2023-2024学年山西省大同一中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省大同一中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.双曲线x22−y22=1的左焦点坐标为( )
A. (−2,0)B. (− 2,0)C. (−1,0)D. (−4,0)
2.在空间直角坐标系O−xyz中，点A(1,3,0)，B(0,3,−1)，则( )
A. 直线AB/​/坐标平面xOyB. 直线AB⊥坐标平面xOy
C. 直线AB/​/坐标平面xOzD. 直线AB⊥坐标平面xOz
3.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9,n∈N*)个圆环所需的移动最少次数，{an}满足a1=1，且an=2an−1−1,n为偶数2an−1+2,n为奇数，则解下4个圆环所需的最少移动次数为( )
A. 7B. 10C. 12D. 22
4.已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为( )
A. x2=2yB. x2=2y或x2=−2y
C. x2=4yD. x2=4y或x2=−4y
5.已知2x0+y0=6，则圆x2+y2=1与直线x0x+y0y=2的位置关系是( )
A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定
6.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若∠AFO=2∠AOF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )
A. 52B. 2 33C. 2D. 2 33或2
7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，抛物线E：y2=4x的焦点为F，抛物线E的准线与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，若△ABF为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. y=± 33xB. y=± 32xC. y=±2 33xD. y=± 3x
8.已知椭圆C：x225+y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，则△MF1F2的内切圆半径的取值范围为( )
A. (0,3]B. (0,1]C. (0,43]D. (0,32]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A(−2,0)、B(2,0)，则下列命题中正确的是( )
A. 平面内满足|PA|+|PB|=6的动点P的轨迹为椭圆
B. 平面内满足|PA|−|PB|=4的动点P的轨迹为双曲线的一支
C. 平面内满足|PA|=|PB|的动点P的轨迹为抛物线
D. 平面内满足|PA|=2|PB|的动点P的轨迹为圆
10.若正项数列{an}是等差数列，且a2=5，则( )
A. 当a3=7时，a7=15B. a4的取值范围是[5,15)
C. 当a7为整数时，a7的最大值为29D. 公差d的取值范围是(0,5)
11.圆F：x2+y2−2x=0，抛物线C：y2=4x，过圆心F的直线l与两曲线的四个交点自下向上依次记为P，M，N，Q，若|PM|，|MN|，|NQ|构成等差数列，则直线l的方程可能是( )
A. x−y−1=0B. x+y−1=0
C. 2x−y− 2=0D. 2x+y− 2=0
12.已知双曲线E过点(−2,3 2)且与双曲线x24−y29=1共渐近线，直线l与双曲线E交于A，B两点，分别过点A，B且与双曲线E相切的两条直线交于点P，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线E的标准方程是x28−y218=1
B. 若AB的中点为(1,4)，则直线l的方程为9x−16y+55=0
C. 若点A的坐标为(x1,y1)，则直线AP的方程为9x1x−4y1y+36=0
D. 若点P在直线3x−4y+6=0上运动，则直线l恒过点(3,6)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2−2n+1，则数列an的通项公式为______ ．
14.设P是抛物线y2=8x上的一个动点，F为抛物线的焦点，点B(3,1)，则|PB|+|PF|的最小值为______ ．
15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，总有∠AFB≥120°，则椭圆C离心率的取值范围为______ ．
16.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点E在正方体内切球的球面上，则EA⋅EB的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求适合下列条件的曲线方程：
(1)与椭圆x29+y24=1有相同的焦点，且过点(− 5,4)的椭圆的标准方程；
(2)渐近线方程为y=±12x，经过点P(2,2)双曲线的标准方程．
18.(本小题12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=−7，S3=−15．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
19.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是AA1的中点．
(1)求B1到平面BDM的距离；
(2)求证：平面MBD⊥平面BC1D.
20.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.
(1)记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前20项和．
21.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
(1)若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
(2)若AP=3PB，求|AB|．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e= 22，且椭圆C经过点(1, 22)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(2,0)且斜率不为零的直线与椭圆C交于B，D两点，B关于x轴的对称点为A，求证：直线AD与x轴交于定点Q．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：双曲线x22−y22=1可得a=b= 2，则c=2，
所以双曲线的左焦点坐标(−2,0)．
故选：A．
利用双曲线的标准方程，直接求解双曲线的左焦点坐标．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间中线面的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
平面xOz的一个法向量为n=(0,1,0)，易得AB⊥n，再由线面平行的判定定理得解．
【解答】
解：由A(1,3,0)，B(0,3,−1)，知AB=(−1,0,−1)，
因为平面xOz的一个法向量为n=(0,1,0)，所以AB⋅n=0，即AB⊥n，
又AB⊄平面xOz，
所以直线AB/​/坐标平面xOz．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查递推式的应用，属于基础题．
本题可根据递推式逐步计算．
【解答】
解：由题意，可知：
a2=2a1−1=2×1−1=1，
a3=2a2+2=2×1+2=4，
a4=2a3−1=2×4−1=7．
故选A．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得p2=1，解得p=2，
所以抛物线的方程为x2=4y或x2=−4y．
故选：D．
根据抛物线的性质求得p的值即可求解．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵2x0+y0=6，∴直线x0x+y0y=2可转化为x0(x−2y)=2−6y，
由x−2y=02−6y=0，得x=23y=13，
所以直线x0x+y0y=2恒过定点(23,13)，由(23)2+(13)21，所以点B在抛物线内部，
如图，
过B作准线x=−2的垂线垂足为B′，交抛物线于P′，
由抛物线的定义，可知|P′F|=|P′B′|，
故|PB|+|PF|≥|P′B|+|P′B′|=|BB′|=3−(−2)=5．
即当P、B′、B三点共线时，距离之和最小值为5．
故答案为：5．
过B作准线x=−2的垂线垂足为B′，交抛物线于P′，根据抛物线的定义可得，当P、B′、B三点共线时，|PB|+|PF|小值．
本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题．
15.【答案】(0,12]
【解析】解：如图所示，设椭圆的右焦点为E，则四边形AFBE是平行四边形，
∵∠AFB≥120°，∴∠FAE≤60°．
设AE=m，AF=n，
由椭圆的定义可知，m+n=2a，由基本不等式的性质可知，mn≤(m+n)24=a2，
在△AFE中，由余弦定理知，cs∠FAE=m2+n2−EF22mn=(m+n)2−2mn−EF22mn
=4a2−4c22mn−1=2(a2−c2)mn−1≥2(a2−c2)a2−1=1−2e2，
∵∠FAE≤60°，
∴cs∠FAE∈[12,1)，
∴1−2e2≥12，解得e2≤14，
∵00，
由韦达定理可知，y1+y2=2，
又y1=−3y2，解得y1=3,y2=−1，
代入抛物线C方程得，x1=3,x2=13，
即A3,3，B13,−1，
故AB= 3−132+3+12=4 133．
【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
(1)根据题意，利用抛物线的性质进行求解即可；
(2)由AP=3PB，可得y1=−3y2，由根与系数的关系可得y1+y2=2，从而解出A、B两点坐标，进行计算即可．
22.【答案】解：(1)由题意可得：e=ca= 22a2=b2+c21a2+12b2=1，解得a2=2b2=1，
所以椭圆C的方程为：x22+y2=1；
证明：(2)设点B(x1,y1)，D(x2,y2)，则A(x1,−y1)，
设直线PB的方程为x=my+2，
联立x=my+2x2+2y2=2，整理可得(m2+2)y2+4my+2=0，
则y1+y2=−4mm2+2，y1y2=2m2+2，Δ=8m2−16>0，得m2>2，
由题意，直线AD的方程为y=y2+y1x2−x1(x−x2)+y2，
令y=0，所以点Q的横坐标xQ=x1y2+x2y1y1+y2=2my1y2y1+y2+2=1．
所以直线AD与x轴交于定点Q(1,0)．
【解析】(1)由椭圆的离心率及过的点的坐标，可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；
(2)设直线PB的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，设直线AD的方程，令y=0，可得Q的横坐标的表达式，将两根之和及两根之积代入可得Q的横坐标为定值．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．