高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时复习练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·素养自测
一、选择题
1．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1交A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( D )
A．平行
B．EF⊂平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直
D．相交且垂直
[解析] 由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF⊥平面A1B1C1D1相交且垂直．
2．已知空间中a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( D )
A．a⊂α，b⊂β，α∥β⇒a与b异面
B．β⊥α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β
C．a⊥α，a⊥b⇒b∥α
D．a⊥α，b⊥α⇒a∥b
[解析] 因为a⊂α，b⊂β，α∥β，可得a与b异面或平行，故A错误；因为β⊥α，α∩β＝b，a⊥b，但不确定a与α的位置关系，故无法确定a与β是否垂直，故B错误；因为a⊥α，a⊥b，可得b∥α或b⊂α，故C错误；因为a⊥α，b⊥α，根据线面垂直的性质可得a∥b，故D正确；故选D.
3．(2023·昆明高一检测)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是( A )
A．l∥β或l⊂β B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
[解析] 直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，A正确；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，∴B错误；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则m⊥α或m与α相交或m⊂α或m∥α，∴C错误；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，∴D错误．故选A.
4．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是( B )
A．m∥n B．n⊥m
C．n∥α D．n⊥α
[解析] 由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m.
5．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( B )
A．PD⊂平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
[解析] ∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，PD⊂平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.
二、填空题
6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是_平行__.
[解析] 因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，
所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
7.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝ eq \r(5) .
[解析] ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，
∴PB＝eq \r(PA2＋AB2)＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5).
8.如图，在三棱锥C－ABD内，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为_6__.
[解析] ∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.
又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．
三、解答题
9．如图，AE，CD都垂直于平面ABC，平面BCD⊥平面BDE，且BC＝CD＝2AE，F为BD的中点，求证：
(1)EF∥平面ABC；
(2)EF⊥平面BCD.
[证明] (1)如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG，
因为F为BD的中点，FG为△BCD的中位线，所以FG∥CD，FG＝eq \f(1,2)CD，
又因为AE，CD都垂直于平面ABC，且CD＝2AE，所以AE∥CD，AE＝eq \f(1,2)CD，
所以FG∥AE，FG＝AE，所以四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG，
又因为EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)连接CF，因为BC＝CD，F为BD的中点，所以CF⊥BD，
又因为平面BCD⊥平面BDE，平面BCD∩平面BDE＝BD，CF⊂平面BCD，
所以CF⊥平面BDE，
因为EF⊂平面BDE，所以CF⊥EF，
因为CD⊥平面ABC，AG⊂平面ABC，所以CD⊥AG，
又因为EF∥AG，所以CD⊥EF，
因为CF∩BD＝F，且CF，BD⊂平面BCD，
所以EF⊥平面BCD.
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.
[证明] (1)∵PA＝PD，且E为AD的中点，
∴PE⊥AD.
∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC.
(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，
∵PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC中点G，连接FG，GD.
∵F，G分别为PB和PC的中点，
∴FG∥BC，且FG＝eq \f(1,2)BC.
∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
∴ED∥BC，DE＝eq \f(1,2)BC，∴ED∥FG，且ED＝FG，
∴四边形EFGD为平行四边形，∴EF∥GD.
又EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.
B组·素养提升
一、选择题
1．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在( A )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
[解析] 连接AC1.∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.
2．把边长为4的正方形ABCD，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的对角线AC的长为( A )
A．4 B．4eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
[解析] 如图所示，取BD的中点O，
连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，
由平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以∠AOC＝90°；
又AO＝CO＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)＝2eq \r(2)，
所以AC2＝AO2＋CO2＝8＋8＝16，
所以AC＝4，
即空间四边形ABCD的对角线AC＝4.
3．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为eq \f(π,4)和eq \f(π,6).过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′等于( A )
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
[解析] 由已知条件可知∠BAB′＝eq \f(π,4)，
∠ABA′＝eq \f(π,6)，设AB＝2a，
则BB′＝2asin eq \f(π,4)＝eq \r(2)a，A′B＝2acs eq \f(π,6)＝eq \r(3)a，
∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.
二、填空题
4．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于 eq \r(6) .
[解析] 如图，取CD的中点G，连接MG，NG .
因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq \r(2).
因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG⊂平面ABCD，
所以MG⊥平面DCEF，又NG⊂平面DCEF，所以MG⊥NG，所以MN＝eq \r(MG2＋NG2)＝eq \r(6).
5．(2023·山东师范大学附属中学期中)在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是 直角三角形 .
[解析] 如图，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD，
∴AE⊥平面BCD，
又∵BC⊂平面BCD，∴AE⊥BC.
∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴DA⊥BC，
又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，
而AB⊂平面ABD，所以BC⊥AB.
即△ABC 为直角三角形．
三、解答题
6．(2023·江西新余期末)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1.
(1)求证：平面BD1C1⊥平面A1B1CD；
(2)在棱AB上是否存在一点M，使D1B⊥平面MB1C？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，D1C1⊥平面BCC1B1.
∵B1C⊂平面BCC1B1，∴D1C1⊥B1C，
∵BC＝CC1＝1，∴四边形BCC1B1为正方形，
∴B1C⊥BC1.
又BC1∩D1C1＝C1，∴B1C⊥平面BD1C1.
∵B1C⊂平面A1B1CD，
∴平面BD1C1⊥平面A1B1CD.
(2)假设在棱AB上存在点M，使D1B⊥平面MB1C.
连接BD交MC于点O.
∵CM⊂平面MB1C，∴D1B⊥CM.
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD.
∵CM⊂平面ABCD，∴D1D⊥CM.
又D1D∩D1B＝D1，∴CM⊥平面BDD1.
∵BD⊂平面BDD1，∴CM⊥BD.
∵四边形ABCD为矩形，∴△ABD∽△BCM，
∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,BM)，
设AM＝m(0∴在棱AB上存在点M，使D1B⊥平面MB1C，此时AM＝eq \f(3,2).
C组·探索创新
如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cs α∶cs β＝ eq \r(5)∶2 .
[解析] 由题意，两个矩形的对角线长分别为5，2eq \r(5)，所以cs α＝eq \f(5,\r(25＋4))＝eq \f(5,\r(29))，cs β＝eq \f(2\r(5),\r(29))，所以cs α∶cs β＝eq \r(5)∶2.