四川省宜宾市兴文县文第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省宜宾市兴文县文第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线y＝－2x－7在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是 ( )
A. a＝－7，b＝－7B. a＝－7，b＝－
C. a＝－，b＝7D. a＝－，b＝－7
【答案】D
【解析】
【详解】令x＝0，得y＝－7，即b＝－7，
令y＝0，得x＝－，即a＝－.
故答案选D．
2. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A. 1B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据两条平行线间的距离公式求解.
【详解】将直线化为，
因为直线与直线平行，
设两条平行线间的距离为，
所以根据两平行线之间的距离公式.
故选：B
3. 已知事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，则和（ ）
A. 是对立事件B. 不是互斥事件
C. 互斥但不是对立事件D. 是不可能事件
【答案】C
【解析】
【分析】利用互斥事件和对立事件定义求解即可.
【详解】事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，
所以事件和事件不会同时发生，是互斥事件，
因为3粒种子可能只发芽1粒，
所以事件和事件可以都不发生，则和不是对立事件.
故选：C
4. 已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义判断即得.
【详解】向量是空间的一个基底，显然，即向量分别与向量共面，A、B不是；
假定向量与向量共面，显然不共线，即存在非0实数，使得，
即有，而不共面，于是且，
即，与为非0实数矛盾，因此向量与向量不共面，
所以向量可以与一起构成空间的另一个基底，C对，D错.
故选：C
5. 过点的直线l与圆相切，则直线l的方程是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断出在圆上，求出切线斜率，即可得到切线方程.
【详解】把圆化为标准方程得：.
因为在圆上，所以过P的切线有且只有一条.
显然过点且斜率不存在的直线:与圆相交，
所以过P的切线的斜率为k.
因为切线与过切点的半径垂直，所以，解得：，
所以切线方程为：，即.
故选：B
6. 已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在给定的几何体中作出线面角，利用定义法求出线面角的正弦值即得.
【详解】在正三棱柱中，取的中点，连接，
则，而平面，平面，于是，
又平面，因此平面，
则是直线与平面所成的角，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A
7. 方程表示的圆（ ）
A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称
C. 关于直线对称D. 关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】先求圆心坐标，再确定圆心轨迹方程，即可确定选项.
【详解】易得圆心，圆心在直线上，所以该圆关于直线对称.
故选：D
【点睛】本题考查圆的标准方程、圆的对称性，考查基本分析判断能力，属基础题.
8. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设右焦点为，通过双曲线的特点知原点为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出的长度及判断出垂直于，通过勾股定理得到的关系，进而求出双曲线的离心率.
【详解】如图，设右焦点为，则为的中点，
因为，所以为中点，
所以为的中位线，所以，，
因为为圆的切点，所以，
所以，
因为点在双曲线右支上，所以，
所以，
在中，，
所以，即，
所以离心率，
故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.
【详解】依题意，，，
显然事件A，B互斥，，
事件B，C互斥，则，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC.
10. 已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆的圆心是
B. 圆的半径是2
C.
D. 的取值范围是
【答案】ABCD
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出A、B；根据已知可知圆心在直线上，代入即可得出C；根据C的结论得，代入根据二次函数的性质，即可得出D项.
【详解】对于A、B，将圆的方程化为标准方程可得，
所以，圆心为，半径为，故A、B正确；
对于C项，由已知可得，直线经过圆心，
所以，整理可得，故C项正确；
对于D项，由C知，所以，
所以的取值范围是，故D项正确.
故选：ABCD.
11. 已知单位向量两两的夹角均为(，且)，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系(为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的有（ ）
A. 已知，则
B. 已知，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值
C. 已知，则
D. 已知，则三棱锥的表面积
【答案】BC
【解析】
【分析】选项ABC，由题意转化为 的向量运算即可；选项D，由题意知三棱锥为正四面体即可求表面积.
【详解】由单位向量两两的夹角均为(，且)，
则，.
选项A，由题意得，，，
则
由，且，得，故A错误；
选项B，由题意得，，，
则，，
则
因为，则
由，
则， 当，向量的夹角取最小值，
故当且仅当时，等号成立，即向量的夹角取得最小值，故B正确；
选项C，已知，
则，，
则，故C正确；
选项D，由题意知，两两夹角均为，且，
则三棱锥各面均为正三角形，
故三棱锥的表面积，故D错误.
故选：BC.
12. 已知椭圆M：（）的左､右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】对所有可能的等边三角形分类讨论，得的关系，从而求得离心率.
【详解】不妨设为长轴端点，为短轴端点，已知关于原点对称，，关于原点对称，关于原点对称，相应的三角形只取其中一个即可；
首先可能是等边三角形，因为，所以，此时不可能是等边三角形，不合题意；
若为等边三角形，则，所以选项B有可能;
若为等边三角形，则,所以选项A有可能;
若为等边三角形，则；
综上可知，可以是椭圆M的离心率的有选项A和B.
故选：AB.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某校开展“爱我家乡”演讲比赛,9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字在茎叶图中的却无法看清，若记分员计算无误，则数字__________
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定的茎叶图，计算去掉最高、最低分后的平均分即可得解.
【详解】依题意，去掉的最低分为88，不可能大于4，否则，
因此记分员求得的平均分为，
所以.
故答案为：1
14. 直线恒过的定点坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】
直线方程可化为，从而可得，解方程组即可.
【详解】直线方程可化为
因为对任意，方程恒成立，所以
解得故直线恒过定点
故答案为：
15. 已知=（csα，1，sinα），=（sinα，1，csα），则向量与的夹角是_____．
【答案】90°
【解析】
【分析】根据数量积为0即可得结果.
【详解】∵=（csα，1，sinα），=（sinα，1，csα），
∴，
∴
∴与垂直，
∴向量与的夹角为：90°
故答案为：90°
16. 已知抛物线,为坐标原点,直线与抛物线交于两点,若的重心为抛物线的焦点,则___________________；
【答案】
【解析】
【详解】由题意得 ，由抛物线定义得
四、解答题（70分）
17. 已知△ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1，1)，B(5，1)，∠A=45°，∠B=45°，求:
（1）直线AB方程；
（2）直线AC和BC的方程.
【答案】（1）y=1；（2）y=x，y=-x+6.
【解析】
【分析】（1）由点斜式方程求解即可；
（2）由点斜式方程求解即可；
【详解】（1）因为A(1，1)，B(5，1)，
，
直线AB过点A(1，1)，
所以直线AB的方程为，即
（2）由题意知，直线AC的倾斜角为∠A=45°，
所以kAC=tan 45°=1.
又直线AC过点A(1，1)，
所以直线AC的方程为y-1=1×(x-1)，即y=x.
同理可知，直线BC的倾斜角为180°-∠B=135°，
所以kBC=tan 135°=-1.
又直线BC过点B(5，1)，
所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5)，即y=-x+6.
18. 在如图所示的四棱锥中，四边形为正方形，平面.
（1）若E为的中点，证明：平面；
（2）若求与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，交于点O，连接，由题意得，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合线面夹角公式即可求出答案.
【小问1详解】
证明：连接，交于点O，连接，因为O为中点，E为中点，
所以，因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
解：如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设，又因为则，
设面的一个法向量为，，
则，令得：，
又因为，设与平面所成角为，则
求与平面所成角的余弦值为.
19. 已知圆C与x轴相切，圆心C在直线上，且与轴正半轴相交所得弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）过点的直线交圆于C，于E，F两点，且，求直线的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据几何法，利用勾股定理即可求解，
（2）根据直线与圆相交，弦长公式即可求解.
【小问1详解】
设圆心，因为圆与轴的正半轴相切，
所以，圆的半径为，因为圆截轴所得弦的弦长为，
所以，即，又，所以，
所以圆．
【小问2详解】
当直线无斜率时，此时直线方程为，由题知：此时直线与圆C
截得的弦长为，不满足条件，
当直线有斜率时，设直线方程为：，
则圆心到直线的距离为 ，
所以，解得 ，
所以直线的方程为： 或
20. 江苏省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文､数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理､历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治､地理､化学､生物这4门再选科目中选择2门.已知南京医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学､生物至少1门.
（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率；
（2）假设甲､乙､丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型求概率方法求概率即可；
（2）根据互斥事件概率加法公式求概率即可.
【小问1详解】
用分别表示“选择物理”“选择历史”，用分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，
则所有选科组合的样本空间
，，
设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求”则，，
.
【小问2详解】
设甲､乙､丙三人每人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是，由题意知事件相互独立.
由（1）知.
记“甲､乙､丙三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求”，
则
易知以上子事件两两互斥，根据互斥事件概率加法公式得
.
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且该椭圆过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作一条斜率不为0的直线，直线与椭圆相交于两点，记点关于轴对称的点为点，若直线与轴相交于点，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据，和计算椭圆的标准方程；（Ⅱ）题意可设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到，根据坐标设出的方程，并得到的面积，代入根与系数的关系，并求最大值.
【详解】（Ⅰ）由椭圆的定义可得，解得 .
又，
所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为 .
设，则 .
由，消去可得

，
直线的方程为 .
令，
可得，


令，
则
当且仅当，即时等号成立，
面积的最大值为
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.
22. 已知点F为抛物线E：的焦点，为E上一点，且．
（1）求抛物线E的方程．
（2）过E上动点A作圆N：的两条切线，分别交E于B，C（不同于点A）两点，是否存在实数t，使得直线BC与圆N相切．若存在，求出实数t的值，不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据抛物线定义求出，即可求出方程；
（2）假设存在，利用直线OB与圆N相切求出t，排除，再由AB,AC分别与圆相切求出为方程的根，由根与系数的关系及圆心到直线的距离化简求解即可.
【小问1详解】
由抛物线的定义得，
所以，E的方程为.
【小问2详解】
(2)假设存在实数，使得BC与圆N相切.
当A为坐标原点时，由BC与圆N相切得,
直线OB的方程为，由直线OB与圆N相切得, ，
解之得或，
当时， A，B，C三点重合，舍去，
下面证明当时，满足条件.
设，
则直线的AB方程为: ，
因AB与圆相切，所以
即
同理由AC与圆相切得，
即 为方程的两根，
所以，
N到直线BC的距离为.
所以直线BC与圆N相切，投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18