2022-2023学年安徽省池州市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省池州市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果直线AB平行于y轴，则点A，B的坐标之间的关系是( )
A. 横坐标相等B. 纵坐标相等
C. 横坐标的绝对值相等D. 纵坐标的绝对值相等
2.点P在一次函数y=−3x−4的图象上，则点P不可能在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.若弹簧的总长度y(cm)是所挂重物x(千克)的一次函数图象如图，则不挂重物时，弹簧的长度是( )
A. 5cm
B. 8cm
C. 9cm
D. 10cm
4.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于( )
A. 120°B. 105°C. 60°D. 45°
5.已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b−c|−|c−a−b|的结果为( )
A. 2a+2b−2cB. 2a+2bC. 2cD. 0
6.下列命题中，①全等三角形的对应角相等；②全等的两个三角形成轴对称；③全等三角形的周长相等；④能够完全重合的两个三角形全等，其逆命题成立的是( )
A. ①②③B. ①④C. ②④D. ②
7.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A. 在AC，BC两边高线的交点处
B. 在AC，BC两边中线的交点处
C. 在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D. 在∠A，∠B两内角平分线的交点处
8.如图，在△ABC，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为
( )
A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，DE=3，∠B=30°，则BC=( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
10.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为24，AB=7，则△ADC的周长为( )
A. 10
B. 17
C. 20
D. 21.5
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.在函数y=x+2x−3+ 2x−4中，自变量x的取值范围是______．
12.将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A(−1,2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为______．
13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F.若BF=5，则FC的长为______ ．
14.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为______．
15.如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1,1)，B(3,1)，C(2,2)，当直线y=12x+b与△ABC有交点时，b的取值范围是______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为(−4,6)，点C坐标为(−1,4)．
(1)根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
(2)画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(3)请写出点B关于x轴对称点的坐标为______．
17.(本小题6分)
如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB=6，BC=3，∠C=55°，∠D=25°．
(1)求AE的长度；
(2)求∠AED的度数．
18.(本小题6分)
如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
19.(本小题8分)
某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数，其图象如图所示．
(1)若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？
(2)求当x>18时，y关于x的函数表达式，若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？
20.(本小题10分)
如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点E在BC的延长线上，ED⊥AB，交AC于点F，EF=FD．
(1)求证：AD=CE；
(2)若AB=12，求CF的长．
21.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．
(1)求证：CF=EB．
(2)若AB=12，AF=8，求CF的长．
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，过点B(6,0)的直线AB与y轴相交于点C(0,6)，与直线OA相交于点A且点A纵坐标为2，动点P沿路线O→A→C运动．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求△OAC的面积；
(3)当△OPC的面积是△OAC的面积的14时，求出这时点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的知识点是：平行于y轴的直线上的任意两点到y轴的距离相等，即横坐标相等．
根据平行于y轴的直线上的点的坐标特点解答．
【解答】解：∵直线AB平行于y轴，
∴点A，B的坐标之间的关系是横坐标相等．
故选A．
2.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=−3x−4中的k=−3<0，b=−4<0，
∴一次函数y=−3x−4的图象经过第二、三、四象限，
又∵点P在一次函数y=−3x−4的图象上，
∴点P不可能在第一象限．
故选：A．
利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y=−3x−4的图象经过第二、三、四象限，结合点P在一次函数y=−3x−4的图象上可得出点P不可能在第一象限．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：设一次函数表达式为：y=kx+b，
∵把(4,10)，(20,18)两点坐标代入表达式，
∴4k+b=1020k+b=18，
解得：k=12b=8，
∴y=12x+8，
∵不挂重物时，x=0，
∴y=8，
故选：B．
根据题意设出一次函数表达式，然后把(4,10)，(20,18)代入到表达式，求出k和b，即可求出函数表达式，最后把x=0，代入到表达式，求出y即可．
本题考查了一次函数的应用：运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实际问题中的数据，把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数图象描述实际问题．也考查了待定系数法求函数的解析式．
4.【答案】B
【解析】【解答】
解：如图，
∠2=90°−45°=45°，
由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°=45°+60°=105°．
故选：B．
【分析】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
先求出∠2，再根据三角形外角的性质列式计算即可得解．
5.【答案】D
【解析】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a+b−c>0，c−a−b<0，
故|a+b−c|−|c−a−b|=a+b−c+c−a−b=0．
故选：D．
根据三角形的三边关系“两边之和>第三边，两边之差<第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．
此题考查三角形三边关系，注意三角形的三边关系和绝对值的性质的综合运用．
6.【答案】C
【解析】解：①逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，属于假命题，不符合题意；
②逆命题为：成轴对称的两个三角形是全等的，成轴对称的两个三角形可以互相重合，是全等三角形，属于真命题，符合题意；
③逆命题为：周长相等的三角形全等，周长相等的三角形不一定全等，属于假命题，不符合题意；
④逆命题为：全等的两个三角形能够完全重合，属于真命题，符合题意；
综上所述，其逆命题成立的是②④，
故选：C．
先写出逆命题，再逐一判断即可得到答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，判断命题的真假，写出命题的逆命题，熟练掌握全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查的是等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及三角形外角性质，根据AB=AC可得∠B=∠C，由DA=DC得∠C=∠DAC，证得∠BDA=2∠C=2∠B，由BD=BA可得∠BAD=∠BDA=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【解答】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DA=DC，
∴∠C=∠DAC，
∴∠BDA=∠C+∠DAC=2∠C=2∠B，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=2∠C=2∠B，
设∠B=α，则∠BAD=∠BDA=2α，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴α+2α+2α=180°，
∴α=36°，
∴∠B=36°．
故选B．
9.【答案】C
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BED=90°，BD=AD，
∵DE=3，∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
∴AD=BD=6，
∴∠DAB=∠B=30°，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=90°−∠B=60°，
∴∠CAD=∠CAB−∠DAB=30°，
∵∠C=90°，
∴DC=12AD=3，
∴BC=BD+DC=6+3=9．
故选：C．
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=2DE=6，根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD=6，根据含30度角的直角三角形的性质得出DC=12AD=3，那么BC=BD+DC=9．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，求出BD与DC的长度是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BC．
∵△ABC的周长为24，AB=7，
∴△ADC的周长=AC+BC=△ABC的周长−AB=24−7=17．
故选：B．
先根据题意得出MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AD=BD，据此可得出结论．
本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
11.【答案】x≥2且x≠3
【解析】解：由题意，得
2x−4≥0且x−3≠0，
解得x≥2且x≠3，
故答案为：x≥2且x≠3．
根据分母不能为零且被开方数是非负数，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零且被开方数是非负数得出不等式是解题的关键．
12.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了一次函数图象与几何变换，关于y轴对称的点坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练记忆函数平移规律是解题关键．先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度后的直线解析式，再把点A(−1,2)关于y轴的对称点(1,2)代入，即可求出b的值．
【解答】
解：将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，得直线y=x+b−3．
∵点A(−1,2)关于y轴的对称点是(1,2)，
∴把点(1,2)代入y=x+b−3，得1+b−3=2，
解得b=4．
故答案为4．
13.【答案】10
【解析】解：如图，连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵EF为AB的垂直平分线，
∴AF=BF=5，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠FAC=∠BAC−∠BAF=90°，
∴CF=2AF=10．
故答案为：10．
连接AF，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质可得出AF=BF=5，从而得出∠BAF=∠B=30°，进而可求出∠FAC=90°，最后根据含30°度角的直角三角形的性质即可求解．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，含30°度角的直角三角形的性质．正确连接辅助线是解题关键．
14.【答案】48°
【解析】【分析】
根据角平分线的定义可得∠DBC=∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCE=24°，然后可算出∠ABC的度数．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【解答】
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵∠ACF=48°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠FBC，
∴∠ABC=2∠FCE，
∵∠ACF=48°，
∴3∠FCE=120°−48°=72°，
∴∠FCE=24°，
∴∠ABC=48°，
故答案为：48°．
15.【答案】−12≤b≤1
【解析】【分析】
本题考查了一次函数与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在第一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在第一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在第二、三、四象限．
利用函数图象，把C点和B点坐标分别代入y=12x+b中求出对应的b的值，从而得到直线y=12x+b与△ABC有交点时，b的取值范围．
【解答】
解：把C(2,2)代入y=12x+b得1+b=2，解得b=1，
把B(3,1)代入y=12x+b得32+b=2，解得b=−12，
所以当直线y=12x+b与△ABC有交点时，b的取值范围是−12≤b≤1．
故答案为−12≤b≤1．
16.【答案】解：(1)如图，平面直角坐标系xOy即为所求；
(2)如图，△A1B1C1即为所求；
(3)(−2,−2)
【解析】【分析】
本题考查了作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
(1)根据点A坐标为(−4,6)，点C坐标为(−1,4).即可在网格中建立平面直角坐标系xOy；
(2)根据△ABC三个顶点的坐标确定它们关于y轴对称的点的坐标，再顺次连接即可画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(3)根据轴对称的性质即可写出点B关于x轴对称点的坐标．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)∵B(−2,2)，
∴点B关于x轴对称点的坐标为(−2,−2)．
故答案为：(−2,−2)．
17.【答案】解：(1)∵△ABC≌△DEB，
∴BE=BC=3，
∴AE=AB−BE=6−3=3；
(2)∵△ABC≌△DEB，
∴∠A=∠D=25°，∠DBE=∠C=55°，
∴∠AED=∠D+∠DBE=25°+55°=80°．
【解析】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析．
(1)根据全等三角形的性质解答即可；
(2)根据全等三角形的性质解答即可．
18.【答案】证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF．
∵AD是△ABC的角平分线
∴AD是线段EF的垂直平分线．
【解析】根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．
19.【答案】解：(1)由纵坐标看出，某月用水量为18立方米，则应交水费45元；
(2)由81元>45元，得用水量超过18立方米，
设函数解析式为y=kx+b (x>18)，
∵直线经过点(18,45)(28,75)，
∴18k+b=4528k+b=75，
解得k=3b=−9，
∴函数的解析式为y=3x−9 (x>18)，
当y=81时，3x−9=81，
解得x=30．
答：这个月用水量为30立方米．
【解析】(1)根据函数图象上点的纵坐标，可得答案；
(2)根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题关键．
20.【答案】(1)证明：过D作DM/​/BE交AC于M，则∠MDF=∠CEF，如图1，
，
在△CFE和△MFD中，
∠MDF=∠CEF∠DFM=∠EFCEF=DF，
∴△CFE≌△MFD(ASA)，
∴DM=CE，
∵DM//BE，
∴∠MDA=∠B=∠ACB=∠AMD=∠A=60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴AD=DM=CE；
(2)解：图1中，
∵△ABC是等边三角形，AB=12，
∴∠B=∠ACB=60°，AC=AB=12，
∵ED⊥AB，
∴∠E=30°，
∴∠EFC=∠ACB−∠E=60°−30°=30°=∠E，
∴CE=CF，
由(1)得：△CFE≌△MFD，△ADM是等边三角形，
∴CF=MF，CE=DM，DM=AM，
∴CF=MF=AM，
∵CF+MF+AM=AC=12，
∴CF=13AC=13×12=4．
【解析】(1)过D作DM/​/BE交AC于M，通过证明△CFE≌△MFD(ASA)，得到DM=CE，再根据等边三角形的性质即可得到答案；
(2)先求出∠E=30°，得到，∠EFC=60°−∠E=30°，得到CE=CF，由(1)得△CFE≌△MFD，△ADM是等边三角形，从而得到CF=MF=AM，进行计算即可得到答案．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，等角对等边等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
DF=DBDC=DE,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，
∴CF=EB．
(2)解：设CF=x，则AE=12−x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵AD=ADCD=ED,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，即8+x=12−x，
解得x=2，即CF=2．
【解析】(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，从而得出CF=EB；
(2)设CF=x，则AE=12−x，再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
22.【答案】(1)设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：6=b0=6k+b
解得k=−1b=6
则直线BC的解析式是：y=−x+6；
(2)在y=−x+6中，令y=2，解得：x=4，
即A点的坐标是(4,2)，
则SOAC=12×6×4=12；
(3)设OA的解析式是y=ax，则4a=2，
解得：a=12，
则直线OA的解析式是：y=12x，
①当P在OA上，△OPC的面积是△OAC的面积的14时，
P的横坐标是14×4=1，
在y=12x中，当x=1时，y=12，则P的坐标是(1,12)；
②当P在AC上，△OPC的面积是△OAC的面积的14，
∴CP：AC=1：4，
∵A(4,2)
∴在y=−x+6中，当x=1时，y=5，则P的坐标是(1,5)，
∴P的坐标是：P1(1,12)或P2(1,5)．
【解析】(1)设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入，求出k、b即可；
(2)求出A点的坐标，再根据三角形的面积公式求出即可；
(3)分为两种情况：①当P在OA上，此时OP：AO=1：4，根据A点的坐标求出即可；
②当P在AC上，此时CP：AC=1：4，求出P即可．
本题考查了一次函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，能求出符合的所有情况是解(3)的关键．