人教版小学四年级数学上册期末易错高频考点精讲精练 第5讲 平行四边形和梯形【高频考点+典例精析+易错精练】

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在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等。
两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
经过直线上一点 （或外一点）作垂线，可以画一条。
过直线外一点只能画一条已知直线的垂线，过直线外一点只能画一条已知直线的平行线。
同一平面内，与同一条直线平行（或垂直）的两条直线也互相平行。
【例1】（2021秋•坡头区期末）过A点画出已知直线的平行线和垂线．
【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可．
（2）用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可，
【解答】解：画图如下：
，
红色直线是过A点作出的已知直线垂线，绿色直线是过B点作出的已知直线的平行线．
【点评】本题考查了学生画平行线和垂线的能力．
【例2】（2021秋•郯城县校级期中）请用你学过的知识，来检验一下a和b这两条直线是否是一组平行线？请把你的思路写出来．
【分析】根据平行线的含义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；由此可知：只要把直线a和直线b无限延长，不能相交，则是一组平行线，反之则不是；也可以用直尺在两条直线之间画几条垂线，量出两条直线间的垂线段的长度如果相等，则两条直线平行；由此解答即可．
【解答】解：只要把直线a和直线b无限延长，不能相交，则是一组平行线，反之则不是；
也可以用直尺在两条直线之间画几条垂线，量出两条直线间的垂线段的长度如果相等，则两条直线平行．
【点评】明确平行线的含义，是解答此题的关键．
【例3】（2017秋•长春期中）一个角内有一点P，请过点P画射线OA的垂线和射线OB的平行线．
【分析】先将直尺与OB重合，然后向p点平移，与p点重合后，再作过p点的直线即为OB的平行线；用直角三角形的一条直角边与OA重合，另一条直角边与p点重合，然后过p点作OA的垂线．
【解答】解：所作图形如下：
【点评】此题主要考查过直线外一点作直线的平行线或垂线．
从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高,垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高。
一个长方形,用两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉，可以拉成不同形状的平行四边形。但是周长不变。
平行四边形的特点：容易变形，具有不稳定性。例如：伸缩门、升降机。把长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
【例4】（2021秋•固阳县期末）伸缩门是运用了平行四边形的 特性．
【分析】由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门的运用了平行四边形易变形的特性．
【解答】解：伸缩门做成平行四边形的形状，是利用平行四边形的易变形的特性．
故答案为：易变形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的特性是容易变形．
【例5】（2020秋•桓台县期中）已知一个平行四边形的周长是38厘米，其中一条边长10厘米，另外三条边长分别是多少厘米？
【分析】根据平行四边形的特点，对边相等可得，平行四边形的周长的求解方法与长方形相似，都是相邻两条边的和的2倍，由此先用周长38厘米除以2，求出相邻两边的和，再减去其中的一条边10厘米，即可求出另一条边．
【解答】解：如下图的平行四边形中，AD＝BC＝10厘米，
38÷2﹣10
＝19﹣10
＝9（厘米）
答：平行四边形另外三条边分别是10厘米，9厘米，9厘米．
【点评】熟知平行四边形的特点，找出其周长的计算方法是解决本题的关键．
【例6】（2018秋•越秀区期末）如图，ABCD是一个平行四边形．
（1）量一量，∠1＝ °，它是一个 角．
（2）AD∥ ，AE⊥ ．
（3）CD地边上的高是 米，BC底边上的高是 米．
（4）以F点为垂足画出平行四边形ABCD的一条高．
【分析】（1）用量角器量一量，可以量出∠1＝60°，它是一个锐角；
（2）看图可知：AD∥BC，AE⊥CD．
（3）通过观察可知：CD地边上的高是5米，BC底边上的高是3米．
（4）以F点为垂足画出平行四边形ABCD的一条高即可．
【解答】解：如图，ABCD是一个平行四边形．
（1）量一量，∠1＝60°，它是一个锐角．
（2）AD∥BC，AE⊥CD．
（3）CD地边上的高是5米，BC底边上的高是3米．
（4）以F点为垂足画出平行四边形ABCD的一条高，如下图：
故答案为：60，锐，BC，CD，5，3．
【点评】此题涉及的平行四边形的知识，理解平行四边形的含义及特征，是解答此题的关键．
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
从梯形上底上的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高，梯形有无数条高。但是从底的一个顶点向另一个底只能画一条高。梯形的底是固定两条边→上底和下底（互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底）；不平行的一组叫做梯形的腰。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。特点：两腰相等，两个角相等。
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。特点：有一条腰就是梯形的高。
长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形。
三角形三个内角的和是 180°，四边形四个内角的和是 360°。
【例7】（2011秋•洛龙区期末）利用下面的这个角画一个直角梯形．
【分析】依据直角梯形的特点即梯形的意义即可进行解答．
【解答】解：如图所示，过点A作BC的平行线AD，再过点C作BC的垂线CD，AD与CD相交于点D，
四边形ABCD就是所要求画的直角梯形．
【点评】此题主要考查过直线外一点作直线的垂线的方法和过直线外一点作已知直线的平行线的方法．
【例8】（石家庄期末）一个等腰三角形的周长是36厘米，底比腰多3厘米，它的腰长是多少厘米？底长是多少厘米？
【分析】根据等腰三角形的特征可知：因为等腰三角形有2个腰，周长是两个腰长和一个底边长的和，也就是周长比3条腰长多3厘米，由此可知3条腰长的和是（36﹣3）厘米，由此用除法即可求腰长，进而求出底边的长。
【解答】解：（36﹣3）÷3
＝33÷3
＝11（厘米）
11+3＝14（厘米）
答：它的腰长是11厘米，底长是14厘米．
【点评】此题根据等腰三角形的特征和周长的含义进行解答即可．
【例9】李大爷家有一块菜园（如图），它是一个等腰梯形，梯形的上底靠墙，测得下底为40米，腰长的和是45米，要给菜园围上篱笆．求李大爷要围篱笆多少米？
【分析】梯形的周长＝上底+下底+两条腰的长度，因为是一面靠墙，所以只要求出下底和两个腰长的和即可．
【解答】解：40+45＝85（米）
答：篱笆长85米．
【点评】此题考查梯形的周长的计算方法．注意等腰梯形两条腰的长度相等．
18、图形的裁剪
①平行四边形：平行四边形可以被裁剪成两个完全相等的三角形、平行四边形或和梯形。
方法：先确定中心点，两条对角线的交点就是中心点，然后画一条通过中心点的虚线，这样就一定能把这个平行四边形平均分成两个完全一样的图形。
②梯形：梯形可以被裁剪成两个梯形、一个平行四边形和一个三角形、两个三角形。
图形的拼组
①两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
②两个完全一样的平行四边形可以拼成一个平行四边形。
③两个完全一样的长方形可以拼成一个长方形
④两个完全一样的正方形可以拼成一个长方形。
⑤两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
⑥两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形或平行四边形。
【例10】（庄浪县校级月考）按要求在下面图形中画一条线段：
（1）将图1分成两个梯形．
（2）将图2分成一个平行四边形和一个梯形．
【分析】（1）要分成两个梯形，只要满足它们的上、下底平行即可，在平行四边形的上下两边的任意连线即可．
（2）把梯形分成一个平行四边形和一个梯形，因平行四边形的两组对边都平行，梯形的一组对边平行，所以要分成一个平行四边形和一个梯形，就要用原来梯形一组平行的边，作为平行四边形的一组对边，再过梯形的上底（非顶点）作另一个腰的平行线，既可得到一个平行四边形和一个梯形．
【解答】解：（1）答案如图，
（2）答案如图，
【点评】本题主要考查了学生根据平行四边形、梯形的定义来对图形进行分割的能力．
【例11】如图是一张长方形纸对折两次后的展开图．以折痕与长方形的交点为顶点，画一个梯形．你所画的梯形的梯形的上底是 cm，下底是 cm，高是 cm．
【分析】先根据题意画出梯形，再根据对折的性质得到上底、下底、高的长度即可．
【解答】解：由题意作图如下：
由图形可知画的梯形上底是2.5厘米，下底是10厘米，高是4厘米．
故答案为：2.5，10，4．
【点评】考查了简单图形的折叠问题、梯形的特征，确作出图形是解题的关键．
【例12】（2011秋•台江区期末）怎样才能把如图的图形改成平行四边形？
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等的基本性质，即可解答．
【解答】解：
【点评】此题考查了图形的拆拼，根据平行四边形的基本性质，可以得到多个解法．
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•麻城市期末）同一平面内，两条直线都和同一条直线垂直，这两条直线（ ）
A．互相垂直B．互相平行C．相交
2．（2021秋•沾化区期末）梯形的四个角中不可能出现的角是（ ）
A．直角B．钝角C．平角
3．（2022•新邵县）把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形中（ ）总是相等．
A．高B．上下两底的和
C．周长D．面积
4．（2020秋•怀集县期末）长方形是特殊的（ ）
A．三角形B．正方形C．梯形D．平行四边形
5．（2021秋•惠州期末）两条平行线间可以画（ ）条垂直线段．
A．无数B．1C．2
6．（2021秋•花都区期末）把一个平行四边形框架拉成一个长方形后，它的周长（ ）
A．不变B．变小C．变大D．不能确定
7．（2021•怀宁县）过平行四边形的一个顶点向对边作高，可以作（ ）条高。
A．1B．2C．4D．无数
8．（2021秋•辛集市期末）过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（ ）条．
A．一B．两C．无数
二．填空题（共8小题）
9．（2021秋•新市区期末）两腰相等的梯形叫做 ，有一个角是直角的梯形叫做 ．
10．（2021秋•汉寿县期末）在 内，不相交的两条 线叫做平行线．
11．图中，平行四边形CD边上的高是 cm，AD边上的高是 cm。
12．（2021秋•应城市期末）如图中，AB∥CD，AC、BD都和CD互相 ，已知AC长2厘米，那么BD长 厘米．
13．（2022春•合江县期末）从平行四边形的一个顶点出发做一条高，可以把平行四边形分成一个 和一个 形．
14．人们利用平行四边形容易变形的特性可以制作 ．
15．（2021秋•海城市期末）从直线外一点到这条直线所画的 最短，它的 叫做这点到直线的 ．
16．过直线外一点可以作 条已知直线的平行线；过直线上一点可以作 条已知直线的垂线．
三．判断题（共5小题）
17．（2021秋•古县期末）同一平面内，两条直线不互相平行就互相垂直．
18．过直线外一点A，向已知直线作垂线，只能作一条．
19．（2021秋•新田县期末）两条直线相交于一点，这点叫做垂足． ．
20．（2021秋•罗山县期末）平行四边形有无数条高，且长度都相等．
21．（2022春•惠阳区期末）只有一组对边平行的图形是梯形． ．
四．操作题（共1小题）
22．（2021秋•遂川县期末）分别作出图形指定底边上的高。
五．应用题（共6小题）
23．童乐家住在N处，双休日，童乐要与爸爸一起去河边钓鱼，他们走哪条路最近？为什么？
24．观察下面正方形的对角线（即线段AC和BD），你能发现什么？再画一些正方形，看它们的对角线是不是存在同样的关系，然后把你的发现写下来．
25．（2021秋•蠡县期末）一个平行四边形的菜地，周长是42米，其中一边长13米，另外三条边分别长多少米？
26．（2021秋•和平区期末）在点子图上先画出一个平行四边形，再画出它的高，并注明底和高。
27．（2022春•忠县期末）一个直角梯形的下底是上底的4倍，如果把梯形的上底延长12厘米，就成为一个正方形，这个梯形的上底和高各是多少厘米？
28．一个直角梯形，上底为5厘米，下底为12厘米，如果把上底增加3厘米，下底减少4厘米，就变成了正方形。这个直角梯形的高是多少厘米？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据垂直和平行的特征：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
【解答】解：在同一平面内，两条直线都和同一条直线垂直，这两条直线互相平行；
故选：B。
【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质．
2．【分析】根据梯形的特点进行判断．
【解答】解：根据梯形的特点，如果一个角是平角，那么就有两条边在同一条直线上，那么就不会组成梯形．
所以梯形的四个角中不可能出现的角是平角．
故选：C．
【点评】解决本题主要依据梯形的边的特点来判断．
3．【分析】根据梯形高的定义知，梯形是只有一组对边平形的四边形，梯形的高是指上底和下底之间的距离，把长方形任意分割成两个梯形时，两平行线之间距离是相等的，据此可判断．
【解答】解：根据以上分析，把一个长方形任意分割成两个梯形，其中的高一定相等．
故选：A．
【点评】此题是考查平行四边形的特征，平行四边形是两组对边平行，它们之间的距离总是相等；由此求解．
4．【分析】平行四边形是两条对边分别平行的四边形，长方形是两条对边分别平行且邻边垂直的四边形，长方形符合平行四边形的一切特征，所以长方形是特殊的平行四边形．
【解答】解：由分析可知，长方形属于特殊的平行四边形；
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的特征和性质，应注意基础知识的积累．
5．【分析】根据平行线和垂直的定义即可求解。
【解答】解：如图所示：
两条平行线间可以画无数条垂直线段．
故选：A。
【点评】注意平行线之间垂直线段的长度相等．
6．【分析】由题意可知：把一个平行四边形框架拉成一个长方形，四条边的长度不变，则其周长不变，据此解答即可．
【解答】解：因为把一个平行四边形框架拉成一个长方形，四条边的长度不变，则其周长不变，
故选：A．
【点评】此题主要考查平行四边形的周长的计算方法的灵活应用．
7．【分析】根据平行四边形高的含义：从平行四边形一条边上的一点到它的对边引一条垂线，这一点和垂足之间的距离，即平行四边形的高；每一个顶点所对的边有两条，所以平行四边形的一个顶点可以向对边作2条高（如下图）；进而解答即可。
【解答】解：如图，可以作2条高：
故选：B。
【点评】此题应根据平行四边形高的含义进行分析、解答。
8．【分析】因过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此可解答．
【解答】解：因过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直，所以过直线外一点画已知直线的垂线，可以画1条．
故选：A。
【点评】本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况．
二．填空题（共8小题）
9．【分析】根据直角梯形的定义可知，有一个角是直角的梯形，叫做直角梯形；梯形中若两条腰相等，这个梯形就叫等腰梯形，由此填空即可．
【解答】解：两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；
故答案为：等腰梯形，直角梯形．
【点评】根据直角梯形和等腰梯形的概念进行解答即可．
10．【分析】根据平行线的含义进行解答即可．
【解答】解：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，
故答案为：同一平面，直线．
【点评】此题考查了平行线的含义，应注意基础知识的理解和积累．
11．【分析】依据平行四边形的高的意义可知：底边与高是相对应的，据此即可得解。
【解答】解：如图中，平行四边形的CD边上的高是11cm，AD边上的高是15cm。
故答案为：11；15。
【点评】解答此题的关键是明白：底边与高是相对应的。
12．【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；在同一平面内垂直于同一条直线的两条垂线互相平行；两条平行线间的距离相等；据此解答即可．
【解答】解：如图中，AB∥CD，AC、BD都和CD互相 垂直，已知AC长2厘米，那么BD长 2厘米．
故答案为：垂直，2．
【点评】此题考查了平行和垂直的定义，注意平时基础知识的积累．
13．【分析】作出图形即可获得答案．
如上图所示，从平行四边形的一个顶点出发做一条高，可以把平行四边形分成一个三角形和一个梯形．
【解答】解：由分析可知，从平行四边形的一个顶点出发做一条高，可以把平行四边形分成一个三角形和一个梯形．
故答案为：三角形，梯．
【点评】本题考查了图形的拼组，重在考查学生动手操作的能力，通过作图，使学生加深了对图形的理解．
14．【分析】根据平行四边形的不稳定性（容易变形）；人们利用平行四边形容易变形的特性可以制作伸缩门，进行解答即可．
【解答】解：利用平行四边形容易变形的特性制作伸缩门；
故答案为：伸缩门．
【点评】解答此题应根据平行四边形的易变形进行解答．
15．【分析】根据点到直线的距离的含义：从直线外的一点向这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离；从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短；由此判断即可．
【解答】解：从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离；
故答案为：垂线，长度，距离．
【点评】此题考查了点到直线的距离的含义．
16．【分析】根据平行和垂直的性质：过直线上一点画已知直线的垂线，可以画一条；过直线外一点画已知直线的平行线，可以画一条，据此解答．
【解答】解：根据题干分析可得：
过直线外一点可以作一条已知直线的平行线；过直线上一点可以作一条已知直线的垂线．
故答案为：一，一．
【点评】此题考查了直线的性质及平行、垂直的性质，注意基础知识的识记和理解．
三．判断题（共5小题）
17．【分析】同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交．据此解答．
【解答】解：在同一平面内，两条直线只有相交和平行两种位置关系，
垂直是一种特殊的相交；
故答案为：×．
【点评】此题主要考查在同一平面内，两条直线的位置关系．
18．【分析】根据垂线的性质：过直线外一点作已知直线的垂线，能作且只能作1条；据此判断即可．
【解答】解：根据垂直的性质可知：过直线外一点A，向已知直线作垂线，只能作一条；
故答案为：√．
【点评】本题主要考查了垂线的性质，准确理解性质是解题的关键．
19．【分析】两条直线相较于一点，这点叫做两条直线的交点；据此判断即可．
【解答】解：由分析可知：两条直线相较于一点，这点叫做垂足，说法错误；
故答案为：×．
【点评】解答此题应明确垂足的含义：如果两直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
20．【分析】根据平行四边行的定义可知，有两组对边平行的四边行叫平行四边形，平行四边形的高为两组边的距离，所以平行四边形有两组高，每组的高都相等且有无数条．
【解答】解：根据平行四边行的定义可知，有两组对边平行的四边行叫平行四边形，平行四边形的高为两组边的距离，所以平行四边形有两组高，每组的高都相等且有无数条；所以上面的说法是错误的；
故答案为：×．
【点评】此题考查了平行四边形高的有关知识．
21．【分析】根据梯形的含义：只有一组对边平行的四边形叫梯形，进行判断即可．
【解答】解：只有一组对边平行的图形是梯形，说法错误，
因为图形不一定是四边形，前提必须是四边形，只有一组对边平行的四边形叫梯形；
故答案为：×．
【点评】此题考查了梯形的含义．
四．操作题（共1小题）
22．【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四形的高；
梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，用三角板的直角可以画出梯形的一条高。
【解答】解：作图如下：
（画法不唯一）
【点评】本题考查了作平行四边形、梯形的高，注意作高用虚线，并标出垂足。
五．应用题（共6小题）
23．【分析】利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题。
【解答】解：他们走第②条路最短。因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
答：他们走②最近，因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【点评】此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用。
24．【分析】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，依此即可求解．
【解答】解：正方形的对角线（即线段AC和BD）互相垂直；
再画一些正方形，它们的对角线存在同样的关系：互相垂直．
发现：正方形的对角线互相垂直．
【点评】考查了垂直的特征及性质，是基础题型，关键是熟悉正方形的对角线互相垂直的知识点．
25．【分析】根据平行四边形的特点，对边相等可得，平行四边形的周长的求解方法与长方形相似，都是相邻两条边的和的2倍，由此先用周长42分米除以2，求出相邻两边的和，再减去其中的一条边13分米，即可求出另一条边。
【解答】解：42÷2﹣13
＝21﹣13
＝8（分米）
所以三条边的长分别是13分米，8分米，8分米。
答：三条边的长分别是13分米，8分米，8分米。
【点评】熟知平行四边形的特点，找出其周长的计算方法是解决本题的关键。
26．【分析】根据平行四边形的画法和的高的意义，先画出一个平行四边形，然后从任一顶点作它对边的垂线段，这条垂线就叫高，据此画出即可，
【解答】解：作图如下：
（画法不唯一）
【点评】此题主要根据平行四边形的高的意义和画垂线的方法解决问题，注意作高必须在底边上画出垂直的标志。
27．【分析】根据梯形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，一个直角梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，就成了一个正方形，由此可知，12厘米相当于这个直角梯形的上底的（4﹣1）倍，且梯形的高等于下底，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出上底，上底的长度乘4就是下底的长度（高），据此解答。
【解答】解：12÷（4﹣1）
＝12÷3
＝4（厘米）
4×4＝16（厘米）
答：这个梯形的上底4厘米，高是16厘米。
【点评】此题考查的目的是理解掌握直角梯形的特征、正方形的特征及应用。
28．【分析】根据正方形的特征，可知，梯形的高是上底增加3厘米或下底减少4厘米，据此回答。
【解答】解：5+3＝8（厘米）
12﹣4＝8（厘米）
答：这个直角梯形的高是8厘米。
【点评】本题主要考查了正方形的特征以及直角梯形的特征，需要学生熟练掌握。