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浙江省杭州市金华卓越联盟2023-2024学年高二上学期12月阶段联考数学试题（Word版附解析）
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这是一份浙江省杭州市金华卓越联盟2023-2024学年高二上学期12月阶段联考数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，阅读材料，已知，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题人：东阳二中 吕夏雯 陆琳琳；审题人：汤溪中学 张拥军
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1.准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.直线和直线垂直，则（ ）
A.1 B. C.1或 D.1或
3.已知在等比数列中，，则的值是（ ）
A.4 B.-4 C.±4 D.16
4.如图，在三棱台中，且，设，点在棱上，满足，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知等差数列的前项和为，且，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C.数列是递减数列 D.中最大
6.已知圆，直线，圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则圆与圆的位置关系是（ ）
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
7.已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知直线，圆，点为圆上的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A.直线恒过定点
B.直线与圆恒有两个公共点
C.直线被圆截得最短弦长为
D.当时，点到直线距离最大值是
11.已知数列满足是的前项和，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则为等差数列
C.若，则为等差数列
D.若，则
12.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.的最小值为10
C.三点共线 D.
三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13.在空间直角坐标系中，已知点，则__________.
14.过点作圆的两条切线，切点为，则劣弧长__________.
15.如图，已知正方形的边长为2，分别取边的中点，并连接形成正方形，继续取边的中点，并连接形成正方形，继续取边的中点，并连接形成正方形，依此类推；记的面积为的面积为，依此类推，的面积为，若，则__________.
16.设是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上的两点，且满足，则椭圆的离心率为__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本题满分12分）已知数列满足，点在直线上.
（1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；
（2）求满足的的取值构成的集合.
19.（本题满分12分）已知动点与两个定点的距离的比是2.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
20.（本题满分12分）已知等差数列前项和为，满足.数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
21.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，分别为的中点.
（1）求平面与底面所成角的余弦值；
（2）求平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长.
22.（本题满分12分）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）记双曲线的上､下顶点为为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考
高二年级数学参考答案
命题人：东阳二中 吕夏雯 陆琳琳；审题人：汤溪中学 张拥军
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.D 【解析】，又抛物线开口向下，所以抛物线的方程为正确.
2.C 【解析】或正确.
3.C 【解析】正确.
4.A 【解析】又，A正确.
5.D 【解析】，则
所以数列单调递减，中最大.D正确.
6.B 【解析】圆上3个点到直线的距离是1，则圆心到直线的距离应是，则，
圆的圆心为，半径是2，圆的圆心为，半径是1，则，所以两圆的位置关系是相交.B正确.
7.D 【解析】圆心，取双曲线的左焦点，则
的最小值为，D正确.
8.A 【解析】平面的法向量，在平面上任取一点，则，正确.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.ACD 【解析】，选项A正确，，选项B错误；
选项C正确；
，选项正确，正确答案是A.C.D
10.ABD 【解析】直线，所以恒过定点.选项A正确；
因为定点在圆内，所以直线与圆恒有两个公共点.选项B正确；
被圆截得的最短弦长，选项错误；
当时，，点到直线的距离的最大值是，选项正确.
正确答案是A.B.D
11.ABD 【解析】当，则，所以，选项A正确；
已知，当时，，
当时，，则时也成立），所以为等差数列，选项B正确；
已知，当时，，
当时，，则时不成立），所以不是等差数列，选项C不正确；
已知，当时，，
当时，，则时不成立，所
以
当时，，
时，
所以时也成立，选项D正确.
正确答案是A.B.D
12.CD 【解析】设直线，联立方程组
，则，
选项A不正确；
，所以
当且仅当时等号成立，所以的最小值为9，选项不正确；
，设，联立方程组，则，所以，
即直线过点，选项正确；
对于选项，，
，选项正确.
正确答案是C.D
三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 【解析】.
14. 【解析】圆C：，
，故劣弧长.
15.10 【解析】由题意可知三角形的面积构成首项为，公比为的
等比数列，.
16. 【解析】如图，过作，连接，因为，
所以，设，则
，
在中，，
即，化简得，
所以，所以离心率.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）方法一：因为是的中点，所以和是等腰直角三角形，所以，
，
因为平面平面，所以，
平面平面
方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以平面；
（2），设平面的法向量为，
则，所以取，
又，
.
直线与平面所成角的正弦值为.
18.【解析】（1）由已知得，
且，
所以数列是等比数列，
，则
（2）因为，所以，
得，又因为，所以的取值构成的集合是.
19.【解析】（1）设点，则，
化简得，所以动点的轨迹的方程为；
（2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，可计算得圆心到直线的距离，
①当直线的斜率不存在时，圆心到直线的距离是3，不符合条件，
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以，化简得，解得或，
所以直线的方程是或.
20.【解析】（1）设数列的公差为，
解得.
，且，所以是等比数列，
（也可用累乘法求的通项公式）
（2），
21.【解析】（1）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
平面的法向量为，
，设平面的法向量为，所以，所以取，
所以，
所以平面与底面所成角的余弦值为；
（2）由对称性可知平面与棱交于一点，
设交点，
又，
所以围成的图形的周长为
22.【解析】（1）设双曲线方程为，由上顶点坐标可知，
则由可得，
双曲线的渐近线方程为.
（2）由（1）可得，设，
设直线的方程为，
与联立可得，且，
则，
设，
，得
，化简得
命题人：东阳二中 吕夏雯 陆琳琳；审题人：汤溪中学 张拥军
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1.准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.直线和直线垂直，则（ ）
A.1 B. C.1或 D.1或
3.已知在等比数列中，，则的值是（ ）
A.4 B.-4 C.±4 D.16
4.如图，在三棱台中，且，设，点在棱上，满足，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知等差数列的前项和为，且，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C.数列是递减数列 D.中最大
6.已知圆，直线，圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则圆与圆的位置关系是（ ）
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
7.已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知直线，圆，点为圆上的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A.直线恒过定点
B.直线与圆恒有两个公共点
C.直线被圆截得最短弦长为
D.当时，点到直线距离最大值是
11.已知数列满足是的前项和，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则为等差数列
C.若，则为等差数列
D.若，则
12.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.的最小值为10
C.三点共线 D.
三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13.在空间直角坐标系中，已知点，则__________.
14.过点作圆的两条切线，切点为，则劣弧长__________.
15.如图，已知正方形的边长为2，分别取边的中点，并连接形成正方形，继续取边的中点，并连接形成正方形，继续取边的中点，并连接形成正方形，依此类推；记的面积为的面积为，依此类推，的面积为，若，则__________.
16.设是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上的两点，且满足，则椭圆的离心率为__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本题满分12分）已知数列满足，点在直线上.
（1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；
（2）求满足的的取值构成的集合.
19.（本题满分12分）已知动点与两个定点的距离的比是2.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
20.（本题满分12分）已知等差数列前项和为，满足.数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
21.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，分别为的中点.
（1）求平面与底面所成角的余弦值；
（2）求平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长.
22.（本题满分12分）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）记双曲线的上､下顶点为为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考
高二年级数学参考答案
命题人：东阳二中 吕夏雯 陆琳琳；审题人：汤溪中学 张拥军
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.D 【解析】，又抛物线开口向下，所以抛物线的方程为正确.
2.C 【解析】或正确.
3.C 【解析】正确.
4.A 【解析】又，A正确.
5.D 【解析】，则
所以数列单调递减，中最大.D正确.
6.B 【解析】圆上3个点到直线的距离是1，则圆心到直线的距离应是，则，
圆的圆心为，半径是2，圆的圆心为，半径是1，则，所以两圆的位置关系是相交.B正确.
7.D 【解析】圆心，取双曲线的左焦点，则
的最小值为，D正确.
8.A 【解析】平面的法向量，在平面上任取一点，则，正确.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.ACD 【解析】，选项A正确，，选项B错误；
选项C正确；
，选项正确，正确答案是A.C.D
10.ABD 【解析】直线，所以恒过定点.选项A正确；
因为定点在圆内，所以直线与圆恒有两个公共点.选项B正确；
被圆截得的最短弦长，选项错误；
当时，，点到直线的距离的最大值是，选项正确.
正确答案是A.B.D
11.ABD 【解析】当，则，所以，选项A正确；
已知，当时，，
当时，，则时也成立），所以为等差数列，选项B正确；
已知，当时，，
当时，，则时不成立），所以不是等差数列，选项C不正确；
已知，当时，，
当时，，则时不成立，所
以
当时，，
时，
所以时也成立，选项D正确.
正确答案是A.B.D
12.CD 【解析】设直线，联立方程组
，则，
选项A不正确；
，所以
当且仅当时等号成立，所以的最小值为9，选项不正确；
，设，联立方程组，则，所以，
即直线过点，选项正确；
对于选项，，
，选项正确.
正确答案是C.D
三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 【解析】.
14. 【解析】圆C：，
，故劣弧长.
15.10 【解析】由题意可知三角形的面积构成首项为，公比为的
等比数列，.
16. 【解析】如图，过作，连接，因为，
所以，设，则
，
在中，，
即，化简得，
所以，所以离心率.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）方法一：因为是的中点，所以和是等腰直角三角形，所以，
，
因为平面平面，所以，
平面平面
方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以平面；
（2），设平面的法向量为，
则，所以取，
又，
.
直线与平面所成角的正弦值为.
18.【解析】（1）由已知得，
且，
所以数列是等比数列，
，则
（2）因为，所以，
得，又因为，所以的取值构成的集合是.
19.【解析】（1）设点，则，
化简得，所以动点的轨迹的方程为；
（2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，可计算得圆心到直线的距离，
①当直线的斜率不存在时，圆心到直线的距离是3，不符合条件，
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以，化简得，解得或，
所以直线的方程是或.
20.【解析】（1）设数列的公差为，
解得.
，且，所以是等比数列，
（也可用累乘法求的通项公式）
（2），
21.【解析】（1）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
平面的法向量为，
，设平面的法向量为，所以，所以取，
所以，
所以平面与底面所成角的余弦值为；
（2）由对称性可知平面与棱交于一点，
设交点，
又，
所以围成的图形的周长为
22.【解析】（1）设双曲线方程为，由上顶点坐标可知，
则由可得，
双曲线的渐近线方程为.
（2）由（1）可得，设，
设直线的方程为，
与联立可得，且，
则，
设，
，得
，化简得
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