人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直图片ppt课件

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8．6　空间直线、平面的垂直8．6.2　直线与平面垂直第2课时　直线与平面垂直的性质
 1．借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明．2．会应用直线和平面垂直的性质定理证明一些空间的简单线面关系． 在发现、推导和应用直线与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养．
直线与平面垂直的性质定理
练一练：1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( 　　)A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b与α相交[解析]　由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C.
2．如图，已知AF⊥平面ABCD，平面DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝_____.[解析]　∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.∵AF＝DE，∴四边形ADEF是平行四边形，∴EF＝AD＝6.
1．直线与平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上___________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．2．两个平行平面间的距离如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
想一想：1．l∥平面α，A∈l，B∈l，则A，B到平面α的距离有什么关系？提示：相等．2．在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高的本质是什么？提示：它们的高的本质就是它们的上、下底面间的距离．
2．线段AB在平面α的同侧，点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为_____.[解析]　 如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：
其中正确命题的序号是( 　　)A．②③B．③④C．①②D．①②③④[解析]　①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A.
[归纳提升]　判定两条直线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面．下列命题中正确的个数为( 　　)①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.A．1B．2C．3D．0[解析]　对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m⊂α或m⊥α或m与α斜交，即③错误.
如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，∠PDA＝45°，M∈AB，N∈PC，且MN⊥AB，MN⊥CP，E为PD中点．求证：AE∥MN.
[证明]　∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰三角形．∵E为中点，∴AE⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AD⊥CD，且PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE.又AE⊥PD，且CD∩PD＝D，
∴AE⊥平面PCD.又MN⊥AB，且AB∥CD，所以MN⊥CD，又∵MN⊥CP，且CP∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.∵AE⊥平面PCD，∴AE∥MN.
[归纳提升]　(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直．(2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
[证明]　如图所示，连接AB1，B1C，BD.因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1.又BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C.因为EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.
[分析]　(1)根据AC2＋BC2＝AB2得AC⊥BC，并且得出四边形ACNM为正方形，进而即可求证；(2)利用等体积法的思想求点到平面的距离．
[归纳提升]　空间中距离的转化(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.(1)证明：BC1∥平面D1AC；(2)求直线BC1到平面D1AC的距离．[解析]　(1)证明：因为ABCD－A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB＝C1D1，故四边形ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然BC1⊄面D1AC，于是直线BC1∥平面D1AC.
如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.
[证明]　因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.
[归纳提升]　线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？[解析]　因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.又因为AF⊥SC于点F，EF⊥SC交SB于点E，所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB.
[错因分析]　解答本题时只考虑A，B在平面同一侧的情况，没有考虑A，B在平面两侧的情况而出现漏解．[正解]　①当点A，B在平面α的同侧时，由题意知直线AB与平面α所成的角为30°.②当点A，B位于平面α的两侧时，如右图，过点A，B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB与平面α相交于点C，A1B1为AB在平面α上的射影，∴∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．在Rt△BCB1中，BB1＝2.在Rt△ACA1中，AA1＝1.
在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝_______.
1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( 　　)A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线[解析]　在平面α内必有直线m和直线l所成的角为90°，所以二者垂直．
2．已知△ABC所在的平面为α，l，m是两条不同的直线，l⊥AB，l⊥AC，m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( 　　)A．相交B．异面C．平行D．不确定[解析]　∵l⊥AB，l⊥AC，AB⊂α，AC⊂α，且AB∩AC＝A，∴l⊥α，同理可证m⊥α，∴l∥m，∴直线l，m的位置关系是平行．故选C.
3．已知PA垂直平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是( 　　)A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形[解析]　因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为PC⊥BD，且PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以AC⊥BD.
4．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β，γ的距离分别为3 m，4 m，1 m，则P与墙角B的距离为______m.
5．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，如图所示，A1A＝AB＝a，G，E，F分别是A1C1，AB，BC的中点，求证：直线EF⊥直线GB.