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    2024江苏省海安高级中学高三上学期12月月考试题数学含答案

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    2024江苏省海安高级中学高三上学期12月月考试题数学含答案

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    这是一份2024江苏省海安高级中学高三上学期12月月考试题数学含答案,共9页。试卷主要包含了12,设集合,集合,则,已知,则,已知为正实数,,则等内容,欢迎下载使用。
    2023.12
    注意事项及说明:本卷考试时间为120分钟,全卷满分为150分.
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.
    1.设集合,集合,则( )
    A. B. C. D.
    2.在复平面内,为原点,为虚数单位,复数对应的向量,则( )
    A.3 B. C.2 D.
    3.已知函数在上单调递减,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    4.已知平面向量,则在上的投影向量为( )
    A. B. C. D.
    5.《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题,请给出答案:把200个面包分给5个人,使每人所得面包个数成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份为( )
    A. B. C. D.
    6.若直线过抛物线的焦点,与抛物线交于两点,且线段中点的横坐标为4,则( )
    A.12 B.14 C.16 D.18
    7.已知圆,点是圆内一点,过点的圆的最短弦所在直线为,直线的方程为,则( )
    A.,且与圆相离 B.,且与圆相切
    C.,且与圆相交 D.,且与圆相离
    8.已知,则( )
    A. B. C. D.
    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分,请把答案填涂在答题卡相应位置上.
    9.甲、乙两地12月初连续7天的日最高气温数据如图所示,则关于这7天,以下判断正确的是( )
    A.甲地日最高气温的平均数为 B.甲地日最高气温的极差为
    C.乙地日最高气温的众数为 D.乙地日最高气温的中位数为
    10.已知为正实数,,则( )
    A.的最大值为1 B.的最小值3
    C.的最小值为 D.的最小值为
    11.在平行六面体中,分别是的中点,是线段上的两个动点,且,以为顶点的三条棱长都是1,,则( )
    A.平面 B.
    C.三棱锥的体积是定值 D.三棱锥的外接球的表面积是
    12.定义在上的函数满足如下条件:①;②当时,.则( )
    A. B.在上是增函数
    C.是周期函数 D.
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
    13.“北依长江,南临太湖、江苏之南,明珠无锡.总要来趟无锡吧”!某游客从鼋头渚、梅园、蠡园、锡
    惠公园、灵山胜境、拈花湾六个景点中任选三个进行游览,则他选中鼋头渚的概率为__________.
    14,若某圆锥高为4,其侧面积与底面积之比为3:1,则该圆锥的体积为__________.
    15.已知函数图象上有一最低点,将此函数的图象向左平移个单位长度得的图象,若函数的图象在处的切线与的图象恰好有三个公共点,则的值是__________.
    16.已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线与圆相切于点,且直线与双曲线的右支交于点,若,则双曲线的离心率为__________.
    四、解答题:本题共6小题,共70分、请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(本题满分10分)
    设内角的对边分别为,已知.
    (1)求;
    (2)若,且的面积为,求角的角平分线的长.
    18.(本题满分12分)
    某大型公司招聘新员工,应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试,只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节,已知2023年共有1000人参加该公司的笔试,笔试成绩.
    (1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人,求这4人中至少有一人进入面试的概率;
    (2)甲、乙、丙三名应聘人员进入面试环节,且他们通过面试的概率分别为.设这三名应聘人员中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
    (参考数据:若,则,
    19.(本题满分12分)
    如图,在四棱锥中,平面,点是的重心.
    (1)求证:平面平面;
    (2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的长度.
    20.(本题满分12分)
    已知数列的首项,且满足,记.
    (1)证明:是等比数列;
    (2)记,证明;数列的前项和.
    21.(本题满分12分)
    将圆上各点的横坐标变为原来的5倍,纵坐标变为原来的4倍,所得的曲线为.记曲线与轴负半轴和轴正半轴分别交于两点,为轴上一点.
    (1)求曲线的方程;
    (2)连接交曲线于点,过点作轴的垂线交曲线于另一点.记的面积为,记的面积为,求的取值范围.
    22.(本题满分12分)
    已知函数.
    (1)求函数(其中)的单调区间;
    (2)若不等式对一切正实数恒成立,求实数的取值范围.
    12月数学测试参考答案
    1-8BDCB BCAD
    9.AD 10.ABD 11.ACD 12.ABD
    13. 14. 15. 16.
    17.(1)由题设及正弦定理得.
    因为,所以.
    由,可得,故.
    因为,故,因此.
    (2)因为,所以
    设的角平分线交于,因为,
    所以,所以
    18.(1)记“至少有一人进入面试”,由已知得,
    所以,

    即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.
    (2)的可能取值为,
    则随机变量的分布列为
    所以.
    19.(1)证明:平面平面.
    又平面平面,
    又平面平面平面;
    (2)取中点为,连接,
    因为,
    则,即四边形为矩形,故,
    又平面平面,则可得两两垂直,
    故以为坐标原点,以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
    设,
    易证,又,所以点是的重心,

    又,设平面的一个法向量,
    则,即,取,
    设与平面所成角为,
    .
    化简得,,
    解得或或,即的长度为或.
    20.(1)因为,所以,
    所以,
    因为,所以;
    因为,所以,
    所以,
    所以是以5为首项,2为公比的等比数列.
    (2)由(1)可得,
    因为,
    所以得证.
    21.(1)设曲线上任一点的坐标为,圆上的对应点的坐标为,
    由题意可得,因为,所以曲线的方程为;
    (2)连接交轴于点.
    直线,联立解得点,
    因为关于轴对称,所以
    所以直线,所以,
    所以
    因为,所以.
    法二:(转化为到的距离与到距离之比)
    22.(1),因为,
    所以
    ①当时,恒成立,此时在上单调递增;
    ②当时,.
    当时,恒成立,此时在上单调递增;
    当时,当时,当时,
    此时在上单调递增,在上单调递减.
    综上,当时,的增区间为;无减区间;
    当时,增区间为;减区间为.
    (2)不等式对一切正实数恒成立,
    即对一切正实数恒成立.
    当时,,则;
    当时,,则.
    因此当时,恒成立.
    又当时,,故当时,恒成立.
    下面讨论的情形.
    当且时,.
    设且
    记.
    ①当,即时,恒成立,故在及上单调递增.
    于是当时,,又,故,即.
    当时,,又,故,即.
    又当时,.
    因此当时,对一切正实数恒成立.
    ②当,即时,设的两个不等实根分别为.
    函数图像的对称轴为,
    又,于是.
    故当时,,即,从而在在单调递减;
    而当时,,此时,于是,
    即,
    因此当时,对一切正实数不恒成立.0
    1
    2
    3

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