


2023-2024学年四川省内江一中高二(上)期中数学试卷(含解析)
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这是一份2023-2024学年四川省内江一中高二(上)期中数学试卷(含解析),共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.直线y= 3x的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 不存在
2.在空间中,下列命题是真命题的是( )
A. 经过三个点有且只有一个平面
B. 垂直同一直线的两条直线平行
C. 如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等
D. 若两个平面平行,则其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面
3.如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图,O′A′=3,O′B′=4,∠A′O′B′=45°,则△OAB的面积是( )
A. 6B. 2C. 12D. 6 2
4.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为( )
A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π
5.已知平面α⊥平面β,α∩β=l.下列结论中正确的是( )
A. 若直线m⊥平面α,则m//βB. 若平面γ⊥平面α,则γ//β
C. 若直线m⊥直线l,则m⊥βD. 若平面γ⊥直线l,则γ⊥β
6.已知直线l1:mx+2y−2=0与直线l2:5x+(m+3)y−5=0,若l1//l2,则m=( )
A. −5B. 2C. 2或−5D. 5
7.在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AC=3,BC=3,AB=3 2,AA1=4,则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为( )
A. −1625B. 925C. 1625D. 45
8.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA发射后又回到原点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则Q的坐标等于( )
A. (229,149)B. (209,169)C. (73,53)D. (83,43)
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.对于直线l:x=my+1,下列说法正确的是( )
A. 直线l恒过定点(1,0)
B. 直线l斜率必定存在
C. m= 3时,直线l的倾斜角为60°
D. m=2时,直线l与两坐标轴围成的三角形面积为14
10.给出以下命题,其中正确的是( )
A. 直线l的方向向量为a=(1,−1,2),直线m的方向向量为b=(2,1,−12),则l与m垂直
B. 直线l的方向向量为a=(0,1,−1),平面α的法向量为n=(1,−1,−1),则l⊥α
C. 平面α、β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α//β
D. 平面α经过三个点A(1,0,−1),B(0,−1,0),C(−1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=53
11.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,翻折△ABD和△ACD,使得平面ABD⊥平面ACD.下列结论正确的是( )
A. BD⊥ACB. △ABC是等边三角形
C. 三棱锥D−ABC是正三棱锥D. 平面ACD⊥平面ABC
12.如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成,设A1A=A1B1=1,AB=2,有以下四个结论:其中正确的结论是( )
A. BC⊥平面AA1A2
B. AA1//平面BB2C2C
C. 直线AA1与CC2成角的余弦值为56
D. 直线A1C1与平面AA2B2B所成角的正弦值为 63
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知A(0,2),B(3,0),C(m,1−m)三点共线,则m= ______ .
14.已知一个圆柱的高是底面半径的2倍,且其上、下底面的圆周均在球面上,若球的体积为2π3,则圆柱的体积为______ .
15.如图,已知在一个二面角的棱上有两个点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱AB,AB=2,AC=3,BD=4,CD=4.则这个二面角的余弦值为______ .
16.如图,已知菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=120°,E为边BC的中点,将△ABE沿AE翻折成△AB1E(点B1位于平面ABCD上方),连接B1C和B1D,F为B1D的中点,则在翻折过程中,点F的轨迹的长度为______ .
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
三角形三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3)
(1)求AB边上的高所在直线的方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
18.(本小题12分)
已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1,AD=AA1=AB=1,∠A1AB=∠DAB=∠DAA1=60°,A1C1=3NC1,D1B=4MB,设AB=a,AD=b,AA1=c;
(1)试用a、b、c表示MN;
(2)求MN的长度;
19.(本小题12分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,BD⊥PC,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,AB=PA=1,PB= 2,E是棱PD上的中点.
(1)证明PB//平面AEC;
(2)求三棱锥C−BDE的体积;
20.(本小题12分)
已知直线l:kx−y+4k+2=0(k∈R).
(Ⅰ)证明:直线l恒过第二象限;
(Ⅱ)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的一般式方程.
21.(本小题12分)
如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,AA1=2,AC=A1C= 2,平面ACC1A1⊥平面ABC,∠ACB=90°.
(1)求证:A1C⊥AB;
(2)当BC= 3时,求平面CA1B与平面ABB1A1夹角的余弦值.
22.(本小题12分)
如图所示,等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD=AB=BC=2,CD=4,E为CD中点,AE与BD交于点O,将△ADE沿AE折起,使得D到达点P的位置(P∉平面ABCE).
(1)证明:AE⊥平面POB;
(2)若PB= 6,试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点),使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为 155,若存在,确定Q点位置;若不存在,说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:直线y= 3x的斜率为 3,
所以其倾斜角为60°.
故选:B.
先求出斜率,进而可求出倾斜角.
本题主要考查了直线的斜率公式的应用,属于基础题.
2.【答案】D
【解析】解:对于A,若三点共线,则经过三个点的平面有无数个,故A错误;
对于B,垂直于同一直线的两直线有三种位置关系,平行、相交或异面,故B错误;
对于C,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,故C错误;
对于D,若两个平面平行,根据面面平行的定义可知,其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面,故D正确.
故选:D.
由平面的基本性质判断A;由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断B;由等角定理判断C;根据面面平行的定义,即可判断D.
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用,考查空间想象能力与思维能力,是基础题.
3.【答案】C
【解析】解:△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图,
所以△OAB是直角三角形,且两条直角边长为6和4,
它的面积为S△OAB=12×6×4=12.
故选:C.
还原成△OAB,是直角三角形,且两条直角边分别为6和4,求出它的面积即可.
本题考查了斜二测法画直观图与面积的计算问题,是基础题.
4.【答案】B
【解析】解:由已知球的直径为2,故半径为1,
其表面积是4×π×12=4π,
应选B
由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此求的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,再用表面积公式求出表面积即可.
本题考查正方体内切球的几何特征,以及球的表面积公式,是立体几何中的基本题型.
5.【答案】D
【解析】【分析】
由线面的位置关系可判断A;由面面的位置关系可判断B;由线面的位置关系和面面垂直的性质可判断C;由面面垂直的判定定理可判断D.
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系,考查空间想象能力和推理能力,属于中档题.
【解答】解:平面α⊥平面β,α∩β=l,若直线m⊥平面α,则m//β或m⊂β,故A错误;
平面α⊥平面β,若平面γ⊥平面α,则γ//β或γ与β相交,故B错误;
平面α⊥平面β,α∩β=l,若m⊥l,则可能m⊂β,故C错误;
平面α⊥平面β,α∩β=l,若平面γ⊥直线l,
又l⊂β,由面面垂直的判定定理可得γ⊥β,故D正确.
故选:D.
6.【答案】A
【解析】解:若l1//l2,则m(m+3)−2×5=m2+3m−10=(m−2)(m+5)=0,
所以m=2或m=−5.
当m=2时,l1,l2重合,不符合题意,所以舍去;
当m=−5时,符合题意.
故选:A.
解方程m(m+3)−2×5=0,再检验即得解
本题主要考查了直线平行条件的应用,属于基础题.
7.【答案】A
【解析】解:因为AC=3,BC=3,AB=3 2,
所以AC2+BC2=AB2,
所以AC⊥BC,
又因为侧棱与底面垂直,
所以以C为坐标原点,建立空间直角坐标系C−xyz,如图所示:
易得C(0,0,0),C1(0,0,4),A1(3,0,4),B(0,3,0),
所以A1C=(−3,0,−4),BC1=(0,−3,4),
设异面直线A1C与BC1所成角为θ,
则csθ=|cs|=|A1C⋅BC1||A1C||BC1|=|−4×4|5×5=1625.
所以异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为1625.
故选:A.
利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定义,建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标及直线A1C与BC1的方向向量,利用向量的夹角公式,结合向量夹角与线线角的关系即可求解.
本题考查了异面直线夹角的求法,空间直角坐标系的应用,属于中档题.
8.【答案】B
【解析】解:建立如图所示的坐标系:
可得B(4,0),C(0,4),故直线BC的方程为x+y=4,
△ABC的重心为(43,43),设P(a,0),其中0
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