举一反三：六年级数学上册第三单元《分数除法》（2）期末重难点题型（原卷版+解析版）人教版

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【题型8 分量对应的分率=单位“1”（面积问题）】
【例8】将如图所示的三角形沿虚线折叠，得到如图所示的多边形，这个多边形的面积是原三角形面积的，已知图中阴影部分的面积和为6平方厘米，求原来三角形的面积。
解：6÷[1﹣2（1﹣）]
=6÷（1﹣2×）
=6÷（1﹣）
=6÷
=14（平方厘米）。
答：求原来三角形的面积是14平方厘米。
点拨：形成的多边形的面积比原来三角形的面积减少一个重叠部分的面积，所以重叠部分的面积就是原来三角形面积的（1﹣），阴影部分的面积和为6平方厘米所对应的是1﹣2（1﹣），用除法就可以求出原来三角形的面积。
【变式8-1】如图，线段MN将长方形纸分成面积相等的两部分，沿MN将这张长方形纸对折后得到图（2），将图（2）沿对称轴对折，得到图（3），已知图（3）所覆盖的面积占长方形纸面积的，阴影部分面积为6平方厘米，长方形的面积是多少？
解：
6÷2÷（ - ）
=60（平方厘米）。
答：长方形纸片的面积是60平方厘米。
点拨：如图（3）所示，阴影部分是2层，空白部分是4层，如果将阴影部分缩小一半，即变为6÷2=3(平方厘米)，那么阴影部分也变成4层，此时覆盖面的面积占长方形纸片面积的，即缩小的3平方厘米相当于长方形纸片面积的（ - ），再利用分量对应的分率=单位“1”，解答问题。
【变式8-2】如图所示，△BCE的面积是长方形ABCD面积的35%，且△ADE的面积是30平方厘米，则△EDC的面积是多少平方厘米？
解：
长方形的面积是：
30÷（1-35% - ）
=200（平方厘米），
△EDC的面积：
200×
=100（平方厘米）。
答：△EDC的面积为100平方厘米。
点拨：空白部分与阴影部分面积相等，均为长方形面积的一半。
【变式8-3】下图中阴影部分的面积是小圆面积的，是大圆面积的，已知阴影部分的面积是12平方厘米，求下图总面积。
解：
大圆的面积是为12÷=60（平方厘米），
小圆的面积为12÷=30（平方厘米），
这幅图的面积：
60+30-12
=90-12
=78（平方厘米）。
答：这幅图的总面积是78平方厘米。
点拨：根据题意可依据阴影部分的面积与大圆、小圆的关系，用除法列式计算出大圆、小圆的面积；将两个圆的面积相加后再减去阴影部分的面积，即是这幅图的总面积。
【题型9 分量对应的分率=单位“1”（工作量问题）】
【例9】建筑工地运来三堆石子，第二堆比第一堆的多7吨，第三堆比第一堆的多7吨。如果第三堆比第二堆少2吨，第二堆石子有多少吨？
解：
2÷（ - ）
=2÷
=30（吨），
30×+7=27（吨）。
答：第二堆石子有27吨。
点拨：将第一堆石子的体积看作单位“1”，对应的分率是（-），用除法求出第一堆石子的体积；再用第一堆石子的体积乘以 ，并加上7，即可求出第二堆石子的体积。
【变式9-1】一项工作，甲单独做要12天完成，乙单独做要15天完成。二人同时工作，中途甲有事离开，剩下的由乙完成，从开始到工作结束，共用了10天。甲比乙少干了几天？
解：
乙的工作效率：，
乙的工作量：×10 = ，
甲的工作效率：，
甲的工作量：1- = ，
甲的工作时间：÷=4（天）,
甲比乙少干了：10-4=6（天）。
答：甲比乙少干了6天。
点拨：先根据“工作效率=工作总量÷工作时间”求出甲、乙的工作效率，进而再根据“工作总量=工作效率×工作时间”求出乙的工作量，进而即可得到甲的工作量，最后再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”即可得到甲的工作时间，再由“该工程共用了10天”即可得到结论。
【变式9-2】甲、乙、丙三人合修一条道路，甲、乙合修5天修了这条路的，乙、丙合修2天修了剩下工程的，剩下的三人合修4天才完成，共得工资2280元。按各人所完成的工作量合理分配，每人应得多少元？
解：
三人合修一天完成的工作量为：
-(1-)×]÷4
=，
甲乙合修一天的工作量为：
÷5=，
乙丙合修一天的工作量为：
(1-)×÷2
=×÷2
=,
甲的工钱为：
（ - )×(5+4)×2280
=×9×2280
=855（元）,
丙的工钱为：
(-)×(2+4)×2280
=×6×2280
=798（元）,
乙的工钱：
2280-855-798=627（元）。
答：甲得855元，乙得627元，丙得798元。
点拨：先分别求出甲、乙、丙三人平均每天修全部工程的几分之几；再求甲、乙平均每天修全部工程的几分之几；乙、丙平均每天修全部工程的几分之几；进而可求甲、乙、丙每人每天各修全部工程的几分之几乘工作的天数，再乘共得的工资2280元即可。
【变式9-3】一项工程，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙、……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，那么完成这项工程的，一共要用多少小时？
解：
甲的工作效率：，
乙的工作效率：，
三个循环共完成：（+ ）3=
还需要甲工作：（ - ）
共需要：23+=6
答：一共要用6小时。
点拨：此题要具体分析，不能总想着轮回，由于数比较特别，不一定会赶上整个的轮回，要灵活应对。
【题型10 分量对应的分率=单位“1”（广义的和倍问题）】
【例10】张奶奶和李奶奶一共捐款1200元，李奶奶捐的钱数是张奶奶的，李奶奶和张奶奶各捐了多少元？
解：
张奶奶：
=1200
=800（元），
李奶奶：
1200-800=400（元）。
答：李奶奶和张奶奶各捐了400元和800元。
点拨：设张奶奶捐款为单位“1”，则李奶奶捐款为，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法计算。
【变式10-1】爷爷家养白兔和灰兔共70只，其中灰兔的只数是白兔的，爷爷家养白兔和灰兔各多少只？
解：
白兔：
70÷（1+）
=70÷
=40（只），
灰兔：70-40=30（只）。
答：爷爷家养白兔40只，灰兔30只。
点拨：以白兔只数为单位“1”，灰兔和白兔的只数和是白兔的（1+），根据分数除法的意义，用共有的只数除以占白兔只数的分率即可求出白兔只数，再求出灰兔只数即可。
【变式10-2】两筐苹果一共140个，甲筐苹果数量的等于乙筐数量的，甲、乙两筐各有多少个？
解：
假设 乙筐为1，则甲筐为÷=，
乙筐数量：140÷（+1）=60（个），
甲筐数量：140-60=80（个）。
答：甲、乙两筐各有80个、60个。
【变式10-3】张明和丽丽进行口算比赛，两人在10分钟的时间里一共完成了230道题，张明比丽丽多做，他们两人各做多少道题？
解：
丽丽做题：
230）
=230
=110（道），
张明做题：
230-110=120（道）。
答：张明做了120道，丽丽做了110道。
点拨：根据题意，把丽丽做题的数量看作单位“1”，则张明做题的数量是1=1；然后根据分数除法的意义，用两人做题的总量除以1，求出丽丽做题的数量是多少；最后用两人做题的总量减去丽丽做题的数量，求出张明做题的数量是多少即可。
【题型11 分量对应的分率=单位“1”（广义的差倍问题）】
【例11】一头大象比一头牛重4500kg，这头牛的体重正好是这头大象的，这头大象和这头牛的体重各是多少千克？
解：4500÷（1-）
=4500÷
=5000（千克）
5000-4500=500（千克）
答：这头大象的体重是5000千克，这头牛的体重是500千克。
点拨：把大象的体重看作单位“1”，则大象比牛重的千克数相当于大象体重的（1-），根据分数除法的意义，用4500千克除以（1-）就是大象的体重；再用大象的体积减去4500千克就是牛的体重。
【变式11-1】刘师傅和李师傅加工若干个零件，刘师傅完成自己的，李师傅完成自己的时，两人所剩零件数相等。已知刘师傅比李师傅多做了70个，两位师傅各准备加工多少个零件？
解：
假设李师傅准备加工：“1”，则刘师傅准备加工：（1-）÷（1-）=，
李师傅：70÷（-1）=56（个），
刘师傅：40-56=126（个）。
答：李师傅、刘师傅各准备加工56个、126个。
【变式11-2】有两筐橘子，第一筐橘子的质量是第二筐的。如果从第一筐取出8kg放入第二筐，两筐一样重，这两筐橘子原来各有多少千克？
解：
第二筐：2×8÷（-1）=64（千克），
第一框：64×=80（千克）。
答：第一框、第二筐原来各有80千克、64千克。
【变式11-3】一桶油，第一次用去这桶油的，第二次用去第一次剩余油的。第一次比第二次多用去2kg，这桶油重多少千克？
解：
2÷[ -（1- ）×]=20（千克）。
答：这桶油重20千克。
【题型12 分量对应的分率=单位“1”（统一单位“1”）】
【例12】甲数是乙数、丙数、丁数之和的 ,乙数是甲数、丙数、丁数之和的,丙数是甲数、乙数、丁数之和的，已知丁数是260，求甲数、乙数、丙数、丁数之和。
解：
260÷（）
=260÷（1 - - - ）
=260÷
=1200。
答：甲数、乙数、丙数、丁数之和是1200。
点拨：把单位“1”统一成四个数之和。
【变式12-1】
甲、乙、丙、丁，四队合修一条道路，甲队修的长度是另外三队修的总长度的一半，乙队修的长度是另外三队修的总长度的，丙队修的长度是另外三队修的总长度的。丁队修了390米，则四队共修了多少米？
解：
390÷（1- - - ）=1800（米）。
答：四队合修1800米。
点拨：把单位“1”，统一成四队合修总长度。
【变式12-2】有一群猴子分一堆桃子，第一只猴子分得全部桃子的，第二只猴子分得剩下桃子的，第三只猴子分得剩下桃子的，……，第八只猴子剩下桃子的，第九只猴子剩下桃子的，最后第十只猴子正好分得桃子10个，这堆桃子共有多个?
解：
10÷[（1-）×（1-）×（1-）×……×（1-）×（1-）]=10÷=100（个）。
答：这堆桃子共有100个。
点拨：利用“分量÷对应的分率=单位1”解答；注意这种连续剩余问题的解决技巧。
【变式12-3】甲、乙、丙、丁四人比较年龄，甲的年龄是另外三人年龄和的，乙的年龄是另外三人年龄和，丙是另外三人年龄和的，丁是26岁．请问甲多少岁？
解：
四人年龄和：
26÷（1- - ）
=26÷
=120（岁），
甲：
120×=40（岁），
答：甲40岁。
【题型13 分量对应的分率=单位“1”（蜡烛燃烧问题）】
【例13】一支细长的蜡烛6小时燃完，一支粗短的蜡烛8小时燃完。两支蜡烛同时点燃2小时后，剩下的长度正好相等。原来粗短蜡烛的长度是细长蜡烛的几分之几？
解：
(1-×2)÷(1-×2)
=÷
=
÷1=。
答：原来粗短蜡烛的长度是细长蜡烛的。
点拨：两支蜡烛同时点2小时后，细长蜡烛就剩余原来长度的1-×2，粗短蜡烛剩余原来长度的1-×2；由于剩下的长度正好相等，也就是说细长蜡烛长度的1-×2等于粗短蜡烛的1-×2；把细长蜡烛长度看作单位“1”，运用分数除法意义即可得到粗短蜡烛的长度，进而结合求一个数是另一个数的几分之几的方法完成解答。
【变式13-1】两支粗细、长短都不同的蜡烛，长的能燃烧7小时，短的能燃烧10小时，且点燃4小时后，两只蜡烛的长度相同，若设原来长蜡烛的长为a，原来短蜡烛的长是多少？解：
设原来短蜡烛的长为b，
长蜡烛的长为a，能燃烧7小时，则每小时燃烧，
短蜡烛的长为b，能燃烧10小时，则每小时燃烧，
长的燃烧4小时后，剩a- a=a，
短的燃烧4小时后剩下b-b=b，
剩下的长度相等，即a=b，
所以b=a，
答：原来短蜡烛的长为a。
点拨：分别设原来短蜡烛的长为b，长蜡烛的长为a，先求出两个蜡烛4小时燃烧的数量；然后用“1”减去燃烧的，求出剩下的长度；根据“则点燃4小时后，两只蜡烛的长度相同，”找出等量关系式“即a=b”；根据等量关系式推出比例式即可解答。
【变式13-2】粗蜡烛和细蜡烛的长短一样，粗蜡烛可以点6小时，细蜡烛可以点4小时，如果同时点燃这两支蜡烛，过了一段时间后，剩余的粗蜡烛长度是细蜡烛长度的2倍，问这两支蜡烛已点燃了多少时间？
解：
设这两支蜡烛已经点燃了x小时，
2(1-x)=1-x,
解得:
x=3。
答：这两支蜡烛已点燃了3小时。
【变式13-3】有长短两支蜡烛，它们的长度之和为56厘米，将它们同时点燃一段时间后，长蜡烛同短蜡烛点燃前一样长，这时短蜡烛的长度又恰好是长蜡烛的。点燃前长蜡烛有多长？（注：相同时间中燃烧长度相同）
解：
设长蜡烛和短蜡烛的长度差看作1份，那么燃了1份；
燃烧后，短蜡烛长2份，长蜡烛3份．
点燃前，短蜡烛长3份，长蜡烛长3+1=4（份）。
共有：3+4=7（份），
56×=32（厘米）；
答：点燃前长蜡烛有32厘米。
点拨：把长蜡烛和短蜡烛的长度差看作1份，那么当长蜡烛同短蜡烛点燃前一样长时，说明燃了1份，这时，短蜡烛长2份，长蜡烛3份。所以点燃前，短蜡烛长3份，长蜡烛长3+1=4份，把56厘米再按照4：3的比例分配。
【题型14 分量对应的分率=单位“1”（冰、水问题）】
【例14】水结成冰，体积增加，现有一块冰， 体积是22dm³，融化后的体积是多少？
解：
=22×
=20（立方分米）。
答：融化后的体积是20dm³。
点拨：水结成冰后，体积增加，则冰的体积为水的体积的（1+，再用冰的体积除以（1+就得到水的体积。

【变式14-1】冰融化成水后，水的体积是冰的体积的。现在有一块冰，融化成水后的体积是27立方分米，这块冰的体积是多少立方分米？
解：
27÷
=27×
=30（立方分米）。
答：这块冰的体积是30立方分米。
【变式14-2】水结成冰后，体积增加，一块体积是143dm3的冰化成水后，体积是多少立方分米？
解：
143÷(1+)
=143÷
=143×
=130（立方分米）.
答：体积是130立方分米。
【变式14-3】融化成水后，体积会减少。现有一块冰，融化成水后体积是450cm3，这块冰的体积是多少？水结成冰后，体积会增加几分之几？
解：
450÷(1-)
=450÷
=500（cm3）,
(500-450)÷450=。
答：这块冰的体积是500cm3，水结成冰后，体积会增加。
【题型15 分量对应的分率=单位“1”（小马虎问题；连除问题；赚、赔问题）】
【例15】（小马虎问题）小俊在计算一个数除以时，错看成乘，结果得到
，小俊计算的那一道算式的正确结果应该是多少？
解：
÷=，
÷=。
答：小马虎计算的那一道算式的正确结果应该是。
点拨：分析题意，一个数乘后得到，可以用积除以这个因数，求出另一个因数，即题中的一个数；再用这个数除以，即可使问题得到解答。
【变式15-1】（连除问题）一捆电线，第一次用去全长的，第二次用去余下的，这时还剩108m。这捆电线共长多少米？
解：108÷（1-）÷（1-）
=108÷÷
=108××
=180（米）
答：这捆电线共长180米。
【变式15-2】（赚、赔问题）某个服饰店同时卖出两件上衣，售价都是135元。按成本计算，其中一件盈利，另一件亏损，在这次交易中，此服饰店赚了还是赔了？请说明理由。
解：
盈利衣服进价：
135÷（1+）……未知单位“1”，用除法
=108（元），
亏损衣服进价：
135÷（1-）……未知单位“1”，用除法
=180（元）。
两件衣服进价之和：
108+180
=288（元），
售价之和：
135×2
=270（元）。
288＞270，
288-270=18（元）。
答：该商贩赔了，赔18元。
【变式15-3】一个计算器，若卖100元，可赚原价的；若卖120元，则可以赚原价的几分之几？
解：
原价：
100÷（1+）……分量÷对应分率=单位“1”
=80（元），
可以赚原价的：……赚原价的百分之几，原价为单位“1”，即作除数
（120-80）÷80
=0.5
=。
答：卖120元，则可以赚原价的二分之一。