五年级数学上册第七单元《植树问题》-期末重难点题型（原卷版+解析版）人教版

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【题型1 两端都植树的问题】
公式：
总距离÷株距=间隔数，棵数=间隔数+1
【例1】同学们在全长240米的小路两旁栽树，每隔6米栽一棵(两端都栽)，一共要栽多少棵树?
解：
(240÷6+1)×2
=41×2
=82（棵）
答：一共要栽82棵树。
点拨：小路两旁、两端都栽，全长为240米，每隔6米栽一棵树，需要栽的树的棵数=全长÷间隔米数+1，然后由于两边都要栽，所以再乘以2即可。
【变式1-1】在路边安装电线杆，每两根电线杆之间相隔8米，从第一根到最后一根电线一共长96米，一共安装了（ C ）根电线杆。
A.11根 B.12根 C.13根 D.14根
解：
96÷8+1
=12+1
=13（根）
点拨：此题属于植树问题中的两端都植树问题，电线杆的根数要比间隔数多1，因此用96除以8求出间隔数，再加上1就是电线杆的根数。
【变式1-2】园林工人计划在一条公路的一旁种37棵树，每相邻两棵树间隔5米。实际栽种了46棵树（两端的树不动），实际每相邻两棵树间隔多少米？
解：
（37-1）×5÷（46-1）
=180÷45
=4（米）
答：实际每相邻两棵树间隔4米。
点拨：由于两端都栽树，所以一侧的间隔数比树的棵数少1，用37减去1再乘5即可求出公路总长度；实际栽种了46棵树，那么间隔数是46-1，用公路总长度除以间隔数即可求出相邻两棵树间隔的米数。
【变式1-3】在学校门前小路的两旁，每隔5.8米放一盆菊花（两端都放），从起点到终点一共放了20盆。这条小路长多少米？
解：
（20÷2-1）×5.8
=52.2（米）
答：这条小路长52.2米。
点拨：这条小路的长度=（从起点到终点一共放菊花的盆数-1）×每两盆花之间的长度。
【题型2 两端都不植树的问题】
公式：
总距离÷间距=间隔数，棵数=间隔数-1
【例2】马路一边共栽了48棵柳树，每两棵柳树之间栽一棵杨树，共有（ 47 ）棵杨树。
解：
48-1=47（棵），
答：共有47棵杨树。
点拨：48棵柳树之间一共的间隔数是48-1=47（个），由于每两棵柳树之间栽一棵杨树，所以属于两端都不植树问题，共有47棵杨树。
【变式2-1】同学们在一条长200米的小路一边植树，每隔8米栽一棵（两端不栽）。一共要栽多少棵树？
解：
200÷8-1=25（棵）
答：一共要栽25棵树。
【变式2-2】甲、乙两地相距20千米，每隔4千米设一个站牌，甲、乙两地之间(甲、乙两地除外)一共设有多少个站牌？
解：
20÷4-1＝4(个)
答：一共设有4个站牌。
点拨：由于两端都没有站牌，所以站牌数比间隔数少1，用两地距离除以间隔的米数求出间隔数，再减去1就是站牌数。
【变式2-3】一座桥长116米，在桥的两侧栏杆上各安装16块花纹图案，图案的长为2米，两头的图案离桥两端都是12米，且每相邻两块图案间的间隔都相等。问：相邻两块图案之间应间隔多少米?
解：
16块图案的长度：
2×16=32（米） ，
桥的两端空余的长度：
12×2=24（米），
相邻两块图案之间的距离：
（116-32-24）÷（16-1）=4（米）。
答：相邻两块图案之间应间隔4米。
点拨：16块花纹图案的长度=每块花纹图案的长度×
16，空余的长度=两头的图案离桥两端的距离×2，16块花纹图案之间间隔15个长度，所以相邻两块图案之间的距离=（桥的长度-16块花纹图案的长度-桥的两端空余的长度）÷间隔数，据此代入数据作答即可。
【题型3 一端植一端不植树的问题】
公式：总距离÷间距=间隔数，棵数=间隔数
【例3】学校有一条长60米的道路，计划在道路一旁栽树，每隔3米栽一棵。
(1)如果两端都要栽一棵树，那么一共需要多少棵树苗？
(2)如果两端都不栽树，那么一共需要多少棵树苗？
(3)如果只有一端栽树，那么一共需要多少棵树苗？
解：60÷3=20(棵)
(1)20+1=21(棵)
答：一共需要21棵树苗。
(2)20－1=19(棵)
答：一共需要19棵树苗。
(3)20棵。
答：一共需要20棵树苗。
点拨：根据两端都要栽时，植树棵数=间隔数+1；两端都不栽时，植树棵数=间隔数－1；只有一端栽时，植树棵数=间隔数；先求出间隔数再进行解答。
【变式3-1】小青：“我和小红是好朋友，住在同一栋楼上，我从一楼走到三楼要用18秒”。小红：“我上楼的速度和小青的一样，你知道我从一楼走到六楼，需要多少时间吗?”
解：
18÷(3-1)×(6-1)
=18÷2×5
=9×5
=45(秒)
答：需要45秒。
【变式3-2】每棵树之间的距离是7米，小燕子从第1棵树飞到第9棵树，小燕子飞了多少米？
解：
7×(9-1)
=7×8
=56(米)。
答：小燕子飞了56米。
点拨：第1棵树到第9棵树之间有8个间隔，用间隔数乘间隔的距离即可求出小燕子飞的距离。
【变式3-3】一游人以均匀的速度在小路上散步，从第1棵树走到第12棵树用了11分钟，如果这个游人走了25分钟，应走到第几棵树？
解：
25÷[11÷（12-1）]＋1
＝25÷1＋1
＝25＋1
＝26（棵）
答：应走到第26棵树。
点拨：根据从第1棵走到第12棵树，共走了12-1个间隔，用了11分钟，可以求出每个间隔所用时间，再根据这个人走了25分钟，可以求出走了几个间隔，由此即可求出要求的答案。
【题型4 首尾相接的封闭曲线上植树的问题】
公式：总距离÷间距=间隔数，棵数=间隔数
【例4】一个长方形鱼塘的周长是640m，在它的周围每隔8m栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽一棵桃树。鱼塘周围各栽了多少棵桃树？
解：
640÷8=80（棵）
答：池塘周围栽了80棵柳树、80棵桃树。
点拨：围成一个封闭图形植树时：植树棵数=间隔数；由此先求出间隔数，从而得出柳树的棵数；而柳树和桃树是间隔出现的，故桃树棵数和柳树相等。
【变式4-1】在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备几面红旗？几面黄旗？
解：
红旗：400÷8＝50（面），
每两面红旗间插黄旗：8÷2-1=3（面），
应准备黄旗：50×3＝150（面）。
答：应准备50面红旗，150面黄旗。
点拨：因为每隔8米插一面红旗，根据总距离÷间距=棵数，得红旗50面，也是50个间隔，再根据每两面红旗之间，相隔2米插一面黄旗，求解答案。
【变式4-2】圆湖周长1080米，在湖边每隔12米种植柳树一棵，再在两棵柳树之间等距离种植3棵桃树，这样可种柳树和桃树共多少棵？
解：
1080÷12+（1080÷12）×3
=90+270
=360（棵）
答：可种柳树和桃树共360棵。
点拨：柳树棵数与柳树的间隔数相同，为1080÷12；桃树的棵数为：间隔数×3，即（1080÷12）×3，再利用加法即可解决问题。
【变式4-3】一个圆形花坛，周长是80米，每隔5米摆一盆菊花，相邻两盆花中间摆一盆兰花，一共需要多少盆花？
解：
菊花：80÷5=16（盆），
兰花：16盆。
一共需要：
16+16=32（盆）。
答：一共需要32盆花。
点拨：菊花盆数、间隔数，均为80÷5=16，因为每两盆中间有一盆兰花，那也就是说每两盆兰花中间有一盆菊花，所以菊花=兰花=16盆，一共需要摆16+16=32（盆）。
【题型5 多边形边上的植树问题】
【例5】一块三角形地三边分别是54米、30米、84米，要在三边上植树，株距6米，三个角上各种一棵，共植树多少棵？
解：
（54+30+84）÷6
=168÷6
=28（棵）
答：共植树28棵。
点拨：围成封闭图形栽树，树的棵数=间隔数，由此求出54+30+84=168（米）里有几个6米的间隔，进行解答。
【变式5-1】一块正方形地，沿四周每隔8米种一棵树，一共种了100棵。又知这块地里种的玉米共收获28吨，这块地平均每公顷收获玉米多少吨？
解：
正方形边长：
100×8÷4=200（米），
正方形面积：
200×200=40000（平方米）=4（公顷），
每公顷收玉米重量：
28÷4=7（吨）。
答：这块地平均每公顷收获玉米7吨。
点拨：利用植树问题知识，求出正方形的周长是解决问题的关键。
【变式5-2】一块正方形草坪的边长是8m，四周有一条1m宽的路。在小路靠着草坪的一侧每隔1m放1盆红花，四个顶点都要放；小路的另一侧每隔2m放1盆黄花，四个顶点也要放。一共需要多少盆花？
解：
红花：
8×4÷1=32（盆）
黄花：
（8+1+1）×4÷2
=10×4÷2
=20（盆）
20+32=52（盆）
答：一共可以放52盆花。
点拨：根据正方形的周长=边长×4，分别求出内外两个正方形的周长，要注意外面正方形的边长比里面正方形的边长长两个1米；再根据在封闭路上植树规律：植树棵树=间隔数，总长度÷间隔长度=间隔数，可以求出内外两个正方形分别摆了多少盆花，把它们加起来就是一共摆的盆数。
【变式5-3】游乐场里有一个边长为20米的正方形水池，要绕水池一周以相等的距离安装16盏路灯，四角都要安装，每相邻两盏路灯之间相距多少米?
解：
（16-4）÷4=3（盏），
20÷（3+1）=5（米）。
答：每相邻两盏路灯之间相距多少5米。
点拨：正方形四角都要安装，每条边安装 5盏路灯，每条边上有4个间隔。
【题型6 植树问题的变式题】
【例6】一条道路长120米，道路两边各安装了一排路灯。原来相邻两盏路灯之间相距8米，现要改成相邻两盏路灯之间相距6米。如果第一盏路灯不动，那么有多少盏路灯不需要移动？
解：
8和6的最小公倍数是24，
道路一旁，需要移动路灯：
120÷24+1=6（盏），
道路两旁，需要移动路灯：
6×2=12（盏）。
答：有12盏路灯不需要移动。
点拨：分析题目，首先求出8与6的最小公倍数，利用120除以8与6的最小公倍数，再加上1，列式计算可求出道路一边不需要移动的盏数；接下来依据道路两边都有，用上步所得结果再乘以2，即可求出两边不需要移动的盏数。
【变式6-1】红星小学四年级有125人参加运动会入场式，他们每5人为一行，前后每行间隔为2米。主席台长32米，他们以每分钟40米的速度通过主席台，需要多少分钟？
解：
通过主席台行驶的总路程是：
（125÷5-1）×2+32
=24×2+32
=48+32
=80（米）；
80÷40=2（分钟）。
答：需要2分钟。
点拨：根据题干分析可知，125人，每5人排一行，则可排125÷5=25（行），每一行间隔2米，则这支队伍长（25-1）×2=48（米），主席台长32米，所以这个仪仗队以每分钟40米的速度通过主席台所行走的总路程是48+32=80（米），由此利用路程÷速度=时间，即可解答。
【变式6-2】园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上风景树。他们首先沿着花坛的边每隔3米挖一坑，当挖完40个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一棵树，这样他们要完成挖坑的任务，还需要挖几个坑？
解：
5×3=15，
40×3÷15=8（个），
300÷5-8=60-8=52（个）。
答：他们还要挖52个坑才能完成任务。
点拨：根据题意可知之前挖好的40个坑中，有一部分坑可以不动；根据5和3的最小公倍数是15，即可求出有多少个坑不用动，接下来用300除以5求出每隔5米需要挖的坑数，再减去之前挖好的不用动的坑数即可。
【变式6-3】有一根木料，用0.4小时锯成5段，如果每锯一次所用的时间相同，那么要截7段，一共需要几小时？
解：
0.4÷(5-1)×(7-1)
=0.1×6
=0.6(小时)
答：一共需要0.6小时。
点拨：锯木头问题，可理解为两端都不植树的问题。