人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用第3课时复习练习题

这是一份人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用第3课时复习练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( D )
A．γ，c，α B．b，c，α
C．c，α，β D．b，α，γ
[解析] 本题中a、c、β这三个量不易直接测量，故选D．
2．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( A )
A．20eq \r(3) m，eq \f(40\r(3),3) m
B．10eq \r(3) m,20eq \r(3) m
C．10(eq \r(3)－eq \r(2)) m,20eq \r(3) m
D．eq \f(15\r(3),2) m，eq \f(20\r(3),3) m
[解析] 由题意知，h甲＝20tan 60°＝20eq \r(3)(m)，
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝eq \f(40\r(3),3)(m)．
3．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，则此山的高度CD＝( A )
A．300eq \r(6) m B．100eq \r(6) m
C．100 m D．300 m
[解析] 如图由题意得：∠BAC＝30°，∠HBC＝75°，AB＝600，
在△BCD中，∠CBD＝60°，
在△ABC中，∠ACB＝75°－30°＝45°，
由正弦定理得：eq \f(AB,sin ∠ACB)＝eq \f(BC,sin ∠BAC)，即eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，
解得：BC＝300eq \r(2)，
由于CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC，
则CD＝BCtan 60°＝300eq \r(2)×eq \r(3)＝300eq \r(6)(m)．
故选A．
4．(多选题)某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地eq \r(3) km，那么x的值为( AC )
A．eq \r(3) B．2
C．2eq \r(3) D．5
[解析] 本题考查余弦定理的应用．由题意得(eq \r(3))2＝32＋x2－2×3xcs 30°，解得x＝eq \r(3)或2eq \r(3)，故选AC．
5．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为( B )
A．eq \f(hsin αsin β,sinα－β) B．eq \f(hsinβ－α,sin αsin β)
C．eq \f(hsinα,sinβsinα－β) D．eq \f(hsinβ,sinαsinα－β)
[解析] 在Rt△ADC中，AC＝eq \f(h,sin β)，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝eq \f(ACsinβ－α,sinα)＝eq \f(hsinβ－α,sin αsin β).
二、填空题
6．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是 eq \r(6) km.
[解析] 如图所示，由题意易知C＝45°，
由正弦定理得eq \f(AC,sin 60°)＝eq \f(2,sin 45°)，
从而AC＝eq \f(2,\f(\r(2),2))·eq \f(\r(3),2)＝eq \r(6)(km)．
7．一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿_北偏东40°__方向行驶 10eq \r(3) 海里至海岛C．
[解析] 在△ABC中，∠ABC＝110°＋10°＝120°.
又AB＝BC，故∠CAB＝∠ACB＝30°，
AC＝eq \r(102＋102－2×10×10cs 120°)
＝10eq \r(3).
故此船沿着北偏东70°－30°＝40°方向行驶了10eq \r(3)海里到达海岛C．
8．如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高300 m的M处(即MD＝300 m)，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高BC＝_450__m.
[解析] 依题意∠AMD＝45°，则AM＝eq \r(2)MD＝300eq \r(2)，∠CMA＝45°＋15°＝60°，∠CAB＝60°，
故∠MAC＝180°－60°－45°＝75°，∠ACM＝180°－75°－60°＝45°，
在△MAC中，由正弦定理得eq \f(AC,sin∠AMC)＝eq \f(MA,sin∠ACM)，即eq \f(AC,sin 60°)＝eq \f(300\r(2),sin 45°)，
解得AC＝300eq \r(3)，则BC＝ACsin 60°＝450.
故答案为450.
三、解答题
9．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)
[解析] 在△ACD中，∠CAD＝60°，
AD＝eq \f(CD·sin 45°,sin 60°)＝eq \f(\r(6),3)CD．
在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝eq \f(CD·sin 30°,sin 135°)＝eq \f(\r(2),2)CD，∠ADB＝90°.
在Rt△ABD中，AB＝eq \r(AD2＋BD2)＝eq \f(\r(42),6)CD＝1 000eq \r(42)(m)．
10．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度．
[解析] 设建筑物的高度为h，由题图知，
PA＝2h，PB＝eq \r(2)h，PC＝eq \f(2\r(3),3)h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得
cs ∠PBA＝eq \f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①
cs ∠PBC＝eq \f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cs ∠PBA＋cs ∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30eq \r(6)或h＝－30eq \r(6)(舍去)，即建筑物的高度为30eq \r(6) m.
B 组·素养提升
一、选择题
1．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是( D )
A．100 m B．400 m
C．200 m D．500 m
[解析] 设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq \r(3)x. 在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，由余弦定理得(eq \r(3)x)2＝x2＋5002－2×500xcs 120°，解得x＝500 m.
2．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min后到达B点处看山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0.1 km，参考数据：eq \r(3)≈1.732)( B )
A．11.4 km B．6.6 km
C．6.5 km D．5.6 km
[解析] 本题考查正弦定理的实际应用．
∵AB＝1 000×eq \f(1,60)＝eq \f(50,3)(km)，
∴BC＝eq \f(AB,sin 45°)·sin 30°＝eq \f(50,3\r(2))(km)．
∴航线离山顶的距离为eq \f(50,3\r(2))×sin 75°＝eq \f(50,3\r(2))×sin eq \f(\r(6)＋\r(2),4)≈11.4(km)．
∴山顶的海拔为18－11.4＝6.6(km)．故选B．
3．如图所示，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为( A )
A．eq \r(3) km B．eq \r(2) km
C．1.5 km D．2 km
[解析] 在△ABC中，易知A＝30°，由正弦定理eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)，得AB＝eq \f(BCsin C,sin A)＝2×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)(km)．
二、填空题
4．如图所示，某次航展期间，一架表演机以300eq \r(2) km/h的速度在同一水平高度向正东方向飞行，地面上观众甲第一次观察到该表演机在北偏西60°方向，1 min后该表演机飞到北偏东75°方向，此时仰角为30°，则该表演机的飞行高度为 eq \f(5\r(3),3) km.
[解析] 如图所示，由AF⊥BC，则∠CAF＝60°，∠BAF＝75°，∠BAD＝30°，
又由四边形BCED为矩形，可得BC＝DE＝300eq \r(2)×eq \f(1,60)＝5eq \r(2)，
且∠BAC＝∠CAF＋∠BAF＝60°＋75°＝135°，
在△ABC中，根据正弦定理可得eq \f(BC,sin ∠BAC)＝eq \f(AB,sin ∠BCA)，
即eq \f(AB,sin 30°)＝eq \f(5\r(2),sin 135°)，解得AB＝eq \f(5\r(2)·sin 30°,sin 135°)＝5，
所以BD＝AB·tan∠BAD＝5tan 30°＝eq \f(5\r(3),3).
故答案为eq \f(5\r(3),3).
5．某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离．已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为 150eq \r(7) 米．
[解析] 令甲的位置为点C，如图，在△ABC中，AC＝400，AB＝500，BC＝600，
由余弦定理得cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(5002＋4002－6002,2×500×400)＝eq \f(1,8)，sin A＝eq \r(1－cs 2A)＝eq \f(3\r(7),8)，
过C作CD⊥AB于D，所以所求距离的最小值为CD＝ACsin A＝400×eq \f(3\r(7),8)＝150eq \r(7)(米)．
故答案为150eq \r(7).
三、解答题
6．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
[解析] (1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cs ∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cs 120°＝784.解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为eq \f(BC,2)＝14 n mile/h.
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得eq \f(AB,sin α)＝eq \f(BC,sin 120°).
即sin α＝eq \f(ABsin 120°,BC)＝eq \f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq \f(3\r(3),14).
C 组·探索创新
如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6 km的速度步行了1 min以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.
(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；
(2)求塔的高AB．(结果保留根号，不求近似值)
[解析] (1)依据题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6 000×eq \f(1,60)＝100(m)，
∠BDC＝45°－30°＝15°，
由正弦定理，得eq \f(CD,sin ∠DBC)＝eq \f(BC,sin ∠BDC)，
∴BC＝eq \f(CD·sin ∠BDC,sin ∠DBC)＝eq \f(100×sin 15°,sin 135°)＝eq \f(100×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(\r(2),2))
＝eq \f(50\r(6)－\r(2),\r(2))＝50(eq \r(3)－1)(m)，
在Rt△ABE中，tan α＝eq \f(AB,BE)，
∵AB为定长，当BE的长最小时，α取最大值60°，
这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cs ∠BCE＝50(eq \r(3)－1)·eq \f(\r(3),2)＝25(3－eq \r(3))(m)，
设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t min，则t＝eq \f(EC,6 000)×60＝eq \f(253－\r(3),6 000)×60＝eq \f(3－\r(3),4)(min)．
(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin ∠BCD，
所以AB＝BE·tan 60°＝BC·sin ∠BCD·tan 60°＝50(eq \r(3)－1)×eq \f(1,2)×eq \r(3)＝25(3－eq \r(3))(m)，即所求塔高为25(3－eq \r(3))m.