五年级数学上册第三单元《小数除法》期末重难点题型（原卷版+解析版）人教版

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【题型1 和倍问题】
公式：
较小数=和÷（倍数+1），
较大数=较小数×倍数 或 较大数=和-较小数
【例1】小明看一本136页的故事书，已经看完的页数是没看的2.4倍，已经看完的、没看的页数分别是多少？
解：
没看的：
136÷（2.4+1）=40（页），
看完的：
40×2.4=90（页）。
答：没看的、看完的页数分别是40页、90页。
点拨：本题考查的是小数乘、除法的应用问题，把没看完的页数当作1份，那么已看完的就是2.4份，用总的页数除以总的份数，即可得每一份对应的页数，用每一份代表的页数，乘以看完的、没看的份数，即为看完的、没看的页数。注意与【例2】的异同。
【变式1-1】甲，乙两数的和是236.5，甲数将小数点向右移动一位后就等于乙数，甲，乙两数分别是多少？
解：
甲数：236.5÷（10+1）
=236.5÷11
=21.5，
乙数：
21.5×10=215。
答：甲数是21.5，乙数是215。
点拨：根据“甲数将小数点向右移动一位后就等于乙数”知道，乙是甲的10倍，再根据甲乙两数的和是236.5，得到236.5就是甲数的11倍，根据和倍公式即可解答。
【变式1-2】星期天，爸爸、妈妈带小方去植物园，买门票共用去24.5元。已知一张成人票与3张儿童票的票价相等，一张儿童票多少钱？
解： 24.5÷（3+3+1）
=24.5÷7
=3.5（元）
答：一张儿童票3.5元。
点拨：根据一张成人票与3张儿童票的票价相等可知，把儿童票价看作1倍数，成人票价是3倍数，两个成人是两个3倍数；用买门票的总钱数除以（倍数+倍数+1）可求出一张儿童票的钱数。
【变式1-3】甲、乙两人共有333元钱，甲的钱数的9倍和乙的钱数的5倍一共是2005元。甲的钱数比乙少多少元？
解：
甲的钱数：
（2005-333×5）÷（9-5）=85（元），
乙的钱数：
333-85=248（元），
甲比乙少的钱数：
248-85=163（元）。
答：甲的钱数比乙少163元。
点拨：甲的钱数的（9-5）倍=甲钱数的9倍与乙钱数5倍的总和-甲乙钱数总和的5倍。
【题型2 差倍问题】
公式：
较小数=差÷（倍数-1），
较大数=较小数×倍数 或 较大数=差+较小数
【例2】小明看一本故事书，已经看完的页数是没看的2.4倍，已经看完的页数比没看的多56页。这本书有多少页？
解：
没看的：
56÷（2.4-1）=40（页），
这本书：
40×（2.4+1）=136（页）。
答：这本书有136页。
点拨：把没看完的页数当作1份，那么已看完的就是2.4份，用多余的页数除以多余的份数，即可得每一份对应的页数；用每一份代表的页数，乘以总的份数，即为总的页数。注意与【例1】的异同。
【变式2-1】一个小数，如果把小数点向右移动两位，所得的数比原来增加了146.52。这个小数是多少？
解：
146.52÷（100-1）
=146.52÷99
=1.48。
答：这个小数是1.48。
点拨：把小数点向右移动两位就扩大到原来的100倍；根据题意可知这个数的100倍比这个数多146.52，用146.52除以100与1的差，即可求出这个数。
【变式2-2】两个数的和是11.63，小强由于粗心，在计算时将一个加数的小数点向左移动了一位，结果和是5.87，原来的两个加数各是多少？
解：
（11.63-5.87）÷（10-1）=0.64，
0.64×10=6.4，
11.63-6.4=5.23。
答：原来的两个加数分别是6.4、5.23。
点拨：一个加数的小数点向左移动了一位，说明这个加数缩小了10倍，转变成了差倍问题，变动前与变动后的差是﹙11.63-5.87﹚，倍数是10-1。
【变式2-3】一个整数，添加小数点后，比原来减少228.69，求这个整数是多少？
解：
较小数：
228.69÷（100-1）
=2.31。
较大数：
2.31×100=231。
答：这个整数是231。
点拨：因为228.69是一个两位小数，所以整数添加小数后，也应该是两位小数，所以整数是这个小数的100倍。
【题型3 消元法-整体相减】
【例3】学校上学期买了4个足球和2个篮球，付了436.8元。本学期又买了1个足球和2个篮球，付了237元。每个足球多少钱？
解：
（436.8-237）÷（4-1）
=199.8÷3
=66.6（元）
答：一个足球66.6元。
点拨：利用4个足球和2个篮球的总价，与1个足球和2个篮球的价钱之差，表示3个足球的价钱，然后计算1个足球的价钱。
【变式3-1】李阿姨买8斤苹果和9斤橘子共用去49.5元，买同样的6斤苹果和3斤橘子共用去31.5元。1斤苹果和1斤橘子各多少钱？
解：
1斤苹果：
（31.5×3-49.5）÷（6×3-8）
=45÷10
=4.5（元）,
1斤橘子：
（31.5-6×4.5）÷3
=4.5÷3
=1.5（元）。
答：1斤苹果4.5元，1斤橘子1.5元。
点拨：利用【例3】的思路，找到相同，再相减。李阿姨买8斤苹果和9斤橘子共用去49.5元；买同样的6斤苹果和3斤橘子共用去31.5元，那么买同样的（6×3）斤苹果和（3×3）斤橘子共用去（31.5×3）元；根据以上分析可得买（18-8）斤苹果要用去（31.5×3-49.5）元，据此用除法求出1斤苹果的价格，再进一步求出1斤橘子的价格。
【变式3-2】小红用27.2元正好可以买5千克苹果和4千克香蕉，结果她把买的数量看颠倒了，剩下0.4元。香蕉每千克多少元？
解：
5千克苹果+4千克香蕉=27.2（元），
4千克苹果+5千克香蕉=27.2-0.4=26.8（元），
则，1千克苹果+1千克香蕉=（27.2+26.8）÷9=6（元），
每千克香蕉：26.8-4×6=2.8（元）。
答∶每千克香蕉2.8元。
【变式3-3】张彬买3斤白糖和4斤红糖，共付出9元6角，李杰买3斤红糖和4斤白糖，付出9元3角，每斤红糖比每斤白糖贵多少元？
解：
7斤白糖+7斤红糖：
9.6+9.3=18.9（元），
1斤红糖+1斤白糖：
18.9÷7=2.7（元），
1斤红糖：
（9.6-2.7×3）=1.5（元），
1斤白糖：
2.7-1.5=1.2（元）。
每斤红糖比每斤白糖贵：1.5-1.2=0.3（元）．
答：1斤红糖比1只白糖斤0.3元。
【题型4 分段付费】
【例4】某市出租车的收费标准：①3km以内收费5元；②超过3km的部分，每千米收费1.2元。
（1）爸爸乘出租车行驶12km，需付车费多少元？
（2）妈妈外出办事乘出租车付了12.2元，出租车行驶了多少千米？
解：
（1）12-3=9（km），
5+9×1.2=15.8（元），
答：需付车费15.8元。
（2）12.2-5=7.2（元），
3+7.2÷1.2=9（km），
答：出租车行驶了9千米。
点拨：需付的车费=3km以内的收费+超过3km部分的收费；付12.2元，计算出租车行驶了多少千米时，先用12.2元减去3千米以内的5元，再计算剩余钱数中，有几个1.2元，即可求得结果。
【变式4-1】为了鼓励货车合理装载，减少重载车对高速公路的损害，某市对各类货车的高速公路里程费进行记重收费。里程费记重（含车重）收费方案如下：
（1）某次某货车记重显示为18吨，从甲地开往相距100km的乙地，货车需要付高速公路里程费多少钱？
（2）某次某货车记重显示为28吨，开往距离为200km的某地，货车需要付高速公路里程费多少钱？
解：
（1）18吨＜22吨，
18×0.09×100
=18×9
=162（元）。
答：货车需要付高速公路里程费162元钱．
（2）28吨＞22吨，
22×0.09×200+（28-22）×0.15×200
=396+180
=576（元）。
答：货车需要付高速公路里程费576元钱．
点拨：（1）某次某货车记重显示为18吨，应选择每千米每吨0.09元的收费标准，用用乘法计算即可得解；（2）某次某贷车记重显示为28吨，22吨的部分应选择每千米每吨0.09元的收费标准，剩余的（28-22）吨应选择每千米每吨0.15元的收费标准，分别计算出结果，再加在一起即可得解。
【变式4-2】某快递公司收费标准如下表所示.
（1）小优要给省内上大学的姐姐寄衣服，衣服重8.5kg。小优应付多少元快递费?
（2）妈妈给省外的外婆寄了一些土特产，花了61元。妈妈最多寄了多重的土特产?
解：
（1）500g=0.5kg，
8+（8.5-1）÷0.5×4=68（元）。
（2）（61-12）÷7×0.5=3.5（kg），
1+3.5=4.5（kg）。
答：小优应付68元快递费，妈妈最多寄4.5千克重的土特产。
点拨：本题容易出错的地方，每500克一个单位，收取费用。
【变式4-3】某市社区居委会今年6月起，对用水实行阶梯式收费。实施阶梯水价后，分三级计算每月水费，具体见下表。
（注∶第一级含15吨，第二级含22吨）
（1）张阿姨家6月份用水20吨，需要付水费多少元？
（2）某商店6月份用水32吨，需要付水费多少元？
解：（1）（20-15）×3.34+2.8×15=58.7（元）,
答：张阿姨家6月份用水20吨，需要付水费58.7元。
（2）（32-22）×4.09+（22-15）×3.34+15×2.8=106.28（元）,
答：某商店6月份用水32吨，需要付水费106.28元。
【题型5 规律问题（循环小数）】
【例5】在循环小数B中，小数部分前90位上的数字的和是180，这个循环小数的最大是多少？最小是多少？（A、B、C为3个不同的自然数）
解：
循环节的个数是：
90÷3=30（个），
每个循环节上数字的和是：
180÷30=6；
把6写成三个不同自然数和的形式有：
6=5+1+0，
6=4+2+0，
6=3+2+1，
组成最大的三位小数是0.1，最小的是0.1。
答：这个循环小数最大0.1，最小的是0.1。
点拨：首先求出循环节的个数，进而得出每个循环节上数字的和；计算得循环节的数字和为6，写成三个不同自然数和的形式有3种，根据这三种情况分析即可得出结果。
【变式5-1】循环小数7.1b中（a、b、c代表不同的数字），小数部分的前97位的数字和是161。这个循环小数最大是多少？最小是多少？
解：
减去小数部分不参与循环的位数：
97-1=96（位），
循环节的个数是：
96÷3=32（个），
减去小数部分不参与循环的数后，可得每个循环节上数字的和是：
（161-1）÷32=5；
把5写成三个不同自然数和的形式有：
5=4+1+0，
5=3+2+0，
最大：7.11；最小：7.11。
答：这个循环小数最大是7.11，最小是7.11。
点拨：注意与【例5】的异同。正确处理不参与循环的十分位上的数字“1”后，就变成例5的解答方式。
【变式5-2】5÷7的商写成循环小数后，小数点后第50位上的数字是几？小数点后前20位数字的和是多少？
解：
5÷7=0.1428，
循环节共有6位数,
50÷6=8……2，
第50位上的数字是1。
20÷6=3……2，
（7+1+4+2+8+5）×3+7+1=89。
答：小数点后第50位上的数字是1，小数点后前20位数字的和是89。
点拨：先用5除以7求出商，结合循环小数的知识可得循环节有6位数；用50除以循环节的位数6，得出共有8个循环周期还余2个数，据此即可得到第50位上的数字是几；要求小数点前20位数字的和是多少时，则先求出前20位数字里面有几个循环节，还剩下几个数字，所以先求出一个循环节的数字和，用一个循环节的数字和乘循环的次数，再加上剩下的几个数字即可。
【变式5-3】5÷13的商的小数部分第20位上的数字是几？在小数部分前80位中，数字“8”和“1”各出现了多少次？
解：
5÷13=0.，
20÷6=3……2，
小数部分第20位上的数字是8，
80÷6=13……2，
“8”出现：
13+1=14（次），
“1”出现13次。
答：“8”出现14次，“1”出现13次。
点拨：因80除以6等于13余2，说明小数部分前80倍中，有13个循环节，还余2个数字，据此求解“8”、“1”各出现几次。
【题型6 近似数】
主要考点：四舍五入法、进一法、去尾法取近似数的应用；逆用四舍五入法，求最大、最小问题。
【例6】体育老师买来9根10米长的绳子做跳绳，一根跳绳长1.8米。
（1）最多能做几根？
（2）如果把这些跳绳分给五年级各班，每个班分6根，可以分给几个班？
解：
（1）10÷1.8≈5（根），
5×9=45（根）。
（2）45÷6=7（个）……3（根）。
答：最多能做45根，可以分给7个班，还余3根。
点拨：利用一根绳子的长度÷一根跳绳的长度即可求出能做的跳绳数量，是解答问题关键。易出现以下错误：根据题意先计算出绳子的总长度，然后除以一根跳绳的长度就是根数。
【变式6-1】已知a÷5.4=b，其中b是一个两位小数，“四舍五入”保留一位小数是8.0，a最大是多少？最小是多少？
解：
因为，b最大为8.04，最小为7.95，
所以，
a最大：
8.04×5.4=43.416，
a最小：
7.95×5.4=42.93。
答：a最大是43.416，最小是42.93。
点拨：两位小数b“四舍五入”保留一位小数是8.0，则b最大是8.04，最小为7.95。
【变式6-2】a÷0.6=b，b是一个三位小数，保留一位小数是2.0。a最大是多少?最小是多少?
解：
b最大是2.049，最小是1.950。
a最大：2.049×0.6=1.2294，
最小：1.950×0.6=1.17。
答∶a最大是1.2294，最小是1.17。
点拨：注意b是一个三位小数。
【变式6-3】将两个小数四舍五入取整后分别是11和13，那么这两个小数乘积的整数部分最大是（ B ）。
A.156 B.155 C.154 D.153
解：
由11.499×13.499=155.23715，
知，乘积的整数部分最大是155，
故，答案是B。
点拨：近似数最大、最小的规律：
如，一个一位小数，四舍五入后是11，这个一位小数最大是11.4，最小是10.5；
一个两位小数，四舍五入后是11，这个一位小数最大是11.49，最小是10.50；
一个三位小数，四舍五入后是11，这个一位小数最大是11.499，最小是10.500；
一个四位小数，四舍五入后是11，这个一位小数最大是11.4999，最小是10.5000；
……
【题型7 小数除法的简算（连除、“带符号搬家”）】
【例7】简算。
（4.8×7.5×8.1）÷（2.4×2.5×2.7）
解：
（4.8×7.5×8.1）÷（2.4×2.5×2.7）
=4.8×7.5×8.1÷2.4÷2.5÷2.7
=（4.8÷2.4）×（7.5÷2.5）×（8.1÷2.7）
=2×3×3
=18。
点拨：除以几个数的积，等于连续除以这几个数，然后利用“带符号搬家”即交换律，进行简算。
【变式7-1】简算。
（91×48×75）÷（25×13×16）
解：
（91×48×75）÷（25×13×16）
=（91÷13）×（48÷16）×（75÷25）
=7×3×3
=63。
【变式7-2】简算。
（3.6÷2.3）÷（2÷0.23）
解法1：
（3.6÷2.3）÷（2÷0.23）
=（3.6÷2.3）÷（20÷2.3）
=3.6÷20[不容易理解，认真体会。上步中，（3.6÷2.3）、（20÷2.3））同时扩大2.3倍]
=0.18；
解法2：
（3.6÷2.3）÷（2÷0.23）
=3.6÷2.3÷2×0.23
=（3.6÷2）×2.3÷0.23
=18×0.1
=0.18。
点拨：解法1中，将2÷0.23的被除数和除数同时扩大到原来的10倍得20÷2.3，商不变；（3.6÷2.3）÷（20÷2.3）的被除数（3.6÷2.3）和除数（20÷2.3）同时扩大2.3倍，商不变。
【变式7-3】简算。
（27.2÷1.25）÷（320÷91）÷（0.25÷37）
解：
（27.2÷1.25）÷（320÷91）÷（0.25÷37）
=（27.2×91×37）÷（1.25×320×0.25）
=91582.4÷100
=915.824
点拨：同【变式7-2】，可这样记公式：a÷（c×d÷e×f÷g）=a÷c÷d×e÷f×g。
【题型8 小数除法的简算（商不变的性质）】
【例8】简算。
7÷0.125
解：
7÷0.125
=（7×8）÷（0.125×8）
=56÷1
=56。
点拨：被除数、除数同时扩大8倍，商不变。
【变式8-1】简算。
解：
=3840÷48
=80。
点拨：被除数、除数同时向右移动102+2-104（位），转化成整数的除法。
【变式8-2】简算。
69.6÷3.2÷2.5
解：
69.6÷3.2÷2.5
=69.6÷（0.4×8）÷2.5
=69.6÷0.4÷8÷2.5
=69.6÷8÷（0.4×2.5）
=69.6÷8×1
=8.7。
【变式8-3】计算，能简算的要简算。
42÷3.5+42÷2.5
解：
42÷3.5+42÷2.5
=12+16.8
=28.8。
点拨：注意该题不能简算。此类试题出错率极高，误做成：42÷（3.5+2.5）=7。
【题型9 行程问题】
【例9】甲、乙两辆车同时从A、B两地相对开出，经过3.1小时后，甲车在超过中点12.4千米处和乙车相遇。甲车每小时行驶54千米，乙车每小时行多少千米？
解：
（3.1×54-12.4）×2÷3.1-54
=46（千米/时）。
答：乙车每小时行驶46千米。
点拨：本题属于相遇问题，解答本题的关键是掌握路程=速度×时间。
首先求出相遇时甲车行驶的路程，减去12.4千米即为两地间路程的一半，对其乘以2，得到两地间的路程；根据路程和÷相遇时间=速度和，再用速度和减去甲车的速度即可求出乙车的速度。
【变式9-1】客车和货车同时从甲乙两地相向而行，客车比货车每小时多行8千米，经过3.5小时相遇，相遇时客车离乙站还有112千米，甲乙两地相距多少千米？
解：
货车速度：
112÷3.5=32（千米/时），
客车速度：
32+8=40（千米/时），
甲、乙两地相距：
（40+32）×3.5=252（千米）。
答∶甲、乙两地相距252千米。
点拨：相遇时客车离乙站还有112千米，说明货车3.5小时行驶了112千米，那么货车的速度是112÷
3.5=32（千米/时），然后再加上8千米/时，求出客车的速度，再用两车的速度和乘相遇时间即可。
【变式9-2】甲、乙两人分别以每小时3千米和5千米的速度，从A、B两地相向而行。相遇后两人继续往前走，如果甲从相遇点到达B地共行4小时，那么A、B两地相距多少千米？
解：
相遇时，设甲行路程3份，则乙行5份，
5份路程，甲用时4小时，那么3+5=8（份）路程，甲用时：
4÷5×8=6.4（小时），
A、B两地相距：
3×6.4=19.2（千米）。
答：A、B两地相距19.2千米。
点拨：时间相同时，路程比等于速度比。
【变式9-3】甲、乙两地相距465千米，一列客车和一列货车同时从两地相向而行，客车每小时行74.5千米，货车每小时行55.5千米，几小时后两车相距75千米？
解：
相遇之前，
（465-75）÷（74.5+55.5）
=390÷130
=3（小时）；
相遇之后，
（465+75）÷（74.5+55.5）
=540÷130
=5413（小时）。
答：3小时或5413小时后两车相距75千米。
点拨：此题应分两种情况，两车相遇之前相距75千米，说明两车行了（465-75）千米，要求几小时后两车行了（465-75）千米，列式为（465-75）÷（74.5+55.5），计算即可；相遇后又相距75千米，此时两车行了（465+75）千米，列式为：（465+75）÷（74.5+55.5）计算即可。
【题型10 其他易考点】
【例10】五（1）班56名师生照集体照，照相馆的收费标准是：拍照一次，并送4张照片，收费15元，加印一张2.5元。现在要保证每人有一张照片，一共要付多少钱？
解：
（56-4）×2.5+15＝145（元）。
答：一共要付145元。
【变式10-1】两箱苹果共重34.8千克，如果从第一箱中取出2.6千克放人第二箱，则两箱苹果同样重。原来两箱苹果各重多少千克？
解：
34.8÷2+2.6=20（千克），
34.8÷2-2.6=14.8（千克）。
答：原来第一箱重20千克，第二箱重14.8千克。
【变式10-2】甲、乙、丙三人一共买了9个面包，平均分着吃，甲付了5个面包的钱，乙付了4个面包的钱，丙没带钱。吃完后一算，丙应拿出1.2元。甲应收多少钱？
解：
平均每人吃：
9÷3=3（个），
每个面包：
1.2÷3
=0.4（元）,
甲应收：
（5-3）×0.4
=2×0.4
=0.8（元）。
答：甲应收0.8元钱。
点拨：先求每个人吃了几个面包，即将9平均分成3份，求每份是多少，用除法计算；然后用丙拿出的钱除以丙吃的数量，可以求出每个面包的单价；接着用甲付钱的个数减去应付的个数，即可得到甲多付的个数；最后用甲多付的个数乘每个面包的单价，即可求出甲应收的钱数。
【变式10-3】实验小学食堂买来8桶油，每桶油的质量相等。如果从每桶油中各取出10.5kg油，则剩下的油与原来3桶油的质量相等。原来每桶油重多少千克？
解：
10.5×8÷（8-3）=16.8（kg）
答：原来每桶油重16.8千克。
点拨：从每桶油中各取出10.5kg油，则取出的油的总质量是（10.5×8）kg，取出的油的总质量是原来每桶油的质量的（8-3）倍。
类别
记重显示数/吨
计费办法
①
22及以下
按每千米每吨0.09元收费
②
22～30
不超过22吨的部分按①收费，其余按每千米每吨0.15元收费
…
…
…（ ）
计费单位
收费标准/元
省内
省外
首重（1kg及以内）
8
12
1kg以上，每增500g加收（不足500g按500g算）
4
7
第一级
0～15吨
每吨2.80元
第二级
16～22吨
每吨3.34元
第三级
22吨以上
每吨4.09元