1＋F3，∴|F2|2＝|F1|2＋2F1·F3＋|F3|2，即16＝9＋2F1·F3＋37，解得F1·F3＝－15.
∴cs〈F1，F3〉＝eq \f(F1·F3,|F1||F3|)＝eq \f(－15,3×\r(37))＝－eq \f(5\r(37),37).
C 组·探索创新
在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?
[解析] 以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
由于AB＝AC＝5，BC＝6，所以B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)．则eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，－4)，由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点．
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(4,3)))，于是Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(8,3)))，所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(8,3)))，假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，
则设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BM,\s\up6(→))，且0<λ<1，
即eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(8,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4λ，\f(8,3)λ))，所以eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝(－6,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4λ，\f(8,3)λ))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4λ－6，\f(8,3)λ))，由于PC⊥BM，所以eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝0，得4(4λ－6)＋eq \f(8,3)λ·eq \f(8,3)＝0，解得λ＝eq \f(27,26).由于λ＝eq \f(27,26)∉(0,1)，所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.