2023-2024学年四川省内江一中高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省内江一中高二（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线y= 3x的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 不存在
2.在空间中，下列命题是真命题的是( )
A. 经过三个点有且只有一个平面
B. 垂直同一直线的两条直线平行
C. 如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D. 若两个平面平行，则其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面
3.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=3，O′B′=4，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是( )
A. 6B. 2C. 12D. 6 2
4.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( )
A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π
5.已知平面α⊥平面β，α∩β=l.下列结论中正确的是( )
A. 若直线m⊥平面α，则m//βB. 若平面γ⊥平面α，则γ/​/β
C. 若直线m⊥直线l，则m⊥βD. 若平面γ⊥直线l，则γ⊥β
6.已知直线l1：mx+2y−2=0与直线l2：5x+(m+3)y−5=0，若l1//l2，则m=( )
A. −5B. 2C. 2或−5D. 5
7.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3,BC=3,AB=3 2,AA1=4，则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为( )
A. −1625B. 925C. 1625D. 45
8.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心，则Q的坐标等于( )
A. (229,149)B. (209,169)C. (73,53)D. (83,43)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线l：x=my+1，下列说法正确的是( )
A. 直线l恒过定点(1,0)
B. 直线l斜率必定存在
C. m= 3时，直线l的倾斜角为60°
D. m=2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为14
10.给出以下命题，其中正确的是( )
A. 直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的方向向量为b=(2,1,−12)，则l与m垂直
B. 直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n=(1,−1,−1)，则l⊥α
C. 平面α、β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2)，则α/​/β
D. 平面α经过三个点A(1,0,−1)，B(0,−1,0)，C(−1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u+t=53
11.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面ABD⊥平面ACD.下列结论正确的是( )
A. BD⊥ACB. △ABC是等边三角形
C. 三棱锥D−ABC是正三棱锥D. 平面ACD⊥平面ABC
12.如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设A1A=A1B1=1，AB=2，有以下四个结论：其中正确的结论是( )
A. BC⊥平面AA1A2
B. AA1/​/平面BB2C2C
C. 直线AA1与CC2成角的余弦值为56
D. 直线A1C1与平面AA2B2B所成角的正弦值为 63
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知A(0,2)，B(3,0)，C(m,1−m)三点共线，则m= ______ ．
14.已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上、下底面的圆周均在球面上，若球的体积为2π3，则圆柱的体积为______ ．
15.如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=2，AC=3，BD=4，CD=4.则这个二面角的余弦值为______ ．
16.如图，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E(点B1位于平面ABCD上方)，连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，点F的轨迹的长度为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
三角形三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)
(1)求AB边上的高所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
18.(本小题12分)
已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1，AD=AA1=AB=1，∠A1AB=∠DAB=∠DAA1=60°，A1C1=3NC1，D1B=4MB，设AB=a，AD=b，AA1=c；
(1)试用a、b、c表示MN；
(2)求MN的长度；
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，BD⊥PC，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=PA=1，PB= 2,E是棱PD上的中点．
(1)证明PB/​/平面AEC；
(2)求三棱锥C−BDE的体积；
20.(本小题12分)
已知直线l：kx−y+4k+2=0(k∈R)．
(Ⅰ)证明：直线l恒过第二象限；
(Ⅱ)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的一般式方程．
21.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，AC=A1C= 2，平面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°．
(1)求证：A1C⊥AB；
(2)当BC= 3时，求平面CA1B与平面ABB1A1夹角的余弦值．
22.(本小题12分)
如图所示，等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，AD=AB=BC=2，CD=4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使得D到达点P的位置(P∉平面ABCE)．
(1)证明：AE⊥平面POB；
(2)若PB= 6，试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点)，使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为 155，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：直线y= 3x的斜率为 3，
所以其倾斜角为60°．
故选：B．
先求出斜率，进而可求出倾斜角．
本题主要考查了直线的斜率公式的应用，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：对于A，若三点共线，则经过三个点的平面有无数个，故A错误；
对于B，垂直于同一直线的两直线有三种位置关系，平行、相交或异面，故B错误；
对于C，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；
对于D，若两个平面平行，根据面面平行的定义可知，其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面，故D正确．
故选：D．
由平面的基本性质判断A；由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断B；由等角定理判断C；根据面面平行的定义，即可判断D．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，
所以△OAB是直角三角形，且两条直角边长为6和4，
它的面积为S△OAB=12×6×4=12．
故选：C．
还原成△OAB，是直角三角形，且两条直角边分别为6和4，求出它的面积即可．
本题考查了斜二测法画直观图与面积的计算问题，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由已知球的直径为2，故半径为1，
其表面积是4×π×12=4π，
应选B
由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此求的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，再用表面积公式求出表面积即可．
本题考查正方体内切球的几何特征，以及球的表面积公式，是立体几何中的基本题型．
5.【答案】D
【解析】【分析】
由线面的位置关系可判断A；由面面的位置关系可判断B；由线面的位置关系和面面垂直的性质可判断C；由面面垂直的判定定理可判断D．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．
【解答】解：平面α⊥平面β，α∩β=l，若直线m⊥平面α，则m//β或m⊂β，故A错误；
平面α⊥平面β，若平面γ⊥平面α，则γ/​/β或γ与β相交，故B错误；
平面α⊥平面β，α∩β=l，若m⊥l，则可能m⊂β，故C错误；
平面α⊥平面β，α∩β=l，若平面γ⊥直线l，
又l⊂β，由面面垂直的判定定理可得γ⊥β，故D正确．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：若l1//l2，则m(m+3)−2×5=m2+3m−10=(m−2)(m+5)=0，
所以m=2或m=−5．
当m=2时，l1，l2重合，不符合题意，所以舍去；
当m=−5时，符合题意．
故选：A．
解方程m(m+3)−2×5=0，再检验即得解
本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为AC=3,BC=3,AB=3 2，
所以AC2+BC2=AB2，
所以AC⊥BC，
又因为侧棱与底面垂直，
所以以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C−xyz，如图所示：
易得C(0,0,0)，C1(0,0,4)，A1(3,0,4)，B(0,3,0)，
所以A1C=(−3,0,−4),BC1=(0,−3,4)，
设异面直线A1C与BC1所成角为θ，
则csθ=|cs|=|A1C⋅BC1||A1C||BC1|=|−4×4|5×5=1625．
所以异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为1625．
故选：A．
利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定义，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及直线A1C与BC1的方向向量，利用向量的夹角公式，结合向量夹角与线线角的关系即可求解．
本题考查了异面直线夹角的求法，空间直角坐标系的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：建立如图所示的坐标系：
可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC的方程为x+y=4，
△ABC的重心为(43,43)，设P(a,0)，其中0