2023-2024学年山西省运城实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省运城实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知反比例函数的图象经过点(2,−4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A. y=2xB. y=−2xC. y=8xD. y=−8x
2.如图，已知直线a/​/b/​/c，若AB=2，DFEF=32，则BC等于( )
A. 4
B. 3
C. 6
D. 43
3.一个几何体如图水平放置，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.对于反比例函数y=−3x，下列说法错误的是( )
A. 点(32,−2)在这个函数图象上
B. 这个图象位于第二、四象限
C. 这个图象既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. y随x的增大而增大
5.如图，正五边形ABCDE的几条对角线的交点分别为M，N，P，Q，R，它们分别是所在对角线的黄金分割点.若AB=2，则MN的长为( )
A. 3− 5
B. 3+ 5
C. 5+1
D. 5−1
6.已知(x1,−5)，(x2,−2)，(x3,4)(x4,3)都在双曲线y=−kx(k<0)上，则x1，x2，x3，x4的大小关系是( )
A. x1C. x47.在同一直角坐标系中，函数y=−kx+k与y=kx(k≠0)的图象大致是( )
A. B. C. D.
8.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A、B的对应点分别是C、D).若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，则实像CD的高度为( )
A. 103cmB. 145cmC. 43cmD. 310cm
9.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，在三角形内部放一个周长为16的矩形DEFG，使得点E、F在斜边BC上，点D、G分别在直角边AB、AC上，则矩形的宽DE等于( )
A. 1213B. 2413C. 5413D. 8013
10.如图1，点A、B在反比例函数y=k1x(k1≠0)的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，当OM=MN=NC时，阴影部分的面积S阴=1；如图2，点A、B在反比例函数y=k2x(k2≠0)的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接OB，交A于AM于点C，当AC=2CM时，阴影部分的面积S阴=2，则k1−k2的值为( )
A. 2B. −2C. 10D. −10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若ab=cd=ef=23，则3a−2c+e3b−2d+f的值为______ ．
12.如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是______厘米．
13.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,6)，B(−9,−3)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是 ．
14.如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心恰好在反比例函数y=kx(k≠0,x<0)上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为______ ．
15.如图，在△ABC中，CA=CB=10，AB=12，点D为线段BC的三等分点，过点B作BE⊥AB，交射线AD于点E，连接CE，则CE的长为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(2,1)，B(1,−2)．
(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1；
(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2；
(3)判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
17.(本小题8分)
在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形ABCD，已知该四棱柱的侧面积为(32+16 2)cm2．
(1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全；
(2)根据图中给出的数据，俯视图中AB的长度为______ cm；
(3)左视图中矩形的面积为______ cm2；
(4)这个四棱柱的体积为______ cm3．
18.(本小题10分)
如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，交AB于点F．
(1)求证：AD2=AC⋅AF；
(2)当CD=2BD时，求ED：FD的值．
19.(本小题7分)
如图，直线y=2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=kx交于点C(−1,a)，D(−3,2)．
(1)请求出a，b，k的值；
(2)根据图形，直接写出不等式2x≥kx−b的解集：______ ；
(3)点P是y轴上一动点，连接CP，PD，当△PDC周长最小时，点P的坐标为______ ．
20.(本小题9分)
临街某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度AB=200cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AC=298cm，遮阳棚与墙面的夹角为60°，在某一时刻，一位身高172cm的顾客EF在太阳光下的影长FG=86cm，求此时遮阳棚在地面上的影长CD.( 3≈1.732，结果精确到1cm)
21.(本小题9分)
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯(Menelaus)是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍.梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交(交点不能是三角形的顶点)，可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积.该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图1，直线l交线段AB于点F，交线段AC于点E，交BC延长线于点D，可截得六条线段FA、FB、EA、EC、DC、DB，则这六条线段满足FA⋅BD⋅CE=FB⋅CD⋅AE．
下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图2，过点A作AP//FD，交BC延长线于点P，则有FAFB=PDBD(依据)，…
(1)上述过程中的依据指的是______ ；
(2)请将该定理的证明过程补充完整；
(3)在图1中，若点F是AB的中点，BC=2CD，则AEEC的值为______ ；
(4)在图1中，若FE=mED，BC=nCD，则FAFB的值为______ ．
22.(本小题12分)
综合与实践
【问题情境】
“综合与实践课”上，老师提出：在研究图形的变化时，要多关注运动过程中的不变量，如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上运动，连接BE，以BE为对角线构造正方形BFEG，连接AF，CG．
【问题发现】
(1)“善思小组”发现，在点E运动的过程中，线段AF与CG的数量关系保持不变.请直接写出AF与CG的数量关系：______ ；
【问题探究】
(2)“缜密小组”注意到，当点E运动时，DE与AF的比值也保持不变.请你求出这个比值；
【问题延伸】
(3)如图2，连接BD，交EF于点H，若AB=4，BG=3，请求出BH的值．
23.(本小题13分)
综合与探究：如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=k2x交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的横坐标为1，C的坐标为(0,3)，且满足CD=3AC．
(1)求y1，y2的表达式；
(2)反比例函数L是否存在一点P，使得3S△POD=S△AOB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在y轴上是否存在一点M，使得△MDC与△ODB相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设反比例函数的解析式为y=kx，
将(2,−4)代入，得−4=k2，
解得k=−8，
所以这个反比例函数的解析式为y=−8x．
故选D．
先设出解析式y=kx，再将点的坐标代入求出k的值，从而得出答案．
本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式．
2.【答案】A
【解析】解：∵a/​/b/​/c，
∴ABBC=DEEF，
∵DFEF=32，
∴DEEF=12，
∴2BC=12，
解得BC=4．
故选：A．
根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握定理及其推论并灵活运用．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
3.【答案】D
【解析】解：可得它的俯视图是
故选：D．
根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，明确能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的前提．
4.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=−3x，
∴当x=32时，y=−2，故选项A不符合题意；
k=−3<0，故该函数图象位于第二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意，选项D符合题意；
反比例函数y=−3x的图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C不符合题意；
故选：D．
根据反比例函数的性质以及图象上点的坐标特征对各选项进行逐一分析即可．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
5.【答案】A
【解析】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AE=AB=2，∠EAB=∠ABC=180°×(5−3)5=108°，
∴∠AEB=∠ABE=36°，
同理可得∠CBD=36°，
∴∠ABD=108°−36°=72°，
∵∠EAB+∠ABD=108°+72°=180°，
∴AE//BD，
同理可证明EC/​/AB，
∴四边形ABME为平行四边形，
∴EM=AB=2，BM=AE=2，
同理：DN=2，
∵M、N为BD的黄金分割点，
∴BD=2÷ 5−12= 5+1，
∴DM=BD−BM= 5−1，
∴MN=DN−DM=2−( 5−1)=3− 5，
故选：A．
首先根据正五边形的相关性质判定四边形ABME为平行四边形，进而求出BM的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到MN的长．
本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵k<0，
∴−k>0，
∴双曲线y=−kx(k<0)在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴x2x3>0，
∴x2故选：D．
利用反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，所以x2x3>0，从而对各选项进行判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了反比例函数的性质．
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
根据k的取值范围，分别讨论k>0和k<0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】
解：①当k>0时，
一次函数y=−kx+k经过一、二、四象限，
反比例函数的y=kx(k≠0)的图象经过一、三象限，
故A选项的图象符合要求，
②当k<0时，
一次函数y=kx−k经过一、三、四象限，
反比例函数的y=kx(k≠0)的图象经过二、四象限，
没有符合条件的选项．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：依题意，
∵OE/​/AB，
∴△COE∽△CAB，
∴CECB=OEAB①，
∵OE//CD，
∴△BOE∽△BDC，
∴BEBC=OECD②，
则①+②得CEBC+BEBC=OEAB+OECD，
∴BCBC=OEAB+OECD=1，
∴OEAB+OECD=1，
∵AB=5cm，OE=2cm，
∴25+2CD=1，
解得CD=103cm，
故选：A．
先证明△COE∽△CAB得到CECB=OEAB①，再证明△BOE∽△BDC得到BEBC=OECD②，再把①和②相加变形得到，然后把AB=5cm，OE=2cm，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9.【答案】B
【解析】解：过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点I，如图所示：
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=10，
∴AH=6×810=245，
∵四边形DEFG为矩形，
∴DG/​/BC，∠DEF=∠EDG=90°，
∴△ADG∽△ABC，
∴AIAH=DGBC，
∵AH⊥BC，
∴∠AHE=∠HED=∠EDI=90°，
∴四边形DEHI为矩形，
∴HI=DE，
∴AI=AH−HI=AH−DE，
∴AH−DEAH=DGBC，
设DE=x，
∵矩形DEFG的周长是16，
∴DG=8−x，
即245−x245=8−x10，
解得：x=2413，
则DE=2413，
∴矩形DEFG的宽DE是2413．
故选：B．
利用三角形面积求高，过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点I，根据三角形的面积可以先求出AH的长，然后证明△ADG∽△ABC，根据三角形相似的性质得出AIAH=DGBC，设DE=x，即245−x245=8−x10，计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10.【答案】C
【解析】解：①∵BN//AM，
∴△BCN∽△ACM，
∵MN=NC，
∴SBCN：S△ACM=(CNCM)2=(12)2=14，
而S△BCN=1，
∴S△ACM=4，
∵OM=MN=NC，
∴OM=12MC，
∴S△AOM=12S△ACM=2，
∵S△AOM=12|k1|，
∴12|k1|=2，
∵k1>0，
∴k1=4，
②设A(x1,k2x1)，B(x2,k2x2)，
由图可知：ON=−x2，BN=k2x2，OM=−x1，AM=k2x1，
∵AC=2CM，
∴CM=13AM=k23x1，
∴S阴=S△BON−S△COM=12⋅ON⋅BN−12⋅OM⋅CM=2，
即12(−x2)⋅k2x2−12(−x1)⋅k23x1=2，
解得k2=−6，
∴k1−k2=4−(−6)=10．
故选：C．
由题意得△BCN∽△ACM，再根据面积比等于相似比的平方求出S△ACM=4，由OM=12MC得S△AOM=12S△ACM=2，结合S△AOM=12|k1|求出k1；设A(x1,k2x1)，B(x2,k2x2)，则ON=−x2，BN=k2x2，OM=−x1，AM=k2x1，根据S阴=S△BON−S△COM=12⋅ON⋅BN−12⋅OM⋅CM=2求出k2，即可得出结论．
本题考查了反比例函数与三角形的面积，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
11.【答案】23
【解析】解：∵ab=cd=ef=23，
∴3a3b=−2c−2d=ef=23，
∴3a−2c+e3b−2d+f=ab=23．
故答案为：23．
先利用分式的基本性质得到3a3b=−2c−2d=ef=23，然后根据等比性质求解．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．
12.【答案】9.6
【解析】【分析】
直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．
【解答】
解：如图所示：作BE⊥AE于点E，
由题意可得，BC=6cm，CF=12DC=8cm，
故BF= FC2+BC2= 62+82=10(cm)，
可得：∠CFB=∠BAE，∠C=∠AEB，
故△BFC∽△BAE，
∴BCEB=FBAB，
∴6BE=1016，
解得：BE=9.6．
故答案为：9.6．
13.【答案】(−1,2)或(1,−2)
【解析】【分析】
把点A的横纵坐标分别乘以13或−13即可得到点A′的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形中对应点的坐标的比等于k或−k．
【解答】
解：∵位似中心为原点，相似比为13，
∴点A的对应点A′的坐标为(−3×13,6×13)或[−3×(−13),6×(−13)]，即(−1,2)或(1,−2)．
故答案为(−1,2)或(1,−2)．
14.【答案】−4
【解析】解：设矩形ABCD的对称中心的坐标为(m,km)，则点A的坐标为(m2,2km)，
∴点C的坐标为(32m,0)，
∴AB=2km,BC=−m，
∵矩形ABCD的面积为8，
∴AB⋅BC=8，
∴−m⋅2km=8，
∴k=−4，
故答案为：−4．
设矩形ABCD的对称中心的坐标为(m,km)，根据矩形对称中心为对角线的中点可得点A的坐标为(m2,2km)，则点C的坐标为(32m,0)，据此求出AB=2km,BC=−m，再根据矩形的面积为8得到−m⋅2km=8，解方程即可得到答案．
本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
15.【答案】6或6 415
【解析】解：①当点D是靠近点C 的三等分点时，如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵AC=BC=10，BC=12，
∴BH=AH=12AB=6，
∴CH= 102−62=8，
∵CH⊥AB，BE⊥AB，
∴CH//BE，
∴△AHM∽△ABE，△CDM∽△BDE，
∴MHEB=AHAB=12，CMEB=CDBD=12，
∴MH=12EB=CM，
∴CH=BE，
∵CH//BE，
∴四边形CHBE是矩形，
∴CE=BH=6；
②当点D是靠近点B的三等分点时，如图，过点C作CH⊥AB于点H，作EN⊥CH于点N，
∵BE⊥AB，
∴四边形NHEB是矩形，
∴BE=NH，NE=BH=6，
由①知△AHM∽△ABE，△CDM∽△BDE，
∴MHEB=AHAB=12，CMEB=CDBD=2，
设BE=a，则MH=12a,CM=2a，
∵CH=8，
∴a=165，
∴BE=NH=165，
∴CN=8−165=245，
在Rt△CNE中，CE= 62+(245)2=6 415，
故答案为：6或6 415．
分两种情况讨论：①当点D是靠近点C 的三等分点时，如图，过点C作CH⊥AB于点H，证出△AHM∽△ABE，△CDM∽△BDE，得到MH=12EB=CM，从而证出四边形CHBE是矩形即可求解；②当点D是靠近点B的三等分点时，如图，过点C作CH⊥AB于点H，作EN⊥CH于点N，证出△AHM∽△ABE，△CDM∽△BDE，设BE=a，则MH=12a,CM=2a，求出a=165，在Rt△CNE中，利用勾股定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
16.【答案】解：(1)如图，△OA1B1即为所作图形；
(2)如图，△O2A2B2即为所作图形；
(3)△OA1B1和△OA2B2是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为(−4,2)．
【解析】(1)根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(3)根据位似中心的性质可得答案．
本题主要考查了作图−位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
17.【答案】2 2 8 32
【解析】解：(1)∵BC所在的面在前，AD所在的面在后，
∴主视图中应补充两条虚线，
∴补充完整如图所示：
∖
(2)∵俯视图为等腰梯形ABCD，
∴AB=CD，
∵该四棱柱的侧面积为(32+16 2)cm2，
∴4AB+2×4+4CD+6×4=32+16 2，
∴AB=CD=2 2cm，
故答案为：2 2；
(3)如图，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
，
∵俯视图为等腰梯形ABCD，
∴AB=CD，AD//BC，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEF=∠DFE=∠AEB=∠DFC=90°，
∵AD/​/BC，
∴∠EAD=90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=2cm，AE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
∴BE=CF，
∵BE+EF+CF=BC=6cm，
∴BE=CF=6−22=2cm，
∴AE=DF= AB2−BE2= (2 2)2−22=2cm，
∴左视图中矩形的面积为：2×4=8cm2，
故答案为：8；
(4)解：由题意得：
这个四棱柱的体积为12×(2+6)×2×4=32cm3，
故答案为：32．
(1)根据BC所在的面在前，AD所在的面在后，得到主视图中应补充两条虚线，画出图形即可；
(2)由俯视图为等腰梯形ABCD，可得AB=CD，再根据四棱柱的侧面积为(32+16 2)cm2，计算即可得出答案；
(3)作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则四边形ADFE是矩形，证明Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)得到BE=CF=6−22=2cm，由勾股定理计算出AE=DF=2cm，由此即可得出答案；
(4)先由梯形的面积公式计算出底面积，再乘以高即可得到答案．
本题考查了几何体的三视图、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰梯形的性质、求几何体的体积等知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．
18.【答案】(1)证明：由旋转可得：AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ADE=60°，AB=AC，
又∵∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，
∴AFAD=ADAB，
∴AD2=AF⋅AB，
∴AD2=AF⋅AC；
(2)解：∵△ABC是等边三角形，
∠B=∠C=∠ADE=60°，CA=CB，
∵CD=2BD，
∴CA=CB=3BD，
又∵∠CDF=∠B+∠2，即∠1+∠ADE=∠2+∠B，
∴∠1=∠2，
∴△FBD∽△DCA，
∴ADDF=ACBD=3，
又∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AD，
∴DE：FD=3．
【解析】(1)证明△ADB∽△AFD，推出AFAD=ADAB，可得结论；
(2)证明△FBD∽△DCA，推出ADDF=ACBD=3，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
19.【答案】−3≤x≤−1或x>0 (0,5)
【解析】解：(1)将点D(−3,2)代入y=2x+b中，
得：2=2×(−3)+b，
解得：b=8，
当x=−1时，y=2×(−1)+8=6，
∴a=6，
将点D(−3,2)代入y=kx中，得：2=k−3，
解得：k=−6；
(2)由图象可得当−3≤x≤−1或x>0时，直线y=2x+8的图象在y=−6x的图象上方，
∴不等式2x≥−6x−8的解集为−3≤x≤−1或x>0，
故答案为：−3≤x≤−1或x>0；
(3)如图，作点C关于y轴的对称点C′(1,6)，连接C′D交y轴于点P，此时△PDC的周长最小，
设直线DC′的解析式为y=kx+b，
6= k+b2=−3k+b，
解得：k=1b=5，
∴直线DC′的解析式为y=x+5，
当x=0时，y=5，
∴点P(0,5)，
故答案为：(0,5)．
(1)将点D坐标代入解析式可求解；
(2)结合图象可求解；
(3)先确定△PDC的周长最小时，点P的位置，利用待定系数法可求直线C′D的解析式，即可求解．
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的性质，一次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20.【答案】解：过点B作BN⊥CF于点N，作BM⊥AC于点M，
则四边形BMCN为矩形，
∴CM=BN，BM=CN，
在Rt△ABM中，∠BAM=60°，
∴∠ABM=30°，
∴AM=12AB=100cm，
∴BM= AB2−AM2=100 3cm，
∴CN=BM=100 3cm，BN=CM=AC−AM=198cm，
∵同一时刻太阳光线是平行的，
∴∠1=∠2
又∵BN⊥DN，EF⊥GF，
∴∠EFG=∠BND=90°，
∴△BND∽△EFG，
∴BNDN=EFGF，
即198DN=17286，
解得DN=99cm，
∴CD=CN−DN=100 3−99≈74cm，
答：此时遮阳棚在地面上的影长CD等于74cm．
【解析】过点B作BN⊥CF于点N，作BM⊥AC于点M，得出四边形BMCN为矩形，进而求出AM，CM，BM，进而求出CN和BN，根据太阳光线是平行光线证得△BND−△EFG得出DN，再求出CD即可．
本题考查了相似三角形的应用，作出合适的辅助线构造出直角三角形并证明三角形相似是解题的关键．
21.【答案】平行线分线段成比例 3 mn−m
【解析】解：(1)上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例；
(2)该定理的证明过程补充完整如下：
∵AP//FD，
∴CEAE=CDDP，
∴FAFB⋅CEAE=PDBD⋅CDDP，
∴FAFB⋅CEAE=CDBD，
即FA⋅BD⋅CE=FB⋅CD⋅AE；
(3)∵点F是AB的中点，BC=2CD，
∴FA=FB，
∵BC+CD=BD，
∴2CD+CD=BD，
即3CD=BD，
∵FA⋅BD⋅CE=FB⋅CD⋅AE，
∴AECE=FA⋅BDFB⋅CD，
∴AECE=BDCD=3CDCD=3；
(4)如图，过点D作DG//AB交AC的延长线于点G，
∵FE=mED，BC=nCD，
∴EFED=mBCCD=n，
∵DG/​/AB，
∴∠EFA=∠EDG，∠EAF=∠EGD，
∴△EAF∽△EGD，
∴EFDE=AFDG=m，
∴AF=mDG，
∵DG/​/AB，
∴∠CAB=∠CGD，∠CBA=∠CDG，
∴△CAB∽△CGD，
∴BCCD=ABDG=n，
∴AB=nDG，
∴FB=AB−FA=nDG−mDG=(n−m)DG，
∴FAFB=mDG(n−m)DG=mn−m．
(1)根据题意，上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
(2)根据平行线分线段成比例，得到CEAE=CDDP进而得到FAFB⋅CEAE=PDBD⋅CDDP得证．
(3)根据题意点F是AB的中点，BC=2CD，再由图示三角形的各线段对应关系得到3CD=BD，再由FA⋅BD⋅CE=FB⋅CD⋅AE，得到AECE=FA⋅BDFB⋅CD，由此得到答案．
(4)过点D作DG//AB交AC的延长线于点G，由此得到△EAF∽△EGD，△CAB∽△CGD，由相似三角形的性质得到AF=mDG，FB=AB−FA=nDG−mDG=(n−m)DG，由此得到答案．
本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
22.【答案】AF=CG
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵四边形BGEF是正方形，
∴∠BF=BG，∠FBG=90°，
∴∠ABF=∠GBC，
∴△ABF≌△CBG(SAS)，
∴AF=CG．
故答案为：AF=CG；
(2)连接BD，
∵四边形ABCD和四边形BFEG是正方形，
∴AB=AD，FB=FE，∠BAD=∠BFE=90°，
∠DBA=∠EBF=45°，
∴∠1=∠2，
在Rt△ABD与Rt△BFE中，由勾股定理可得：DB= AD2+AB2= 2AB，BE= BF2+EF2= 2BF，
∴BDAB=BEBF= 2，
∴△ABF∽△DBE，
∴DEAF=BDBA= 2；
(3)∵四边形ABCD和四边形BFEG是正方形，
∴CB=CD，FB=FE，∠DCB=∠BFE=90°，
∴∠CDB=∠FEB=45°，
又∵∠EBD=∠EBD，
∴△BHE∽△BED，
∴BHBE=BEBD，
即BH=BE2BD，
由(2)可得，BD= 2BA=4 2，BE= 2BG=3 2，
∴BH=(3 2)24 2=9 24．
(1)证明△ABF≌△CBG(SAS)，即可求解；
(2)连接BD，证明△ABF∽△DBE，由相似三角形的性质可得出DEAF=BDBA= 2；
(3)证明△BHE∽△BED，由相似三角形的性质可得出BHBE=BEBD，则可得出结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
23.【答案】解：(1)过点A作AH/​/y轴，交x轴于点H，

∴AH//OC，
∴△DOC∽△DHA，
∴CDAD=COAH，
∵C的坐标为(0,3)，CD=3AC，
∴OC=3,CDAD=COAH=34，
∴AH=4，
∴A(1,4)，
把A(1,4)代入y2=k2x，得：k2=4；
∴y2=4x，
把A(1,4)，C(0,3)，代入y1=k1x+b，得：
b=34=k1+b，
解得：b=3k1=1，
∴y1=x+3；
(2)存在；理由如下：
∵y1=x+3，
∴当y=0时，x=−3，
∴D(−3,0)，
∴OD=3，
联立y1=x+3y2=4x，
解得：x=1y=4或x=−4y=−1，
∴B(−4,−1)，
∴S△AOB=S△BOC+S△AOC=12×3×5=152，
∴3S△POD=3×12×3⋅|yP|=152，
∴|yP|=53，
当yP=53时，xP=125，
当yP=−53时，xP=−125，
∴P(125,53)或(−125,−53)；
(3)存在；理由如下：
∵B(−4,−1)，D(−3,0)，C(0,3)，
∴BD= 2，OD=3=OC，CD=3 2；
∴∠ODC=∠OCD=45°，
∴∠ODB=135°，
∴当△MDC与△ODB相似时，点M在C点上方，∠DCM=∠ODB=135°，有两种情况，
①△DCM∽△ODB，则：CDOD=CMDB，
∴3 23=CM 2，
∴CM=2，
∴M(0,5)；
②△MCD∽△ODB，则：CDDB=CMOD，
∴3 2 2=CM3，
∴CM=9，
∴M(0,12)；
综上：M(0,12)或M(0,5)．
【解析】(1)过点A作AH/​/y轴，交x轴于点F，证明△DOC∽△DHA，求出AH的长，进而得到A点坐标，待定系数法求解析式即可；
(2)联立解析式，求出B点坐标，分割法求出△AOB的面积，利用S△POD=12OD⋅|yP|，求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可；
(3)分△DCM∽△ODB和△MCD∽△ODB两种情况进行讨论求解即可．
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形．